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        環(huán)R{D,C}的Armendariz性質(zhì)

        2021-10-18 00:46:30任艷麗

        任艷麗,王 堯,周 昊

        (1.南京曉莊學(xué)院信息工程學(xué)院,江蘇 南京 211171;2.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,江蘇 南京 210044)

        0 引言

        本文所研究的環(huán)均指有單位元1的結(jié)合環(huán).設(shè)D是一個環(huán),C是D的一個子環(huán)且1D∈C,令

        R[D,C]={d1,…,dn,c,c,…|di∈D,c∈C,n≥1},

        R{D,C}={d1,…,dn,cn+1,cn+2,…|di∈D,cj∈C,n≥1}.

        1 帶自同態(tài)的R{D,C}的性質(zhì)

        證明只需證明結(jié)論(1),結(jié)論(2) 類似可證.

        充分性.設(shè)D是右α-可逆環(huán).由于C是α-不變子環(huán),顯然有C也是右α-可逆環(huán).設(shè)

        (a1,…,an,cn+1,cn+2,…),(b1,…,bm,em+1,em+2,…)∈R{D,C},

        (a1,…,an,cn+1,cn+2,…)(b1,…,bm,em+1,em+2,…)=(0,0,…).

        若n≥m,則有

        a1b1=0,a2b2=0,…,ambm=0,am+1em+1,anen=0,cn+1en+1=0,cn+2en+2=0,…

        由D和C是右α-可逆環(huán)知

        biα(ai)=0,(i=1,2,…,m),eiα(ai)=0,(i=m+1,…,n);eiα(ci)=0,(i≥n+1).

        于是有

        (b1,…,bm,em+1,em+2,…)(α(a1),…,α(an),α(cn+1),α(cn+2),…)=(0,0,…),

        即有

        證明只需證明結(jié)論(1).

        f(x)g(x)=0.

        又由于

        于是有

        從而

        證明只需證明結(jié)論(1).

        2 環(huán)R{D,C}的其他性質(zhì)

        稱環(huán)R為exchange環(huán)[2],如果對任意的a∈R,存在b,c∈R,使得bab=b,c(1-a)(1-ba)=1-ba.

        命題2.1S=R{D,C}是exchange環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)D和C是exchange環(huán).

        證明必要性.首先注意到S=D1?C1,D1={(d1,0,0,…)|d1∈D},C1={(0,d2,…,dn,c,cn+1,cn+2,…)|di∈D,n≥2,c,cj∈C},顯然有D1?D,即D同構(gòu)于S的一個直和項,因為exchange環(huán)的直和項是exchange環(huán),因此D是exchange環(huán).又由于有S=R{D,C}到C的滿同態(tài)φ:(d1,…,dn,cn+1,cn+2,…)c,exchange環(huán)的商環(huán)是exchange環(huán),C同構(gòu)于S的一個滿同態(tài)像,于是C同構(gòu)于S的商環(huán),從而C是exchange環(huán).

        稱一個環(huán)R為強π-正則環(huán),如果任意a∈R都是強π-正則元,即存在相應(yīng)的b∈R及正整數(shù)n,使得an=an+1b且ab=ba.

        定義2.1 若對任意的a∈R,都有a或1-a是強π-正則元,則稱環(huán)R是幾乎強π-正則環(huán).如果環(huán)R/J(R)是強π-正則環(huán),則稱R是feckly強π-正則環(huán).如果R/J(R)是幾乎強π-正則環(huán),則稱R是feckly幾乎強π-正則環(huán).

        命題2.2 環(huán)S=R[D,C]是feckly幾乎強π-正則環(huán)的充分必要條件是D是feckly強π-正則環(huán)且C/J(D)∩J(C)是幾乎強π-正則環(huán).

        并且

        稱環(huán)R是Armendariz環(huán),如果對任意f(x),g(x)∈R[x],由f(x)g(x)=0可以推出aibj=0,?0≤i≤n,0≤j≤m.

        定義2.2 稱環(huán)R是feckly Armendariz環(huán),如果R/J(R)是Armendariz環(huán).

        證明必要性.即要證明?i∈I,Ri/J(Ri)是Armendariz環(huán).取

        這表明Ri(?i∈I)是feckly Armendariz環(huán).

        命題2.4S=R{D,C}是feckly Armendariz環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)D是feckly Armendariz環(huán),C/J(D)∩J(C)是Armendariz環(huán).

        設(shè)I為R的一個非零右理想,若對R的任意非零右理想,都有I∩K≠0,則稱I為R的本質(zhì)右理想.記Zr(R)={x∈R|rR(x)為R的本質(zhì)右理想},稱一個環(huán)R是右非奇異環(huán),如果滿足Zr(R)=0.類似文獻[4]定理2.3的證明,可以得到:

        引理2.1Zr(R{D,C})=R{Zr(D),Zr(D)∩C}.

        命題2.5R{D,C}是右非奇異環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)D是右非奇異環(huán).

        證明由引理2.1,結(jié)論是顯然的.

        設(shè)I是環(huán)R的一個理想,稱R中的冪等元模I可提升,如果a2-a∈I,則存在e2=a∈R使得a-e∈I.

        命題2.6S=R{D,C}中冪等元模J(S)可提升的充分必要條件是D中冪等元模J(D)可提升,且C中冪等元模J(D)∩J(C)可提升.

        稱環(huán)R是potent環(huán)[13],若R中的冪等元模J(R)可提升,且R中不包含于J(R)的任意右理想都含有一個非零冪等元.文獻[13]引理1證明了上述定義是左右對稱的.

        命題2.7 若S=R{D,C}是potent環(huán)且C的任意真理想是D的理想,則D和C是potent環(huán).

        證明由于S=R{D,C}是potent環(huán),于是S中冪等元模J(S)可提升,由命題2.6知D中冪等元模J(D)可提升,且C中冪等元模J(D)∩J(C)可提升.設(shè)ID為D的右理想,IDJ(D),則有R[ID,0]J(S),R[ID,0]為S的一個右理想.由S是potent環(huán)知存在非零冪等元(e1,…,en,0,0,…)∈R[ID,0],因此必存在某個這推出D是potent環(huán).下證C也是potent環(huán).由于C中冪等元模J(D)∩J(C)可提升,于是C中冪等元模J(C)可提升.設(shè)IC是C的真右理想,ICJ(C),于是ICJ(D)∩J(C).令則由題設(shè)知,任意C的真理想都是D的理想,于是為R{D,C}的一個右理想.由于S是potent環(huán),存在中非零冪等元(0,0,…,ei,ei+1,…),因此必然有某個C中的非零冪等元ej,從而C是potent環(huán).

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