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        李代數(shù)sl(2,C)的斜導子

        2021-10-18 00:46:20遠繼霞
        東北師大學報(自然科學版) 2021年3期

        易 揚,遠繼霞

        (黑龍江大學數(shù)學科學學院,黑龍江 哈爾濱 150080)

        0 引言

        李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學的重要基礎(chǔ),促進了Kac-Moody代數(shù)、量子群等新興分支的出現(xiàn)和發(fā)展,和群論、拓撲、微分幾何以及理論物理都有密切聯(lián)系,并在上述領(lǐng)域中有許多的應(yīng)用.研究者對于李代數(shù)的導子做了許多研究工作.[1-9]文獻[5]引出斜導子是通常導子的自然推廣之一,也是廣義導子和時滯導子的一個推廣.文獻[2-4]中已經(jīng)得到了一些關(guān)于廣義斜導子的結(jié)果.許多學者對素環(huán)和半素環(huán)上的偏斜導子做了許多細致深刻的探討.文獻[5]介紹了素環(huán)和半素環(huán)上的對稱斜3-導子的概念.文獻[1]將廣義斜導子的定義推廣到R的右Martindale商環(huán)Q上.本文將文獻[7]中斜導子的定義推廣到了李代數(shù)上,并研究了sl(2,C)的自同構(gòu)所確定的斜導子的形式,得出對sl(2,C)任意的自同構(gòu)σ,σ-導子空間是1維或3維的.

        1 預備知識

        本文設(shè)C是復數(shù)域,所有的向量空間都是在復數(shù)域C上的向量空間.設(shè)V是C上的向量空間,End(V)為V上的所有線性變換構(gòu)成的集合.對于一個李代數(shù)g,記Autg為g的自同構(gòu)群.

        定義1[7]對于σ∈Autg,令D是g上的線性變換,滿足

        D([x,y])=[Dx,y]+[σ(x),Dy],?x,y∈g,

        (1)

        則稱D為李代數(shù)的斜導子(或σ-導子).

        令Derσg為g的所有σ-導子構(gòu)成的集合.注意到Derσg對于線性變換的加法和數(shù)乘構(gòu)成一個線性空間,將其稱為g的σ-導子空間.顯然任意一個李代數(shù)的導子是id-導子,因此斜導子是導子的推廣.本文將研究典型李代數(shù)sl(2,C)的σ-導子.回憶李代數(shù)sl(2,C)的結(jié)構(gòu),sl(2,C)是由跡為零的2×2矩陣構(gòu)成的李代數(shù),不難驗證它有以下的一組基:

        而且基元之間的運算滿足下面的關(guān)系式

        [h,e]=2e,[h,f]=-2f,[e,f]=h.

        2 斜導子的刻畫

        下面進行斜導子的刻畫,引入如下引理:

        談話前,盧一平表現(xiàn)得漫不經(jīng)心若無其事。他和郝桂芹回顧了家里的收支狀況,感嘆物價飛漲,報怨收入微薄,接下來,是感嘆孩子借讀的開銷和老人醫(yī)護費的攀升??匆姾鹿鹎圻B連點頭、默認,盧一平知道火候到了,機會來了。他開始分析了,他開始總結(jié)了??偨Y(jié)的結(jié)果,是這樣下去將會坐吃山空。得出的結(jié)論,是必須改弦易轍才能扭轉(zhuǎn)局面。

        證明由于A可逆,故ad-bc≠0,分成bd≠0和bd=0討論.當bd≠0時,即為情況(1).當bd=0時,可分為b=0和d=0.若d=0,即為情況(2).若b=0,可分為c≠0和c=0,a≠d以及c=0,a=d討論.c≠0即為情況(3);c=0,a≠d即為情況(4);c=0,a=d即為情況(5).

        引理2[6]對每個可逆陣A,令σA(X)=A-1XA,則σA是李代數(shù)sl(2,C)的自同構(gòu),且sl(2,C)的所有自同構(gòu)是映射XA-1XA所組成的集合.

        命題1 DerσAi(sl(2,C))=CDAi,i=1,2,3,4.

        證明“?”關(guān)系顯然成立,下面證明“?”關(guān)系.

        σA(X)=A-1XA.

        σA:h[(da+bc)h+2bde-2acf];

        e[dch+d2e-c2f];

        f[(-ba)h-b2e+a2f].

        設(shè)D∈DerσAi(sl(2,C)),且

        其中m,n,p,q,s,t,u,r,w∈C.根據(jù)(1)式,得到下面的等式:

        (2)

        (3)

        (4)

        (5)

        (6)

        (7)

        (8)

        (9)

        (10)

        由(2)—(10)式,整理得到以下等式:

        2bdu+2acq=0,4bcq-4bdm=0,-4bcu-4acm=0,

        -4adr-4acn=0,4dat-4bdp=0,2dcq-2d2m=0,

        2bau+2a2m=0,-2dcr-2c2n=0,-2bat+2b2p=0,

        (ad-bc)m-(ad-bc)w-b2r-a2s=0,(ad-bc)q+2(ad-bc)p-2bas+2b2n=0,

        (-ad+bc)u-2(ad-bc)n-2dcw-2c2p=0,-2(ad-bc)p-b2u-a2q=0,

        (-2n-u)(ad-bc)+2bdr+2acs=0,2(ad-cb)m+4bcs-4bdn=0,

        (2p+q)(ad-bc)+2bdw+2act=0,-4bcw-2(da-bc)m-4acp=0,

        (ad-bc)s-(ad-bc)m+d2w+c2t=0,(cb-ad)q+2dct-2d2p=0,

        -4(ad-bc)t-2baq+2b2m=0,(2a2-2ad+2cb)p+2baw=0,

        2(ad-bc)n+d2u+c2q=0,4(ad-bc)r-2dcu-2c2m=0,

        (ad-bc)u+2bar+2a2n=0,(ad-bc-a2)t-b2w=0,

        (d2-ad+bc)r+c2s=0,2(ad-cb-d2)n+2dcs=0.

        當A=A1時,由上述等式解得:

        于是

        同理可得,當A=A2時,等式的解如下:

        于是

        當A=A3時,等式的解如下:

        于是

        當A=A4時,等式的解如下:

        于是

        綜上所述,DerσAi(sl(2,C))?CDAi,i=1,2,3,4.

        上述等式的解如下:

        p=-1/2q,s=-dw/a,u=-2n,m=t=r=0.

        于是

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