齊超凡, 薛春艷

(北京信息科技大學 理學院, 北京 100192)

分數(shù)階微分方程在不同領(lǐng)域的許多實際問題中有著廣泛的應(yīng)用[1]。分數(shù)階導數(shù)的主要特點是非局部性,因此分數(shù)階導數(shù)力學控制方程數(shù)值模擬的計算量和存儲量是巨大的。

分數(shù)階導數(shù)的定義主要有3種形式:Grunwald-Letnikov定義、Riemann-Liouville定義和Caputo定義[2]。Caputo定義常用來表示時間的分數(shù)階導數(shù),Riemann-Liouville定義在數(shù)學上更為嚴格,但在數(shù)值計算中由于需要考慮分數(shù)階的初邊值條件而更難處理。積分邊界條件廣泛應(yīng)用于血流問題、化學工程、熱彈性、地下水流動、種群動力學等領(lǐng)域。對于積分邊值問題的詳細描述,可以參考最近的一些論文[3-7]。

研究分數(shù)階積分邊值問題的完全非線性耦合系統(tǒng)的文獻很少,分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)的研究在應(yīng)用性質(zhì)的各種問題中也很重要[8-10],但很少有論文考慮具有非局部條件和參數(shù)的非線性分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)[11-14]。

受現(xiàn)有文獻的啟發(fā)[15-19],本文考慮帶參數(shù)和積分邊值的分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng):

(1)

本文基于求解算子方程組的一種新方法,即具有矢量的Krasnoselskii錐不動點定理[20],研究算子方程組(1)正解的存在性。本文解決(1)的方法與以前的文章完全不同。

1 預備知識

定義1 函數(shù)u(t)的α階Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義如下:

定義2 函數(shù)u(t)的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)定義如下:

其中:α>0;n=[α]+1;[α]表示不大于α的最大整數(shù)。

1) 若‖ui‖=ri,則ui-Ni(u)?Ki,且若‖ui‖=Ri,則Ni(u)-ui?Ki;

2) 若‖ui‖=ri,則Ni(u)-ui?Ki,且若‖ui‖=Ri,則ui-Ni(u)?Ki。

那么N有一個不動點u=(u1,u2),使得ui=Ni(u1,u2)且ri<‖ui‖

在本文中,假設(shè)以下條件成立:

(H1)fi:[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)的,i∈{1,2};

(H2)hi:[0,1]→[0,+∞)是連續(xù)的,i∈{1,2};

定理2 假設(shè)條件(H1),(H2),(H3)成立,那么u是系統(tǒng)(1)的解,當且僅當ui∈E,i∈{1,2}是下面方程的解:

其中

G(t,s)=G1(t,s)+G2(t,s)

推論1 函數(shù)G1(t,s)具有如下性質(zhì):

1)G1(t,s)=G1(1-t,1-s);

2) 對于任意t,s∈(0,1),G1(t,s)>0;

3)k(1-t)k(s)≤Γ(α)G1(t,s)≤(α-1)k(s);

4)k(1-t)k(s)≤Γ(α)G1(t,s)≤(α-1)k(1-t)。

推論2 函數(shù)G(t,s),對于任意(t,s)∈[0,1],具有以下性質(zhì):

k(1-t)k(s)≤Γ(α)G(t,s)≤Lk(s)

2 主要結(jié)果

在此部分,將運用定理1來研究系統(tǒng)(1)的正解存在性、局限性和多重性。

若υ∈K,則定義

根據(jù)推論1和推論2,對于任意t∈[a,b],有

在E=C[0,1]中定義2個錐P1,P2:

則在E2中對應(yīng)的錐為P:=P1×P2。

引理1T:P→P是具有分量(T1,T2)的全連續(xù)算子,那么T(u)=(T1(u),T2(u)),u=(u1,u2)∈P2,其中

不難看出,求解系統(tǒng)(1)的正解等價于求解P中的積分系統(tǒng)的正解:

給定αi,βi>0,滿足αi≠βi,令ri=min(αi,βi),Ri=max(αi,βi),i∈{1,2},且

定理3 假設(shè)存在αi,βi>0,且有αi≠βi,i∈{1,2},使得

那么系統(tǒng)(1.0)至少存在一個正解u=(u1,u2),且ri<‖ui‖∞

證明 首先若u∈Pr,R,r1<‖u1‖∞

Mr1

得出對于t∈[a,b],u的軌跡是包含在矩形(Mr1,R1)×(Mr2,R2)中的。

同時,若‖ui‖∞=αi,那么對于t∈[a,b],ui(t)≤αi且對于t∈[a,b],Mαi≤ui(t)≤αi;

證明對于任意u∈Pr,R,i∈{1,2},以下性質(zhì)成立:

ⅰ) 若‖ui‖∞=αi,那么Tiu-ui?Pi;

ⅱ) 若‖ui‖∞=βi,那么ui-Tiu?Pi;

假設(shè)‖u1‖∞=α1,若有T1u-u1∈P1,那么對于任意t∈(0,1),

這與α1<α1矛盾。

假設(shè)‖u1‖∞=β1,若有u1-T1u∈P1,那么對于任意t*∈(0,1),

這與β1>β1矛盾。

因此,對于i=1,條件ⅰ),ⅱ)成立;同理,對于i=2,也成立;根據(jù)定理1可知算子T至少存在一個不動點u,那么系統(tǒng)(1)至少存在一個正解u=(u1,u2)。

證明 應(yīng)用定理1,對于任意k∈{1,2,…,N},得到一個正解uk滿足

因此,得到uk(k∈{1,2,…,N})是N個不同的正解。

推論4 特殊地,若f1,f2不依賴于t,即f1=f1(u1,u2),f2=f2(u1,u2),且f1和f2關(guān)于u1,u2具有某些單調(diào)性,u1∈[Mr1,R1],u2∈[Mr2,R2],則可以選定l1,l2,L1,L2的值。

例如:若f1,f2關(guān)于u1,u2是單調(diào)遞增的,那么

3 結(jié) 論

本文研究了一類耦合的帶有積分邊界條件的非線性分數(shù)階微分方程系統(tǒng)的正解的存在性,同時研究得到該系統(tǒng)正解的局限性和多重性。