卞鴻巍，文 者，馬 恒，王榮穎

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢 430033）

隨著全球變暖，北極地區(qū)冰化加劇。本世紀(jì)中葉北冰洋夏季預(yù)計將出現(xiàn)全域通航的狀態(tài)，北極航運(yùn)價值將日益凸顯。提前開展極區(qū)導(dǎo)航技術(shù)和裝備研究十分必要。在極區(qū)進(jìn)行航運(yùn)、探索等活動中，慣性導(dǎo)航設(shè)備作為一種重要的自主導(dǎo)航設(shè)備，其極區(qū)工作性能的檢驗(yàn)是一個重要和復(fù)雜的問題。特別對于地理位置相對遠(yuǎn)離極區(qū)的國家，在極區(qū)進(jìn)行大規(guī)模海上航行試驗(yàn)周期長、成本高，實(shí)際實(shí)施十分困難[1]，因此需要研究基于中低緯度試驗(yàn)航次的被試慣導(dǎo)與參考基準(zhǔn)的數(shù)據(jù)，采用一定方法推算評估被試慣導(dǎo)在極區(qū)采取相似運(yùn)行軌跡和機(jī)動狀態(tài)的精度性能，這項(xiàng)技術(shù)稱為“慣性導(dǎo)航系統(tǒng)極區(qū)性能的中低緯度模擬測試技術(shù)”，本文簡稱為“極區(qū)中低緯度模擬測試技術(shù)”。

對于這種利用中低緯度載體運(yùn)動軌跡和IMU 原始輸出轉(zhuǎn)移至極區(qū)進(jìn)行極區(qū)算法驗(yàn)證的技術(shù)，已有學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究：文獻(xiàn)[2][3]討論了虛擬極點(diǎn)(極區(qū))的方法，本質(zhì)是重構(gòu)地球經(jīng)緯網(wǎng)將當(dāng)?shù)刈远x為虛擬極區(qū)，實(shí)現(xiàn)在當(dāng)?shù)刂械途暥认聦T導(dǎo)極區(qū)算法進(jìn)行驗(yàn)證的目的；這一方法存在的問題是無法模擬反映出極區(qū)真實(shí)的重力矢量與地球自轉(zhuǎn)矢量等測量條件；此后的研究主要是在軌跡轉(zhuǎn)移基礎(chǔ)上同時對IMU 數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，重新生成極區(qū)的模擬IMU 數(shù)據(jù)，模擬的IMU數(shù)據(jù)除可用于本慣導(dǎo)極區(qū)測試，還可用于地形匹配、重力匹配、組合導(dǎo)航等其他方面。文獻(xiàn)[4]對地球系(地心地固坐標(biāo)系)坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)以構(gòu)建軌跡，并討論了IMU 的轉(zhuǎn)換公式，仿真驗(yàn)證能通過中低緯度測試航行驗(yàn)證極區(qū)算法的有效性；文獻(xiàn)[5]則對模擬極區(qū)技術(shù)做了一定的分析；文獻(xiàn)[6]第4 部分中給出了中低緯度到極區(qū)軌跡轉(zhuǎn)移的部分IMU 轉(zhuǎn)換公式，并基于此完成了橫向編排的慣性導(dǎo)航算法在極區(qū)的性能驗(yàn)證。上述對軌跡轉(zhuǎn)移方法和IMU 轉(zhuǎn)換算法的研究，僅能進(jìn)行極區(qū)算法驗(yàn)證，還不足以支持在中低緯度對慣導(dǎo)系統(tǒng)開展模擬測試。關(guān)于極區(qū)模擬測試?yán)碚摚墨I(xiàn)[7][8]具體給出了橢球模型下的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換及IMU 轉(zhuǎn)換公式，完善了模擬測試系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和理論，數(shù)字試驗(yàn)證明在基準(zhǔn)誤差不計的條件下模擬慣導(dǎo)性能與極區(qū)實(shí)地慣導(dǎo)性能相當(dāng)。文獻(xiàn)[9]則以旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)為對象，也研究了模擬測試中IMU 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)移問題，并認(rèn)為高緯度模擬數(shù)據(jù)可以反映旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)的特性，數(shù)據(jù)精度也能夠符合誤差分析的要求。

不同于極區(qū)算法的有效性驗(yàn)證，對于實(shí)際的高精度慣導(dǎo)性能測試，參考基準(zhǔn)誤差是影響模擬測試精度評估的關(guān)鍵因素之一。但基準(zhǔn)誤差對模擬測試系統(tǒng)的影響，由于分析困難，前人文獻(xiàn)中大都予以忽略或僅僅停留在定性估計階段。為解決這一問題，本文從慣導(dǎo)系統(tǒng)極區(qū)性能中低緯模擬測試的定量誤差分析角度，分析推導(dǎo)了慣導(dǎo)各主要導(dǎo)航變量模擬測試中受中低緯基準(zhǔn)誤差影響的程度，并最終推導(dǎo)出地球球體模型下載體中低緯地表運(yùn)動下模擬極區(qū)IMU 輸出轉(zhuǎn)換修正量誤差的完整公式，為進(jìn)一步的慣導(dǎo)極區(qū)模擬測試系統(tǒng)搭建與評估等工作奠定了重要的理論基礎(chǔ)。

1 極區(qū)中低緯模擬測試方法

由于本問題的理論分析較復(fù)雜，為簡化分析，本文取地球模型為球體模型，載體應(yīng)用條件限于地表導(dǎo)航。并確定中低緯度至極區(qū)高緯度的軌跡轉(zhuǎn)移策略為轉(zhuǎn)移前后載體的速度、姿態(tài)、軌跡形狀相對橫向坐標(biāo)系保持不變。

假設(shè)配備導(dǎo)航基準(zhǔn)參考系統(tǒng)的載體在中低緯度搭載被試捷聯(lián)慣導(dǎo)在橫向赤道附近運(yùn)行，被試慣導(dǎo)輸出IMU 數(shù)據(jù)分別為載體(b 系)上導(dǎo)航參考基準(zhǔn)給出的速度、姿態(tài)在當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系(g 系)下分別表示為基準(zhǔn)軌跡(位置)為p，即緯度φ、經(jīng)度λ。橫向坐標(biāo)系的定義可根據(jù)需要人為指定（在地理赤道上選取適當(dāng)?shù)奈恢枚x橫向極點(diǎn)，使待轉(zhuǎn)移軌跡處于橫向赤道附近），基本變量計算及橫向慣導(dǎo)編排不再贅述，詳見文獻(xiàn)[10][11]等。

依據(jù)轉(zhuǎn)換公式，將基準(zhǔn)導(dǎo)航參數(shù)投影至當(dāng)?shù)貦M向地理坐標(biāo)系(t 系)表示為

其中

其中Λ 表示軌跡沿橫向緯線移動的角距離，即經(jīng)度跨度，本文稱為“軌跡轉(zhuǎn)移角”。軌跡轉(zhuǎn)移如圖1 所示。

圖1 軌跡轉(zhuǎn)移示意圖Fig.1 Demonstration of trajectory transformation

圖1 中僅繪出了橫向緯線圈。N 表示傳統(tǒng)北極點(diǎn)，處于橫向赤道上。至此取得了模擬基準(zhǔn)的各導(dǎo)航參數(shù)。

根據(jù)慣導(dǎo)解算方程中的比力方程和姿態(tài)矩陣微分方程：

其中“×”表示變量的反對稱矩陣(下文同)。以“tm”表示模擬極區(qū)地區(qū)橫向地理坐標(biāo)系，“bm”表示模擬極區(qū)地區(qū)載體坐標(biāo)系。將式(6)(7)中g(shù) 分別置換為t 和tm(b系也對應(yīng)取b 或bm)，表示實(shí)測地區(qū)和模擬極區(qū)地區(qū)均應(yīng)成立的IMU 解算方程，然后根據(jù)轉(zhuǎn)移前后橫向地理坐標(biāo)系下速度、姿態(tài)不變的轉(zhuǎn)移原則列寫關(guān)系式：

可以得到，模擬地區(qū)運(yùn)行的慣導(dǎo)IMU 數(shù)據(jù)與實(shí)測慣導(dǎo)IMU 數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)滿足式(9)(10)。

極區(qū)中低緯模擬測試工作就是將極區(qū)模擬基準(zhǔn)的導(dǎo)航參數(shù)與被試慣導(dǎo)極區(qū)模擬解算數(shù)據(jù)對比，以評估被試慣導(dǎo)的極區(qū)工作性能。

圖2 展示了該模擬測試系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)環(huán)節(jié)。實(shí)測基準(zhǔn)數(shù)據(jù)經(jīng)歷了“g-t-tm”的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換形成極區(qū)模擬基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，實(shí)測IMU 數(shù)據(jù)經(jīng)轉(zhuǎn)換修正后直接以tm系為導(dǎo)航坐標(biāo)系進(jìn)行解算，其解算結(jié)果直接與處在tm系的模擬基準(zhǔn)進(jìn)行比較、分析和評估。

圖2 慣導(dǎo)極區(qū)模擬測試原理流程圖Fig. 2 Flow chart of INS polar simulation test system

dfb、dωb分別表示IMU 中加速度計和陀螺儀極區(qū)模擬輸出的轉(zhuǎn)換修正量，實(shí)測慣導(dǎo)IMU 數(shù)據(jù)加上IMU 轉(zhuǎn)換修正量即得到極區(qū)模擬的IMU 數(shù)據(jù)。由于IMU 轉(zhuǎn)換修正量的計算需使用基準(zhǔn)測量的導(dǎo)航參數(shù)，因此基準(zhǔn)誤差將造成IMU 轉(zhuǎn)換修正量的計算誤差，進(jìn)而導(dǎo)致模擬的IMU 數(shù)據(jù)出現(xiàn)誤差，此誤差是極區(qū)中低緯模擬測試方法最主要的誤差之一，必須加以分析。

2 基準(zhǔn)誤差分析與建模

如上所述，基準(zhǔn)誤差是極區(qū)中低緯模擬測試中重要的誤差源，本節(jié)從分析基準(zhǔn)數(shù)據(jù)來源出發(fā)，構(gòu)建合理的基準(zhǔn)誤差模型，進(jìn)行基準(zhǔn)誤差的表示。

2.1 基準(zhǔn)參數(shù)獲取分析

設(shè)中低緯度導(dǎo)航基準(zhǔn)參考設(shè)備輸出位置、速度、姿態(tài)等導(dǎo)航參數(shù)為當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系下的值，暫且僅考慮地球表面導(dǎo)航的情況。

考慮測試實(shí)際情況，一般由衛(wèi)星導(dǎo)航設(shè)備(如GPS、BDS)獨(dú)立給出位置基準(zhǔn)；航姿基準(zhǔn)可依賴高精度星敏感器的觀測，精度優(yōu)于角分級；速度基準(zhǔn)可由衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)或者高精度計程儀給出。也可選擇最常用的高精度慣導(dǎo)與衛(wèi)導(dǎo)等組合導(dǎo)航系統(tǒng)，提供相應(yīng)的位置、速度和航姿等導(dǎo)航參數(shù)基準(zhǔn)，此時基準(zhǔn)航向、速度誤差與基準(zhǔn)定位誤差不獨(dú)立。

鑒于基準(zhǔn)數(shù)據(jù)來源的復(fù)雜性，考慮不同基準(zhǔn)導(dǎo)航參數(shù)誤差之間的關(guān)系非常困難，由不同設(shè)備來源、不同組合方式乃至不同的濾波模型都將產(chǎn)生不同的結(jié)果。為便于分析，本文不具體研究上述基準(zhǔn)參數(shù)產(chǎn)生方式，將基準(zhǔn)的各導(dǎo)航參數(shù)誤差暫時視為相互獨(dú)立，著重進(jìn)行模擬測試過程中的誤差傳播分析。

2.2 基準(zhǔn)誤差的表示

位置基準(zhǔn)輸出值一般為地理經(jīng)緯度，將位置基準(zhǔn)誤差模型表示為：

R 表示地球球體模型半徑。速度誤差模型在地理坐標(biāo)系和橫向地理坐標(biāo)系中可分別表示為：

其轉(zhuǎn)換關(guān)系為式(1)，由于僅考慮地表導(dǎo)航，速度矢量中包含東向分量和北向分量：

基準(zhǔn)誤差通常量級很小，根據(jù)羅德里格斯（Rodrigues）旋轉(zhuǎn)公式，取一階近似得：

3 基準(zhǔn)誤差對IMU 極區(qū)模擬轉(zhuǎn)換修正量各變量的影響分析

基本分析思路如下：首先分析位置、速度、航姿等建立各導(dǎo)航參數(shù)基準(zhǔn)誤差模型，分別代入IMU 轉(zhuǎn)換修正量計算公式(11)(12)中，最終推導(dǎo)分離出IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差的具體表達(dá)式。

3.1 位置基準(zhǔn)誤差的影響

將位置誤差模型代入到轉(zhuǎn)換公式相關(guān)的各矩陣變量中，研究位置矩陣以及有關(guān)的地理坐標(biāo)系變換矩陣在定位誤差影響下的具體誤差表達(dá)式，進(jìn)而分析定位誤差影響效果。

展開并忽略其中二階小量，利用小角度轉(zhuǎn)動的可交換性得：

3.1.2 實(shí)測地區(qū)到極區(qū)模擬地區(qū)橫向地理坐標(biāo)系轉(zhuǎn)移矩陣

由計算公式：

可得表達(dá)式：

基準(zhǔn)的橫北向位置誤差(橫緯度誤差)將對其計算產(chǎn)生影響，易知其誤差量級與Δφt相當(dāng)。

3.1.3 基準(zhǔn)位置誤差影響綜合分析

基準(zhǔn)定位信息來源通常是衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，定位誤差量級為米級或亞米級，其在位置矩陣、地理坐標(biāo)系轉(zhuǎn)移矩陣等計算中的影響均在Δp/ R 量級，為10-7～10-6rad，在0.1 角秒左右，誤差甚微。目前姿態(tài)測量精度尚難達(dá)到角秒級，速度測量精度在0.1 m/s附近，代入IMU 轉(zhuǎn)換方程中，發(fā)現(xiàn)姿態(tài)、速度誤差影響遠(yuǎn)大于位置誤差的影響。綜合分析，以目前速度、姿態(tài)測量水平和測試要求，基準(zhǔn)定位誤差對位置矩陣、地理坐標(biāo)系轉(zhuǎn)移矩陣計算的影響完全可忽略不計。

步驟1：初始化候選斷點(diǎn)集，令CUT={Caj︱j=1,2,…,m}，其中Caj為條件屬性aj的候選斷點(diǎn)集。

3.2 基準(zhǔn)速度誤差對變量 、 計算的影響

其中

同樣地，速度誤差對此變量造成的影響遠(yuǎn)大于定位誤差對其的影響，因此：

3.3 基準(zhǔn)姿態(tài)誤差對變量計算的影響

橫向地理坐標(biāo)系下的姿態(tài)矩陣誤差模型可表示為：

推導(dǎo)可得向量Φt與Φ 的關(guān)系：

3.4 重力變量的計算和誤差處理方式

對重力變量gt，本文采用一般重力的達(dá)朗貝爾方程對其誤差進(jìn)行計算分析。由于重力異常和垂線偏差是影響高精度慣導(dǎo)系統(tǒng)精度的重要因素，可通過實(shí)測數(shù)據(jù)庫和相關(guān)技術(shù)，實(shí)時補(bǔ)償垂線偏差、重力異常等因素，才能進(jìn)一步提升慣導(dǎo)精度水平。本文暫不對此進(jìn)行深入討論。此外，基準(zhǔn)位置誤差顯然可造成的一般重力的計算誤差，由于其影響甚微，可忽略。達(dá)朗貝爾方程如下，其中g(shù)0=9.780325 m/s2：

4 IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差模型

綜合基準(zhǔn)誤差對變量計算的影響程度，根據(jù)式(11)(12)，列寫加速度計、陀螺儀轉(zhuǎn)換修正量計算模型如下：

將存在誤差的計算量表示為理論值和偏差值相加，展開表達(dá)式后分別與式(11)(12)相減，忽略二階以上小量化簡可得IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差的符號表達(dá)式如式(39)(40)所示。

可注意到表達(dá)式中模擬IMU 陀螺儀輸出轉(zhuǎn)換修正量誤差僅與基準(zhǔn)姿態(tài)誤差有關(guān)。其中 gt、gtm分別表示測試地區(qū)和模擬地區(qū)重力加速度的大?。?/p>

經(jīng)嘗試，采用傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系下的基準(zhǔn)誤差作為源變量表示IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差，公式十分冗長，考慮到公式表達(dá)的相對簡潔性，采用橫向速度誤差與姿態(tài)失準(zhǔn)角誤差作為源誤差變量，列寫IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差的表達(dá)式結(jié)構(gòu)如下：

此模型可體現(xiàn)誤差源的各個分量對IMU 轉(zhuǎn)換修正量的影響，通過計算其中的各個系數(shù)便于分析不同誤差源對IMU 轉(zhuǎn)換修正量影響的方式和量級。借助軟件Wolfram?Mathematica 7 進(jìn)行符號運(yùn)算推導(dǎo)，可得表達(dá)式中各個系數(shù)，見表1。

表1 IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差公式中的系數(shù)Tab.1 Coefficient in error formula of IMU conversion correction variables

式中 ωie為地球自轉(zhuǎn)角速度、ψt為橫航向角，A、B 分別代表：

5 仿真試驗(yàn)

為檢驗(yàn)IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差公式推導(dǎo)的正確性，利用參考基準(zhǔn)的跑車測試數(shù)據(jù)[12]進(jìn)行IMU 極區(qū)模擬轉(zhuǎn)換修正量誤差的計算。

由實(shí)測軌跡中心經(jīng)緯度(約114.47 °E、30.452 °N)，選取軌跡中央經(jīng)線114.47 °E 為橫向赤道以構(gòu)建橫向坐標(biāo)系，設(shè)置軌跡轉(zhuǎn)移角Λ=59.548 °，使模擬測試區(qū)域在北極點(diǎn)附近。

采用數(shù)據(jù)中基準(zhǔn)系統(tǒng)輸出的“avp”全導(dǎo)航參數(shù)，設(shè)置此基準(zhǔn)存在常值系統(tǒng)誤差：縱搖誤差-1′，橫搖誤差1′，航向誤差3′，東向、北向速度誤差均為0.1 m/s，代入公式(42)(43)和表1 中，計算結(jié)果（圖3）顯示，IMU 中陀螺儀與加速度計轉(zhuǎn)換修正量誤差各分量量級最大約為0.01 °/h(6×10-8rad/s)與2 μg(2×10-5m/s2)，初步說明這一精度水平的基準(zhǔn)在較高精度的慣導(dǎo)極區(qū)模擬測試中造成的轉(zhuǎn)換誤差是不可忽略的。

該計算結(jié)果與理論值(將基準(zhǔn)參數(shù)與疊加誤差的基準(zhǔn)參數(shù)直接用于變量計算，代入式(11)(12)并對應(yīng)相減)比較，結(jié)果見圖4，其中上圖為誤差模型計算的陀螺儀轉(zhuǎn)換修正量的偏差，最大不足10-5°/h，下圖為誤差模型計算的加速度計轉(zhuǎn)換修正量偏差，最大不足2×10-3μg，與圖3 中IMU 轉(zhuǎn)換修正量的量級相比較均在1‰以下，驗(yàn)證了本文所推導(dǎo)的誤差模型的正確性。

圖3 IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差解算Fig.3 Error of IMU conversion correction variables

圖4 模型計算IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差的偏差Fig. 4 Bias of the error of IMU conversion correction variables calculated by model

6 結(jié) 論

針對慣性導(dǎo)航極區(qū)中低緯模擬測試系統(tǒng)中IMU轉(zhuǎn)換過程產(chǎn)生誤差的問題，本文開展了IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差的定量分析工作，推導(dǎo)了參考基準(zhǔn)誤差導(dǎo)致的極區(qū)模擬轉(zhuǎn)換修正量誤差的表達(dá)式（見式(39)(40)）及其完整展開式（見式(42)(43)和表1），經(jīng)分析，有如下主要結(jié)論：

(1)基準(zhǔn)定位誤差在IMU 輸出模擬轉(zhuǎn)換修正過程中的誤差影響較小，可忽略不計；(2)參考基準(zhǔn)的姿態(tài)誤差是造成IMU 陀螺模擬轉(zhuǎn)換修正量誤差的最主要原因（見式(40)）；(3)參考基準(zhǔn)的速度、姿態(tài)誤差均可造成IMU 加速度計模擬轉(zhuǎn)換修正量誤差(見式(39))；(4)中低緯實(shí)測地區(qū)與模擬極區(qū)地區(qū)間的重力差異將通過參考基準(zhǔn)水平姿態(tài)誤差的傳遞修正計算造成IMU 模擬加速度計輸出誤差（見表1），重力異常、垂線偏差等因素影響有待進(jìn)一步研究。(5)本文所得公式可運(yùn)用于船載慣導(dǎo)系統(tǒng)以及機(jī)載慣導(dǎo)系統(tǒng)的極區(qū)水平機(jī)動模擬測試，包含高度通道的誤差影響公式還需進(jìn)一步推導(dǎo)。

本文開展的慣導(dǎo)極區(qū)中低緯模擬測試中的IMU轉(zhuǎn)換修正量誤差的定量研究工作，為慣導(dǎo)極區(qū)中低緯模擬測試技術(shù)的精度分析和測試設(shè)計提供了理論分析方法，為未來慣導(dǎo)極區(qū)中低緯模擬測試的工程化實(shí)施奠定了必要的理論基礎(chǔ)。由于推導(dǎo)獲得的IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差系數(shù)仍較為復(fù)雜，公式的實(shí)際工程應(yīng)用以及IMU 轉(zhuǎn)換修正量誤差對極區(qū)模擬慣導(dǎo)系統(tǒng)影響的深層機(jī)理仍需進(jìn)一步研究。