薛亞芬,耿 堤

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

Banach空間上可微泛函漸近臨界值的某些性質(zhì)

薛亞芬*,耿 堤

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

用Ekeland漸近變分原理證明了Banach空間上連續(xù)可微泛函漸近臨界值的某些性質(zhì), 推廣了有關(guān)強(qiáng)制性的結(jié)果.

Ekeland變分原理; 泛函的漸近臨界值; Palais-Smale條件; 強(qiáng)制性

Ekeland漸近變分原理[1]在非線性分析和偏微分方程等數(shù)學(xué)分支中發(fā)揮了重要的作用,多方面得到推廣和應(yīng)用,可參見文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]及其所引用的參考文獻(xiàn).本文利用Ekeland漸近變分原理, 證明了泛函漸近臨界值(定義見后)的某些新性質(zhì).進(jìn)而在更弱的條件下, 證明了泛函在無(wú)窮遠(yuǎn)具有強(qiáng)制性,并且關(guān)于強(qiáng)制性的細(xì)節(jié), 建立了更多的結(jié)果.

設(shè)f是完備度量空間(E,d)中的泛函不恒等于正無(wú)窮,α為任意取定的一個(gè)正數(shù).

αd(x,y)≤f(x)-f(y),

(1)

且y還是泛函fy(v)=f(v)+αd(v,y)在E中的全局極小值點(diǎn), 即

(2)

以下總假設(shè)所討論的泛函f在Banach空間X中是Fréchet可微的.設(shè)A是X的非空子集,記

我們的主要結(jié)果是用泛函f在A中的下確界與某鄰域中的下確界,估計(jì)某些點(diǎn)的Fréchet導(dǎo)數(shù).

(3)

(4)

且

(5)

利用f(x)

‖x-y‖

y即為所求.

注1 如果dist(x,XB)是有限數(shù), 可以取r=dist(x,XB).

則由定理1可得如下的結(jié)論:

(6)

(7)

為研究f的臨界值的漸近性質(zhì), 引入如下概念:

定義1 (i) 稱點(diǎn)列{un}?X是泛函f的Palais-Smale序列,如果{f(un)}有界且f′(un)→0.

(iii)c稱為是泛函f的漸近臨界值, 如果存在點(diǎn)列{un}?X, 使得f(un)→c且f′(un)→ 0;如果進(jìn)而還有‖un‖→∞,c稱為是泛函f在無(wú)窮遠(yuǎn)的漸近臨界值.

若函數(shù)mA(r)有好的性質(zhì), 則可以導(dǎo)出f(u)的漸近臨界值的存在性.以下是本文的另一主要結(jié)果：

定理4 設(shè)f在X的非空子集A的某個(gè)鄰域中下方有界. 如果mA(r)在r=0的Dini右下導(dǎo)數(shù)為零, 即D+m(0)=0, 其中

(8)

證明由D+m(0)=0, 我們知道存在一列rj>0, 使得rj>rj+1, 且當(dāng)j→∞時(shí),rj→0,

且‖xj-yj‖

f(yj)→mA, ‖f′(yj)‖→0.

對(duì)于r趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)的情形, 有如下的結(jié)論:

定理6 設(shè){Rj}是一列嚴(yán)格增加趨于正無(wú)窮的正數(shù). 如果

(9)

則f(x)有一個(gè)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)的(PS)序列, 即存在X中的點(diǎn)列{uj}, 使得當(dāng)j→∞時(shí),

‖uj‖→∞,‖f′(uj)‖→0.

證明取一列正數(shù)δj>0, 使得當(dāng)j→∞時(shí), 有δj/(Rj+1-Rj)→0, 則

利用定理5即可得到所欲求.

作為定理6的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用,給出如下的結(jié)果, 其中有關(guān)強(qiáng)制性的結(jié)論最早見于文獻(xiàn)[4],是用形變引理證明的.在文獻(xiàn)[2]中, 用Ekeland變分原理得到一個(gè)新證明. 這里是在更弱的條件下給出了加強(qiáng)的結(jié)論.

定理7 設(shè)f是X中下方有界的泛函. 如果f的每個(gè)Palais-Smale序列都存在有界的子列, 則f具有強(qiáng)制性, 即

f(u)→+∞,當(dāng)‖u‖→∞.

進(jìn)而, 或者存在正數(shù)a>0和R>0, 成立

f(x)≥a‖x‖,當(dāng)‖x‖≥R;

或者存在一列點(diǎn){un}?X, 使得當(dāng)n→∞時(shí), 成立

‖un‖→∞且‖f′(un)‖→0.

證明如若不然,f不具有強(qiáng)制性, 則m(r)上有界. 又m(r)單調(diào)不減, 即得到當(dāng)r→+∞時(shí),m(r)→A<∞. 因此

不難看出f(un)→A, 因此{(lán)un}是f的Palais-Smale序列, 但由‖un‖→∞知{un}無(wú)有界的子列, 此與所設(shè)相矛盾. 故必有

由此不難得知

m([‖u‖])≥2a·([‖u‖]-1)≥a‖u‖,

其中[c]表示不超過(guò)c的最大整數(shù).

‖uj‖→∞且‖f′(uj)‖→0.

{uj}即為所求.

注4 上述結(jié)論中的最后2個(gè)斷言并非是相斥的，例如在中的泛函f(x)=(x+sinx)2滿足Palais-Smale條件, 既是強(qiáng)制的且增長(zhǎng)是超線性的, 又在無(wú)窮遠(yuǎn)有無(wú)窮多個(gè)臨界點(diǎn).

[1] EKELAND I. On the variational principle[J].J Math Anal Applic, 1974,47:324-357.

[2] BRéZIS H,NIRENBERG L. Remarks on finding critical points[J].Comm Pure Appl Math,1991,64:939-963.

[3] SUZUKI T. Generalized distance and existence theorems in complete metric spaces[J]. J Math Anal Applic,2001,253: 440-458.

[4] CAKLOVIC L,LI Shujie,WILLEM M. A note on Palais-Smale condition and coercivity[J]. Diff Inte Eqns, 1990, 3(4): 799-800.

Keywords： Ekeland variational principle; asymptotic critical value; Palais-Smale condition; coerciveness of functional

SomePropertiesofDifferentiableFunctionalatAsymptoticCriticalValueonBanachSpace

XUE Yafen*,GENG Di

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

Some properties of Fréchet differentiable functional at asymptotic critical value on Banach space are shown in the present paper, which can be applied to generalize the relation between coerciveness of the functional and Palais-Smale condition.

2011-04-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10371045);廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(5005930)

*通訊作者，xueyafen@sina.cn

1000-5463(2012)01-0039-03

O175.25

A

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】