余 鑫，王傳玉，何學(xué)強(qiáng)

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

養(yǎng)老金計(jì)劃主要分為兩類：固定收益(DB)計(jì)劃和固定繳款(DC)計(jì)劃。在DB計(jì)劃中，退休金是預(yù)先確定的，退休金計(jì)劃參與的供款也要確定，然后進(jìn)行調(diào)整以使資金保持平衡。與DB計(jì)劃相關(guān)的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)由計(jì)劃發(fā)起人而不是計(jì)劃成員承擔(dān)。在DC計(jì)劃中，僅定義了供款(通常是工資的固定百分比)，而雇員的退休福利則由退休時(shí)積累的金額決定。與DC計(jì)劃相關(guān)的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)已從發(fā)起人轉(zhuǎn)移到了繳款者。近年來，DC計(jì)劃在養(yǎng)老金市場中變得越來越受歡迎。DC養(yǎng)老金計(jì)劃的退休福利主要受退休前投資組合的表現(xiàn)所影響。定繳款計(jì)劃的退休福利主要受退休前基金組合的表現(xiàn)所影響。資產(chǎn)配置決策是養(yǎng)老金積累階段風(fēng)險(xiǎn)管理的重要內(nèi)容。具有不同目標(biāo)的DC養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略，以及預(yù)期效用最大化的運(yùn)用，已在文獻(xiàn)中進(jìn)行了廣泛討論。由于DC養(yǎng)老金計(jì)劃的投資時(shí)間通常很長，因此一些研究將通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)納入了模型。例如，Zhang等研究了具有DC養(yǎng)老金基金通脹風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)資產(chǎn)配置。Han等分別討論了在CRRA效用最大化和均值-方差準(zhǔn)則下具有通脹風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)DC計(jì)劃管理的連續(xù)時(shí)間優(yōu)化模型。

由于養(yǎng)老金計(jì)劃的目的是為成員提供足夠的退休收入，因此一些研究將投資組合保險(xiǎn)(PI)約束納入DC養(yǎng)老金的投資問題中，參見Boulier和Cairns。PI約束可以通過對保險(xiǎn)合同施加最低保證來增強(qiáng)對保單持有人或養(yǎng)老金成員的保護(hù)。具體而言，績效指標(biāo)約束要求經(jīng)理在退休時(shí)將投資組合價(jià)值保持在最低擔(dān)保之上，這對成員的福利至關(guān)重要。最低保證的一種流行形式是其退休成員的最低年收入，參見Boulier、Guan等將平均預(yù)期壽命延長到具有確定性死亡率的隨機(jī)時(shí)間。

王傳玉等研究了通脹環(huán)境下帶有紅利和最低收益保障的確定繳費(fèi)(DC)型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資問題。應(yīng)用伊藤公式得到通脹折現(xiàn)后的真實(shí)財(cái)富過程，在DC型養(yǎng)老金計(jì)劃終端財(cái)富內(nèi)部保障約束下，即終端財(cái)富始終超過最低收益保障，考慮通脹環(huán)境下的退休時(shí)刻終端財(cái)富期望CRRA效用最大化問題。應(yīng)用HJB方程推導(dǎo)得到了退休前任意時(shí)刻DC型養(yǎng)老金計(jì)劃最優(yōu)投資策略的顯式解，分析了不同參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響，為DC型養(yǎng)老金計(jì)劃投資者提供更有效的策略。孔煥等研究了帶有不確定收益的保險(xiǎn)公司在離散時(shí)間點(diǎn)的最優(yōu)分紅問題。引入不確定收益項(xiàng)和風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，并在指數(shù)保費(fèi)原則下構(gòu)建了貼現(xiàn)收益，研究了有限時(shí)間和無限時(shí)間范圍的最優(yōu)分紅策略，證明最優(yōu)分紅策略是一個(gè)波段策略。最后,給出一些數(shù)值研究，并討論了不同風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)對最優(yōu)分紅策略的影響。

S型效用函數(shù)是指效用函數(shù)在一定財(cái)富或收益水平下是凸函數(shù),而在一定財(cái)富或收益之上則是凹函數(shù)，通過S型效用函數(shù)還可以說明財(cái)富減少給人們帶來的效用降低程度比因財(cái)富增加帶來的效用增量更大。李波研究了在Kahneman等提出的預(yù)期理論的框架下的最優(yōu)投資策略選擇問題，在連續(xù)時(shí)間情形下依據(jù)預(yù)期理論的原則，用S型效用函數(shù)去表示投資者對待收益和損失時(shí)不同的態(tài)度。Servvas推導(dǎo)了具有期望理論偏好的個(gè)體的最優(yōu)動(dòng)態(tài)消費(fèi)和投資組合選擇,證明了最優(yōu)消費(fèi)策略對經(jīng)濟(jì)沖擊是相當(dāng)不敏感的,證實(shí)了具有預(yù)期理論偏好的個(gè)人通常會實(shí)施(非常)保守的投資組合策略,并討論了研究結(jié)果對投資相關(guān)年金產(chǎn)品設(shè)計(jì)的影響。

基于Dong提出的在賣空限制和投資組合保險(xiǎn)下DC養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資問題，進(jìn)行了進(jìn)一步的改進(jìn)，設(shè)置了新的資產(chǎn)組合模型，運(yùn)用對偶控制方法來解決問題，幫助管理者管理風(fēng)險(xiǎn)。研究是在賣空限制、分紅約束兩個(gè)條件下，利用S型效用函數(shù)對金融市場進(jìn)行研究。所研究的資產(chǎn)組合，即無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)以及成員進(jìn)行分紅后的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，并且描述了賣空限制和分紅約束如何影響最優(yōu)終端財(cái)富和最優(yōu)策略。

1 模型假設(shè)與構(gòu)建

從Dong的研究中，假設(shè)金融市場是一個(gè)非自融資的完備市場，在賣空限制和分紅約束下，定義一個(gè)完備概率空間(

Ω

,

F

,{

Ft

}

t

∈[0,

T

],

P

)，其中{

Ft

|

t

∈

T

}包含市場中

t

時(shí)刻之前可得的信息?？紤]連續(xù)有限時(shí)間

t

∈[0，

T

]的時(shí)間模型。假設(shè)所有的變量和隨機(jī)過程在這個(gè)概率空間中。養(yǎng)老金從時(shí)間0開始，退休時(shí)間為

T

。

W

(

t

)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，價(jià)格水平過程為

P

(

t

)，并假設(shè)

P

(

t

)服從隨機(jī)微分方程：

(1)

式中，

i

>0是預(yù)期的通貨膨脹率，而

σ

>0是價(jià)格水平的波動(dòng)性。假設(shè)金融市場由兩種交易資產(chǎn)組成：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、成員進(jìn)行分紅后的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

M

(

t

)服從隨機(jī)微分方程：

(2)

式中，

r

是固定的無風(fēng)險(xiǎn)名義收益率。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

N

(

t

)服從隨機(jī)微分方程：

(3)

(4)

式中，?和?分別是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場價(jià)格。

在DC計(jì)劃中，養(yǎng)老金成員在退休時(shí)間

T

之前向養(yǎng)老金計(jì)劃連續(xù)繳款，并且假定在時(shí)間

t

繳納給養(yǎng)老基金的金額為

c

(

t

)>0，其中

c

(

t

)是時(shí)間

t

的指數(shù)函數(shù)。養(yǎng)老金帳戶的初始財(cái)富

X

>0，令

π

(

t

)和

π

(

t

)分別是投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)量。考慮對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行分紅，假設(shè)繳款單位是1，單位時(shí)間內(nèi)每單位貨幣在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上所得的分紅記為

δ

，

t

時(shí)刻養(yǎng)老金賬戶資產(chǎn)為

X

(

t

)，投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為

π

(

t

)，投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為

π

(

t

)，則養(yǎng)老金的財(cái)富過程滿足以下微分方程：

(5)

假設(shè)養(yǎng)老金的最低收益保障為

L

，我們的目的是在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中找到最佳分配，以使終端財(cái)富效用最大化，即

(6)

式中，

U

是[0,∞)上的連續(xù)遞增函數(shù)，對于

U

(

x

)=-∞，

x

<0，

L

是一個(gè)正常數(shù)，表示成員退休時(shí)的一次總付。為了描述人們相對于一個(gè)最低收益保障參考點(diǎn)的不同的得失行為，即避險(xiǎn)勝于收益，風(fēng)險(xiǎn)尋求勝于損失。研究采取

S

型效用函數(shù)，它在[0,∞)被定義為

(7)

式中，

θ

是一個(gè)參數(shù)，且

θ

>0，

U

和

U

嚴(yán)格遞增，連續(xù)可微并且在[0,∞)上滿足

U

(

x

)<

U

(

x

)且

U

(0)=0。當(dāng)

x

<

θ

時(shí)，

U

是凸的，當(dāng)

x

>

θ

時(shí)，

U

是凹的，這表明人們在收益方面傾向于避險(xiǎn)，對損失則傾向于尋求風(fēng)險(xiǎn)。

2 模型求解

利用對偶控制方法研究效用最大化問題。效用函數(shù)(7)和參數(shù)的限制由Kahneman的實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)支持，通常用于效用最大化問題。參照Guan等，當(dāng)不允許賣空時(shí)，不能使用鞅方法。

設(shè)效用函數(shù)

U

(

x

)的對偶函數(shù)為

V

(

y

)=sup≥0{

U

(

x

)-

xy

},

y

>0，

(8)

設(shè)凹包絡(luò)

U

為

V

(

y

)=sup≥0{

U

(

x

)-

xy

},

y

>0，

(9)

取

I

(

y

)為

U

的反函數(shù)，

I

(

u

(

x

))=

I

(

V

(

y

)+

y

)，得到

(10)

由Reichlin的引理2

.

9可得，對于

y

>0，

(11)

由于

c

(

T

)>0的財(cái)富過程不是自籌的，對于

c

(

T

)=0的財(cái)富過程，Boulier等的對偶控制方法無法直接應(yīng)用，因此將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為具有控制約束的經(jīng)典投資組合優(yōu)化問題。從

t

到

T

的總養(yǎng)老金繳款的時(shí)間

t

的貼現(xiàn)值為

(12)

(13)

由財(cái)富過程式(5)得到

(14)

由Bian的引理3

.

1，采用非負(fù)上鞅過程

Y

構(gòu)造

Z

(

t

):=

X

(

t

)

Y

(

t

)，0≤

t

≤

T

，

(15)

給出對偶過程

dY

(

t

)=

Y

(

t

)(-

rdt

-(

σ

υ

(

t

)+

ξ

)

dW

(

t

))，

Y

(0)=

y

，

(16)

由于

Z

(

t

)是一個(gè)上鞅過程，且

V

是

U

的對偶函數(shù)，有

(17)

考慮對偶最小化問題

inf∈

E

[

V

(

Y

(

T

))-

LY

(

T

)]，

(18)

對于0≤

t

≤

T

且

y

>0,構(gòu)造對偶值函數(shù)

υ

(

t

，

y

)=inf∈

E

[

V

(

Y

(

T

))-

LY

(

T

)，

Y

(

t

)=

y

]，

(19)

對偶HJB方程為

(20)

式中，

V

(

y

)=

V

(

y

)，

y

>0。

(21)

(22)

利用Bian定理3

.

8的最優(yōu)對偶控制原理，得到最優(yōu)策略

(23)

令

(24)

對于?

λ

∈

R

,

h

>0,

y

>0，有

(25)

(26)

最優(yōu)的財(cái)富過程為

(27)

其中,

(28)

φ

是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，0<

t

<

T

。

d

(

k

,

y

,

t

)=

d

(

k

,

y

,

t

)-

α

(

t

),

α

(

t

)、

β

(

t

)、

d

(

k

,

y

,

t

)均由式(27)定義。在假設(shè)式(27)和式(30)中，令

z

=0，

k

=∞，且

d

(

k

，

y

，

t

)=∞。最優(yōu)終端財(cái)富為

(29)

對于

θ

>0，有

P

(

X

(

T

)=

L

)=1-

Φ

(

d

(

k

，

y

，0))，

(30)

式中，

k

是由

k

=

U

(

z

-

θ

)所確定的。

定理

1

若

θ

=0，效用函數(shù)

U

(

x

)=

U

(

x

)，

x

≥0(取

U

是因?yàn)?p>x

≥

θ

的情況下

U

(

x

)才能取正，如式(7)所示)，則最優(yōu)終端財(cái)富的簡化表達(dá)式為

(31)

若

θ

>0，則最優(yōu)終端財(cái)富達(dá)到最低收益保障

L

的概率為

P

(

X

(

T

)=

L

)=1-

Φ

(

d

(

k

，

y

，0))，

(32)

式中，

k

是由

k

=

U

(

z

-

θ

)所確定的。此處給出定理，令

P

(

X

(

T

))=

L

，在下一部分對結(jié)果進(jìn)行數(shù)值分析。

3 數(shù)值分析

在這一部分中，將進(jìn)行一些數(shù)值計(jì)算，以研究在賣空限制和分紅約束下，不同的參考點(diǎn)

θ

對最優(yōu)終端財(cái)富的影響以及分紅參數(shù)

δ

對最優(yōu)策略的影響。為了說明參考點(diǎn)

θ

如何影響最優(yōu)終端財(cái)富，令

T

=40，

r

=0

.

01,

r

=0

.

02,

i

=0

.

03,

μ

=0

.

05,

σ

=0

.

1,

σ

=0

.

2,

ρ

=0

.

75,

L

=0(模型中的參數(shù)值取自YingHui Dong)。最優(yōu)終端財(cái)富

P

(

X

(

T

)=0)和

θ

之間的關(guān)系如圖1所示。由圖1可見，當(dāng)參考點(diǎn)

θ

增大時(shí)，

X

(

T

)=0的概率增加。這是因?yàn)?p>P

(

X

(

T

)=0)衡量了經(jīng)濟(jì)狀況較差的情況，并且

θ

值較大的時(shí)候會擴(kuò)大損失的范圍。當(dāng)

θ

較小時(shí)，

X

(

T

)=0的概率較小，我們也可以看到

P

(

X

(

T

)=0)在賣空限制下大于允許賣空限制的情況，原因是投資者在賣空約束下對投資策略的選擇較少。

E

(

X

(

T

))與

θ

之間的關(guān)系如圖2所示。由圖2可見，允許賣空限制期望大于禁止賣空限制期望。這是因?yàn)槿绻顿Y者把他最初的盈余和繳款都投入到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中，那么期望就會達(dá)到一個(gè)最低水平。當(dāng)參考點(diǎn)相當(dāng)?shù)?低于最低收益保障)時(shí)，參考點(diǎn)的減少導(dǎo)致投資于每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富比例增加，因?yàn)橥顿Y于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)非常容易達(dá)到低參考點(diǎn)。當(dāng)參考點(diǎn)大于這個(gè)最低收益保障時(shí)，投資者為了尋求更多的風(fēng)險(xiǎn)，將更多的錢投入到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中，以幫助管理者有效地管理并降低風(fēng)險(xiǎn)。最優(yōu)投資策略

π

(

t

)與

δ

之間的關(guān)系如圖3所示。由圖3可見，隨著分紅的出現(xiàn)及增長，最優(yōu)投資策略也逐漸增加。出現(xiàn)這樣的結(jié)果是由于在財(cái)富過程的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上添加了分紅約束，投資者為了尋求更高的收益而改變投資策略，將更多的資產(chǎn)投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)當(dāng)中，導(dǎo)致最優(yōu)投資策略發(fā)生了改變。

圖1 最優(yōu)終端財(cái)富P(Xπ*(T)=0)和θ之間的關(guān)系圖2 E(Xπ*(T))與θ之間的關(guān)系

圖3 最優(yōu)投資策略π*(t)與δ之間的關(guān)系

4 貢獻(xiàn)與展望

研究賣空限制和分紅約束下DC養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資問題，通過對偶控制方法，建立財(cái)富過程，應(yīng)用HJB方程求解，最后通過給定參數(shù)，并進(jìn)行數(shù)值模擬。在此前的研究中，并沒有考慮到分紅約束的因素對投資策略所產(chǎn)生的影響，而分紅約束在現(xiàn)實(shí)中實(shí)際存在。所以研究也更符合實(shí)際情況并且適用于金融市場存在分紅的情況中。研究結(jié)果表明賣空限制以及分紅約束有效地改善了DC養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資問題。

研究的主要貢獻(xiàn)是在考慮賣空限制的情況下，增加了分紅約束的因素來對金融市場中的DC養(yǎng)老金計(jì)劃進(jìn)行建模。我們所采用的S型效用可以更好地反映養(yǎng)老金計(jì)劃的管理者對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，因?yàn)樗孙L(fēng)險(xiǎn)規(guī)避以及尋求損失的風(fēng)險(xiǎn)。為了更好地保障成員的利益免受管理者的影響，將投資組合保險(xiǎn)加入到模型中，通過建立對偶控制過程，并應(yīng)用HJB方程進(jìn)行求解，得出了最優(yōu)財(cái)富過程和最優(yōu)投資策略的顯式表達(dá)式。理論和數(shù)值結(jié)果表明，賣空限制以及分紅約束的加入，使得最優(yōu)終端財(cái)富和最優(yōu)策略發(fā)生了變化，這樣會導(dǎo)致收益的增加，同時(shí)也會增加管理者在投資過程中所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。此外，研究模型也可以進(jìn)行一些其他的拓展，在未來的研究中，我們也可以考慮連續(xù)繳費(fèi)和最低保障遵循某些隨機(jī)過程。