羅紅麗

◆摘? 要：數(shù)理化解題猶如作戰(zhàn)，審題則似偵查敵情。作戰(zhàn)中若部隊前行遇到江河障礙，則“開路先鋒”舟橋部隊就會“遇水架橋”，保障部隊快速通過。而在解題中若條件和結(jié)論關(guān)系隱蔽，除了加強(qiáng)審題，通過假設(shè)未知量構(gòu)建它們之間的橋梁亦是解題的重要技巧之一。在數(shù)理化解題中，往往各種學(xué)科思想、解題方法綜合運用、靈活搭配。而其中通過設(shè)輔助未知數(shù)“設(shè)而不求，鋪路搭橋”并輔之以其它思想來求解問題就一種巧妙的解題方法。本文以該方法求解幾道小學(xué)數(shù)學(xué)題，以期與大家一窺該方法的巧妙之處，體會數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要性，以期起到拋磚引玉的作用。

◆關(guān)鍵詞：數(shù)理化;解題;作戰(zhàn);設(shè)而不求

例1

六年級（9）班的所有同學(xué)都分別參加了英語競賽和數(shù)學(xué)競賽，有的同學(xué)還同時參加了這兩個競賽。如果同時參加兩個競賽的人數(shù)是參加英語競賽人數(shù)的20%，是參加數(shù)學(xué)競賽人數(shù)的2/9，那么這個班只參加英語競賽和只參加數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)之比是多少？

解析：本題考查容斥原理。設(shè)該班有x人同時參加兩個競賽。

則據(jù)題意只參加英語競賽和只參加數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)依次為4x，3.5x。因此這個班只參加英語競賽和只參加數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)之比為8：7。

簡析：容斥原理是小學(xué)階段求兩量疊加問題（如陰影部分面積問題）的經(jīng)典方法。同時也是初高中數(shù)學(xué)（及幾何）的重要解題方法。如2020山東德州中考試卷第10題、2019全國卷3文科數(shù)學(xué)第4題都是對容斥原理的考查。

例2

在一次飛行演習(xí)任務(wù)中，由于機(jī)械故障，油箱開始持續(xù)勻速漏油。經(jīng)測算，若保持400千米/時的速度飛行8小時，油箱中的油恰好耗盡;若保持600千米/時的速度飛行6小時，油箱中的油也恰好耗盡（飛機(jī)飛行每千米消耗的油量相同）。若飛機(jī)需要在油箱里的油耗盡前飛到距離為4000千米處的機(jī)場進(jìn)行維修，則至少需要保持平均? ? 千米/時的速度飛行。

解析：設(shè)飛機(jī)每小時漏剩余油的1/x，飛行每千米消耗剩余油的1/y，則據(jù)題意有8/x+3200/y=6/x+3600/y，解得1/x=200/y（即1小時漏掉的油可供飛機(jī)飛行200千米），飛機(jī)剩余油量為24/x（或4800/y）。由飛機(jī)必須飛行4000千米得飛行時間t=4小時（4800/y-4000/y=800/y=4/x），則飛機(jī)至少需要保持的平均速度為1000千米/時。

簡析：本題屬行程問題。該解法的巧妙之處在于假設(shè)了飛機(jī)每小時的漏油量和飛行每千米的耗量占剩余油（量）的比例。卻未考慮最初飛機(jī)剩余多少油（只是用含參數(shù)的式子表達(dá)），根據(jù)“剩余油一定情況下，飛行距離決定飛行時間（和飛行速度）”進(jìn)行代換即求解問題。本解法較用特殊值法設(shè)飛機(jī)飛行單位行程的耗油量進(jìn)行求解更直接、更易理解。

針對性練習(xí)：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，排隊的人數(shù)按一定的速度增加如果開放一個檢票口，則要20分鐘檢票口前的隊伍才消失;如果同時開放兩個檢票口，則8分鐘隊伍就消失.設(shè)檢票的速度是一定的，問同時開放三個檢票口，隊伍要幾分鐘就消失？

提示：設(shè)檢票開始時有a人等候檢票，每個檢票口每分鐘檢票x人，隊伍每分鐘增加y人[1]。求解過程利用a與x、y及x、y之間的關(guān)系解題，而不直接求解a、x、y。

例3

有甲、乙、丙三種商品，買甲3件乙7件丙1件，共需32元;買甲4件乙10件丙1件，共需43元，則甲、乙、丙各買1件需? ? ?元。

簡析：本題屬于經(jīng)濟(jì)問題。求解設(shè)了甲、乙、丙的單價，但未直接求解，而是通過解不定方程直接求甲、乙、丙的單價之和。

例4

甲、乙、丙三人合修一堵墻，甲、乙合修6天完成1/3，乙、丙合修2天完成余下工程的1/4，剩下的工程由甲、乙、丙三人合修5天完成后領(lǐng)工資共計3600元。按工作量分配甲應(yīng)得多少元？

簡析：本題求解設(shè)了乙、丙單獨修完這堵墻所需要天數(shù)，但未進(jìn)行求解，卻使問題明朗化。最終通過解不定方程解決問題。“設(shè)而不求”思想是解方程的“利劍”，學(xué)生尤其要掌握不定方程問題的常用求解方法，為該技巧的熟練使用夯實基礎(chǔ)。

例5

如圖1由三角形ADG和三角形BCF拼成，線段AB將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65。已知CD=5，DE=7，EF=15，F(xiàn)G=6，那么三角形ADG的面積是多少？

針對性練習(xí)1：如圖2，在一個梯形內(nèi)有兩個三角形的面積分別為10 平方厘米和12平方厘米，已知梯形上下底的比是2：3，那么陰影部分的面積是? 23? 平方厘米。

提示：先設(shè)梯形的上下底和△AOD及△COB的高，再設(shè)而不求通過數(shù)量代換求解問題。

例6

有甲、乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重120克，乙杯鹽水重80克?，F(xiàn)在從兩杯中倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中。這時兩杯新鹽水的含鹽率相同。從每杯中倒出的鹽水是多少克？

簡析：該解法是利用方程的思想，求解過程假設(shè)了甲、乙兩杯鹽水的含鹽率，但未求解。而是通過方程反映出題目的核心關(guān)系。因此有時在準(zhǔn)確理解問題的基礎(chǔ)上我們要合理地、大膽地進(jìn)行假設(shè)未知量。從本題求解可看出題述背景下倒出交換的溶液的質(zhì)量與兩原溶液濃度無關(guān)。其數(shù)值為：兩原溶液質(zhì)量之積除以兩原溶液質(zhì)量之和。

變式題：有一塊銅重400克，有一塊鐵重600克，現(xiàn)從銅和鐵上各挖一塊質(zhì)量相同的金屬互換，形成兩塊合金，結(jié)果這兩塊合金的銅鐵質(zhì)量比相同，那么挖下的那塊金屬的質(zhì)是? 240? 克。

提示：本題的常規(guī)解法是利用整體思想，從新形成的兩塊合金的銅鐵質(zhì)量比相同，也等于原兩塊銅鐵（總體）的質(zhì)量比角度入手進(jìn)行求解。從題型角度對本題也可把鐵和銅分別看作溶質(zhì)和溶劑（相互對應(yīng)）進(jìn)行求解。由例題6求解得出的結(jié)論“倒出交換的溶液的質(zhì)量與兩原溶液度無關(guān)”，近而易求出挖下的那塊金屬的質(zhì)量是240克[240=（600x400）/（600+400）]。從例題6到本題的求解可看出只有對相關(guān)題型、知識模塊深刻理解才能作到以不變應(yīng)萬變，并優(yōu)選解題方法。

設(shè)而不求法的解題范圍廣泛，是求解行程問題、工程問題、濃度問題、小學(xué)（初、高中）幾何問題等的常用重要解題技巧。尤其是在題述條件較少（常需設(shè)相關(guān)系數(shù)，化隱為顯使問題明朗化）或題述條件間邏輯關(guān)系較多（常需設(shè)多個未知數(shù)，列多個方程，再求解不定方程）的情況下要依據(jù)題述問題情景合理地、大膽地"設(shè)而不求"，進(jìn)行推導(dǎo)（演算）或求解方程，近而解決問題。有時解題“不厭其（設(shè)未知數(shù)）繁”恰是問題求解的可行思路。設(shè)而不求解題技巧常配合（或需輔之以）整體思想、代換思想、消除法等技巧一起使用而發(fā)揮其獨到作用。

參考文獻(xiàn)

[1]黃東坡.《數(shù)學(xué)探究應(yīng)用新思維·七年級》[M].武漢：湖北人民出版社，2016年：6.

[2]劉嘉.小學(xué)數(shù)學(xué)競賽年鑒.MO2019[M].武漢：湖北科學(xué)技術(shù)出版社，2020.264.