李敬財(cái) 霍津海 滿 佳 王 鵬

(①天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222； ②天津精誠(chéng)機(jī)床股份有限公司，天津 300400)

螺旋錐齒輪作為空間相交軸(弧齒錐齒輪)和空間交錯(cuò)軸(準(zhǔn)雙曲面齒輪)的動(dòng)力傳動(dòng)的核心部件，廣泛應(yīng)用于汽車、航空航天、船舶和電動(dòng)工具等行業(yè)的動(dòng)力傳動(dòng)中。在實(shí)際應(yīng)用中通常是以齒面接觸區(qū)作為評(píng)價(jià)齒面嚙合質(zhì)量的關(guān)鍵手段，而影響齒面接觸區(qū)的主要是與齒輪的修形量以及所對(duì)應(yīng)加工調(diào)整參數(shù)有很大的關(guān)系，而作為加工前的接觸質(zhì)量預(yù)報(bào)，通常是根據(jù)基于加工調(diào)整參數(shù)的齒面接觸分析實(shí)現(xiàn)。20世紀(jì)60年代早期，提出采用齒面接觸分析(TCA)技術(shù)對(duì)弧齒錐齒輪及準(zhǔn)雙曲面齒輪副的接觸特性及運(yùn)行質(zhì)量進(jìn)行理論分析。最初采用TCA技術(shù)作為齒面接觸分析技術(shù)的是Litvin F L等[1]以及Baxter M L[2]。美國(guó)格里森公司(Gleason Works)、德國(guó)克林貝格集團(tuán)( Klingelnberg)的科學(xué)家和工程師們對(duì)TCA技術(shù)的發(fā)展做出了很大的貢獻(xiàn)[3]，并開(kāi)發(fā)出商用軟件[4-6]。由于采用TCA程序可以大大減少螺旋錐齒輪設(shè)計(jì)和制造過(guò)程中的反復(fù)進(jìn)行試算、試切過(guò)程所需的時(shí)間，目前廣泛用于齒輪工業(yè)中。目前齒面接觸分析計(jì)算的齒面接觸區(qū)算法都是基于齒面誘導(dǎo)曲率來(lái)計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果是二維的[7-8]，不具有直觀性，為獲得更具直觀的三維齒面接觸區(qū)，作者提出采用數(shù)值法求解齒面接觸區(qū)。

1 螺旋錐齒輪齒面數(shù)學(xué)模型的建立

螺旋錐齒輪齒面是由加工其刀具表面包絡(luò)而成，具有直線刃的刀盤可以認(rèn)為是個(gè)錐面。切削大輪和小輪刀具的錐面在坐標(biāo)系Sc(與切削刀具固連)中的位置矢量、單位法矢量和單位切矢量為

(1)

其中：(ui,θi)是錐面參數(shù)，i=1表示切削小輪刀具，i=2 表示切削大輪刀具。

基于自由曲面加工的 CNC螺旋錐齒輪加工設(shè)備和傳統(tǒng)采用搖臺(tái)機(jī)構(gòu)的螺旋錐齒輪加工設(shè)備都用于螺旋錐齒輪的加工。通常齒面數(shù)學(xué)模型在與齒輪i固連的坐標(biāo)系Si下表示為(i=1,2)。

(2)

式中：φi是被加工齒輪的轉(zhuǎn)角;fi=0為嚙合方程(i=1,2)。

2 齒面接觸跡線求解

修形后螺旋錐齒輪理論嚙合齒面為點(diǎn)φ2接觸嚙合齒面，在嚙合過(guò)程中接觸點(diǎn)的連線稱為接觸跡線。圖1為嚙合齒面Σ1和Σ2在安裝坐標(biāo)系下示意圖，用于模擬嚙合過(guò)程的坐標(biāo)系Sf與機(jī)座固連。齒面Σ1及Σ2在M點(diǎn)嚙合,T是在點(diǎn)M處的切平面。φ1和φ2分別是小輪和大輪的角位移，小輪和大輪在點(diǎn)M處嚙合。小輪和大輪在Sf坐標(biāo)下的位置矢量和單位法矢量方程為

(3)

(4)

通常情況下，用于齒面接觸分析TCA計(jì)算的方程組是基于在接觸點(diǎn)出位置矢量和法矢量相等條件下建立的(圖1)，在坐標(biāo)系Sf下其數(shù)學(xué)表達(dá)式為[9]:

(5)

(6)

f1(u1,θ1,φ1)=0

(7)

f2(u2,θ2,φ2)=0

(8)

當(dāng)φ1為輸入?yún)?shù)，方程(5)～(8)組成的方程組是由具有7個(gè)變量的非線性方程組成。其中u1、θ1、φ1、φ1、u2、θ2、φ2、φ2為由方程(5)～(8)組成的方程組的未知數(shù)。

為了減少迭代方程的數(shù)目和提高迭代過(guò)程的收斂性，方程(6)～(8)可以分別用u1、u2、φ1, 顯性表達(dá)出來(lái)。圖2、圖3分別為大輪和小輪的切齒坐標(biāo)系，Sm1和Sm2分別為加工大輪和小輪的機(jī)床坐標(biāo)系，坐標(biāo)系S1、S2分別與小輪和大輪固連。方程(7) 、(8) 可以用u1、u2表達(dá)，在此僅給出結(jié)果:

(9)

(10)

其中：

方程(6)可以用φ1,φ2顯示表達(dá)。

(11)

(12)

其中：p1、p2分別為與小輪和大輪軸線共線的單位矢量 (圖4 )。

由式 (9)、(10)可知，u1、u2可被顯示表達(dá)為

u1=u1(θ1,φ1)

(13)

u2=u2(θ2,φ2)

(14)

由公式(11) ～(14) ，φ1、φ2顯示表達(dá)為

φ1=φ1(θ1,φ1,θ2,φ2)

(15)

φ2=φ2(θ1,φ1,θ2,φ2)

(16)

因此，用于TCA迭代的方程組 (5) ～ (8)可以減少為由方程組 (13)～(16)

(17)

由公式(17)進(jìn)行TCA計(jì)算的方程組僅包括3個(gè)非線性方程。當(dāng)給定參數(shù)φ1時(shí)，用公式(17)計(jì)算出瞬時(shí)嚙合齒面點(diǎn)坐標(biāo)值，當(dāng)φ1變化時(shí)可求得一系列齒面嚙合坐標(biāo)點(diǎn)，求得齒面接觸跡線。

3 數(shù)值法求解瞬時(shí)接觸區(qū)域

盡管螺旋錐齒輪是理論點(diǎn)嚙合，但是其在輕載下其齒面會(huì)有輕微的塑性變形，當(dāng)齒面接觸時(shí)會(huì)在接觸點(diǎn)周圍擴(kuò)展一個(gè)橢圓區(qū)域，在接觸點(diǎn)法矢量方向，當(dāng)間隙小于δ時(shí)，便認(rèn)為這兩個(gè)齒面是在瞬時(shí)的接觸區(qū)域(圖5)，通常δ=0.006 35 mm[10]。以往算法是通過(guò)計(jì)算兩個(gè)齒面誘導(dǎo)曲率獲得齒面瞬時(shí)接觸橢圓，但是僅能得到二維的接觸橢圓參數(shù)以及二維齒面接觸區(qū)。本文采用數(shù)值法求解齒面瞬時(shí)接觸區(qū)域，可獲得三維齒面接觸橢圓，從而獲得三維齒面接觸區(qū)，使得接觸區(qū)更加直觀。

3.1 局部坐標(biāo)系的建立

螺旋錐齒輪齒面Σ1、Σ2在點(diǎn)M接觸，局部坐標(biāo)系SM(M;i′,j′,k′) 原點(diǎn)是在當(dāng)前接觸點(diǎn)處，j′、k′在切平面T(圖6)，其中

(18)

(19)

k′=i′×j′

(20)

在局部坐標(biāo)系SM下，Σ1、Σ2位置矢量可由下式表示

(21)

其中：MMf為由Sf到SM變換矩陣。

3.2 數(shù)值法求解瞬時(shí)接觸邊界

瞬時(shí)接觸邊界可以認(rèn)為是由一系列沿著接觸點(diǎn)處法矢量方向間隙值為δ的點(diǎn)組成。其詳細(xì)描述如下。

在圖7中，Mp為切平面上的一個(gè)線段，在SM坐標(biāo)系下，端點(diǎn)p可以表示為：

(22)

如圖8,p(1)、p(2)為由點(diǎn)p沿著i′分別與小輪和大輪齒面交點(diǎn)，這兩點(diǎn)在SM坐標(biāo)系下可表示為：

(23)

(24)

沿著i′方向，p(1)、p(2)兩點(diǎn)距離為δ(圖 5), 距離公式可由下式表達(dá):

(25)

由式(23)、(24) 及(25),用于求解瞬時(shí)接觸橢圓的方程組為

(26)

其中：(θ1(α),φ1(α),θ2(α),φ2(α),Mp(α))為需要求解未知數(shù)，α(α∈[0,2π))和δ為已知值。方程組(13)為非線性方程組，改進(jìn)的Powell 混合算法用

于求解該方程組[11-12]。在由式(26)求解出未知數(shù)(θ1,φ1,θ2,φ2,Mp)基礎(chǔ)上,由式(2)求解出在齒面Σ1、Σ2的瞬時(shí)接觸邊界，由式(25)可以求解出瞬時(shí)接觸邊界在嚙合點(diǎn)出的切平面T上的投影，該投影類似橢圓。

3.3 瞬時(shí)接觸區(qū)域的方向求解

如上所述，瞬時(shí)接觸區(qū)域類似橢圓，由式(26)可以求解出4個(gè)解Mpi(αi)(i=1,...,4)，這4個(gè)解的關(guān)系為：

Dmax≈Mp1(α1)+Mp2(α2)

(27)

Dmin≈Mp3(α3)+Mp4(α4)

(28)

其中：Dmax(Dmin) 為瞬時(shí)接觸橢圓的長(zhǎng)軸(短軸)。

在切平面T上對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)接觸橢圓的方向可由αi(i=1,...,4)表示(圖9)。 瞬時(shí)接觸橢圓求解流程如圖8所示。

表1 齒坯參數(shù)

4 算例

本算例中給出的齒輪為9×35準(zhǔn)雙曲面齒輪。表1為齒坯參數(shù)，表2為加工調(diào)整參數(shù)，根據(jù)表1、表2給定參數(shù)通過(guò)公式17求解的一個(gè)瞬時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值(見(jiàn)表3)，根據(jù)公式(26)、公式(30)、公式(31)求解該給定嚙合點(diǎn)處接觸橢圓在切平面上的接觸邊界(圖9)，由計(jì)算結(jié)果可知實(shí)際上接觸邊界不是嚴(yán)格意義上的橢圓，其形狀類似橢圓，圖10為該瞬時(shí)接觸橢圓在大輪三維齒面上計(jì)算結(jié)果。圖11為計(jì)算一系列瞬時(shí)接觸橢圓形成的三維齒面接觸區(qū)。

表2 加工調(diào)整參數(shù)

表3 嚙合點(diǎn)處瞬時(shí)接觸橢圓

值得說(shuō)明的是，由于加工不可避免產(chǎn)生齒面誤差，無(wú)法通過(guò)試切法滾檢得到接觸區(qū)與理論計(jì)算結(jié)果(圖10、圖11)對(duì)比驗(yàn)證該算法的正確性。但是通過(guò)將新算法得到的三維齒面接觸區(qū)參數(shù)轉(zhuǎn)化二維齒面接觸區(qū)并與美國(guó)格里森公式的商業(yè)軟件(CAGE)齒面接觸分析計(jì)算結(jié)果對(duì)比，結(jié)果表明二者總體趨勢(shì)是一致的。

5 結(jié)語(yǔ)

以往采用嚙合齒面誘導(dǎo)曲率方式求解瞬時(shí)接觸區(qū)是在假設(shè)該瞬時(shí)接觸邊界符合理論橢圓公式基礎(chǔ)上求得的，可獲得二維齒面接觸區(qū)；本文采用數(shù)值算法求解了瞬時(shí)齒面接觸區(qū)，計(jì)算結(jié)果表明在輕載下齒面瞬時(shí)接觸邊界為類似橢圓形狀的三維空間曲線，采用數(shù)值法可獲得輕載下螺旋錐齒輪的三維齒面接觸區(qū)。