沈陽師范大學(xué)2021 級軟件工程專業(yè)(110034)劉新飛

遼寧省黑山縣第一高級中學(xué)(121400) 劉大鵬

一、考題再現(xiàn)

題目(2021 高考全國甲卷理科第20 題文科第21 題)拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上,直線l:x= 1交C于P,Q兩點,且OP⊥OQ,已知點M(2,0),且⊙M與直線l相切.

(1)求拋物線C和⊙M的方程;

(2)設(shè)A1,A2,A3是拋物線C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與⊙M相切,判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系,并說明理由.

(1)參考結(jié)果:C:y2=x,⊙M: (x ?2)2+y2= 1.(過程從略)

經(jīng)過研究,本題可作如下推廣:

二、推廣

推廣1拋物線C:y2=2px(p>0),⊙M:(x ?4p)2+y2=4p2,設(shè)A1,A2,A3是C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與⊙M相切,則直線A2A3與⊙M相切.

證明(1)當(dāng)直線A1A2,A1A3中的一條無斜率時,不妨設(shè)A1A2無斜率,(若直線A1A2的方程為x= 2p,則過A1作⊙M的另一條切線與拋物線的對稱軸平行,不符合題意).所以直線A1A2的方程必為x= 6p.得直線A1A3:y ?k(x ?6p)即kx?y+?6kp=0,d=2p,所以k=從而A1A3:y=A3(0,0),直線A2A3:x+= 0,d== 2p.直線A2A3與⊙M相切.

(2)當(dāng) 直 線A1A2,A1A3都 有 斜 率 時,設(shè)A1(2pt21,2pt1),A2(2pt22,2pt2),A3(2pt23,2pt3),A1A2:y?2pt1=,故(t1+t2)y?x?2pt1t2=0,=2p,故4+t21t22=1+(t1?t2)2,所以t21?1t22+2t1t2+3?t21=0,同理(t21?1)t23+2t1t3+3?t21=0,所以t2,t3是關(guān)于t的方程(t21?1)t2+2t1t+3?t21=0 的兩根,所以t2+t3=

所以直線A2A3與⊙M相切.

推廣2拋物線C:y2=2px,(p>0),⊙M:(x ?m)2+y2=r2,且r2= 2p(m ?r).設(shè)A1,A2,A3是C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與⊙M相切,則直線A2A3與⊙M相切.

證明(1)當(dāng)直線A1A2,A1A3中的一條無斜率時,不妨設(shè)A1A2無斜率,(若直線A1A2的方程為x=m ?r,聯(lián)立得A1(m ?r,r),A2(m ?r,?r),則過A1作⊙M的另一條切線與拋物線的對稱軸平行,不符合題意).所以直線A1A2的方程必為x=m+r.得設(shè)直線A1A3:y ?=k(x ?m ?r),即kx?y?(m+r)k+=0,d=所以k=從而A1A3:y=A3(0,0),從而A2A3:y=即所以直線A2A3與⊙M相切.

(2)當(dāng)直線A1A2,A1A3都有斜率時,設(shè)A1(2pt21,2pt1),即(t1+t2)y ?x ?2pt1t2= 0,d=從而

所以

同理

所以t2,t3是方程

的兩根,所以

t2+t3=t2t3=直線A2A3: (t2+t3)y ?x ?2pt2t3=0,

所以直線A2A3與⊙M相切.

評注在推廣2 中,令m= 4p,r= 2p即得到推廣1.在推廣1 中,令2p=1 即得2021年高考全國甲卷理科第20 題文科第21 題.

將拋物線換成橢圓,得到:

推廣3橢圓C:= 1,(a>b>0),⊙M:x2 +y2=設(shè)A1,A2,A3是C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與⊙M相切,則直線A2A3與⊙M相切.

證明(1)當(dāng)直線A1A2,A1A3中的一條無斜率時,不妨設(shè)A1A2無斜率,

i.當(dāng)A1A2:x=時,由得到

設(shè)直線A1A3:y ?即kx ?y+=0,因此

因此2ab ?= 0,k=因為所以A3(?a,0),由對稱性,知直線A2A3與⊙M相切.

ⅱ.當(dāng)A1A2:x=時,同理可證.

(2)當(dāng)直線A1A2,A1A3都有斜率時,設(shè)A1(acosθ1,bsinθ1),A2(acosθ2,bsinθ2),A3(acosθ3,bsinθ3)

A1A2:y ?bsinθ1=(x ?acosθ1),即A1A2:y ?bsinθ1=(x ?acosθ1),即有=0,

(a+b)cosθ1acosθ2+ (a+b)sinθ1bsinθ2+ab= 0,同理(a+b)cosθ1acosθ3+ (a+b)sinθ1bsinθ3+ab= 0,所 以A2A3: (a+b)cosθ1x+ (a+b)sinθ1y+ab= 0,所以直線A2A3與⊙M相切.

將內(nèi)圓換成橢圓,得到

推廣4[1]橢圓E1:= 1,(a1>b1>0);E2:=1,(a2>b2>0),且=1,設(shè)A1,A2,A3是E1上的三個點,直線A1A2,A1A3均與E2相切,則直線A2A3與橢圓E2相切.

關(guān)于推廣4 的證明請讀者參見[1],此處從略.

三、強化訓(xùn)練

1.(2009年高考江西卷文科第22 題)已知⊙G:(x ?2)2+y2=r2是橢圓+y2= 1 的內(nèi)接三角形ABC的內(nèi)切圓,其中A(4,0),(1)求⊙G的半徑r; (2)過點M(0,1)作⊙G的兩條切線交橢圓于E,F兩點,求證: 直線EF與⊙G相切.

2.已知⊙G:是橢圓1(a>b>0)的內(nèi)接三角形ABC的內(nèi)切圓,其中A(?a,0),a= 4b,過點M(0,b)作⊙G的兩條切線交橢圓于E,F兩點,求證: 直線EF與⊙G相切.

以上兩個題目的解答見文獻[2].