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        關(guān)于初中數(shù)學(xué)“最短路徑問題”的歸類

        2021-10-12 01:13:16吳文俊吳海元
        科技研究 2021年21期
        關(guān)鍵詞:對稱點(diǎn)所求過點(diǎn)

        吳文俊 吳海元

        初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊課題學(xué)習(xí)“最短路徑問題”,實(shí)際上是幾何中的最值問題。幾何中的最值問題是指在一定的條件下求平面幾何圖形中某個(gè)確定的量(如線段的長度、角度大小、圖形面積等)的最大值或者最小值。這類問題學(xué)生初次接觸,往往無從下手,是初中階段幾何教學(xué)的難點(diǎn),本人在教學(xué)過程中將這類問題歸納為四種類型:

        類型一:在直線l上找一點(diǎn)P,使其到直線同旁兩定點(diǎn)A、B的距離最短。

        依據(jù):兩點(diǎn)之間,線段最短。

        解決方法:作點(diǎn)A(或點(diǎn)B)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A'(或B')連接A'B(或B'A)交L于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求。

        鞏固練習(xí)1:如圖,在等邊△ABC中,邊BC上的高AD=5,點(diǎn)P是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),E是邊AB的中點(diǎn),在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,存在PE+PB的最小值,則這個(gè)最小值是( ?)

        A:4 ? B:5 ? ? C:6 ? ? D:10

        解題思路:顯然B、E兩定點(diǎn)在AD的同旁,欲在AD上求符合條件的點(diǎn)P,只需作B點(diǎn)關(guān)于AD的對稱點(diǎn),而B、C關(guān)于AD對稱,因此只需連CE交AD于點(diǎn)P,所以CE就是PE+PB的最小值。選B

        鞏固練習(xí)2.如圖,臺(tái)球桌上有一黑球M一個(gè)白球N,如何去擊白球使其撞到AB邊反彈后在撞到黑球上(說明方向即可)?

        解題思路:顯然M、N兩定點(diǎn)在AB的同旁,欲找撞擊方向,只需作N關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N',連MN'交AB于點(diǎn)P。利用物理學(xué)入射角等于反射角,沿NP方向撞擊白球即可。

        鞏固練習(xí)3:如圖,正方形ABCD的邊長為12,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上求一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為( ? ?)

        A:5 ? ? B:6 ? ?C:8 ? ?D:12

        解題思路:顯然D、E兩定點(diǎn)在AC的同旁,且B、D關(guān)于AC對稱,連BE交AC于點(diǎn)P,則P點(diǎn)為所求。顯然選D

        類型二:在已知∠MON的一邊ON上有一定點(diǎn)A,在兩邊OM、ON上分別找一個(gè)點(diǎn)P、Q,使PQ+PA最小。

        依據(jù):垂線段最短.

        解決方法:如圖,作定點(diǎn)A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A',過點(diǎn)A'作ON 的垂線交OM于P,交ON于Q,則點(diǎn)P、Q為所求,且A'Q為PQ+PA的最小值。

        鞏固練習(xí)1.已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)E在邊OB上,且OE=10厘米,點(diǎn)F是OB上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)E重合),點(diǎn)P是OC上的動(dòng)點(diǎn),求PE+PF的最小值。

        解題思路:過點(diǎn)E作OC的對稱點(diǎn)E',過點(diǎn)E'作E'F⊥OB,垂足為F,交OC于點(diǎn)P,則P、F為所求的點(diǎn),且E'F為PE+PF的最小值。(易求E'F=5 ?)

        鞏固練習(xí)2.正方形ABCD的對角線AC長為4,∠DAC的角平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn),則DQ+PQ的最小值為( ?)

        解題思路:顯然,D為∠DAE的邊AD上一定點(diǎn),P、Q是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn),欲使DQ+PQ最小,只需作D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)D',再過點(diǎn)D'作D'P⊥AD,垂足為P,交AE于點(diǎn)Q,則D'P就是DQ+PQ的最小值。(易求D'P=2)

        類型三:在∠BOC的內(nèi)部有一定點(diǎn)A,在角的兩邊上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q,使兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)A構(gòu)成的△APQ周長最小。

        依據(jù):兩點(diǎn)之間,線段最短.

        解決方法:作點(diǎn)A關(guān)于∠BOC兩邊的對稱點(diǎn)M、N,連接MN交∠BOC的兩邊于P、Q,則P、Q為所求的點(diǎn)。且MN的長為△APQ周長的最小值。

        鞏固練習(xí)1:如圖,∠MON=30°,P是∠MON中的一定點(diǎn),點(diǎn)A、B分別在射線OM,ON上移動(dòng),當(dāng)△PAB的周長最小時(shí),

        ∠APB的值為 ( ? )

        解題思路:過點(diǎn)P分別作OM,ON的對稱點(diǎn)P1、P2,連接P1、P2交于OM,ON于點(diǎn)A、B,則A、B所求的點(diǎn),且P1P2為△PAB周長最小值。(易求∠APB=120°)

        鞏固練習(xí)2:四邊形ABCD中

        ∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分別找一點(diǎn)M,N使△AMN得周長最小,此時(shí)∠AMN+∠ANM的度數(shù)( ?)

        解題思路:此題可以把點(diǎn)A看作是∠DCB內(nèi)一點(diǎn),欲使△AMN的周長最小,需作點(diǎn)A關(guān)于CB,CD的對稱點(diǎn)A1、A2連接A1A2交CB,CD于點(diǎn)M、N,點(diǎn)M、N即為所求,此時(shí)∠AMN=2∠A1,∠ANM=2∠A2, ∠AMN+∠ANM=2(∠A1+A2)=120°。

        類型四:在角的內(nèi)部有兩個(gè)定點(diǎn)A、B,在角的兩邊有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,Q,使兩動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形周長最小。

        依據(jù):兩點(diǎn)之間,線段最短。

        解決方法:分別過點(diǎn)A、B作OM、ON的對稱點(diǎn)A'、B',連接A'B'交OM、ON于點(diǎn)P、Q,則A'B'+AB為四邊形ABPQ周長的最小值。

        鞏固練習(xí):牧馬人從A地出發(fā),先到草地某處牧馬,在到河邊飲水,然后回到B處,請畫出最短路徑。

        解題思路:分別作點(diǎn)A、B關(guān)于草地、河對稱點(diǎn)A'、B',連接A'B'交草地、河邊P、Q,則行進(jìn)的最短路徑為A→P→Q→B。

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