王全來

(天津師范大學計算機與信息工程學院,天津 300387)

1 引言

多項式以及整函數零點問題經常出現于數學、物理學和經濟學等學科中.該問題在柯西、傅里葉、波利亞等人工作的影響下,關于多項式以及整函數零點的研究一直是數學學科的經典課題之一.多項式的零點定理一般不能自然地推廣到整函數上去,特別是有微分運算的定理,對此波利亞做出了奠基性的工作.他深入研究了一個函數在微分運算下的零點行為,得到了許多深刻結果,函數的最后集理論即是其中之一,其思想和方法影響至今.函數的最后集理論散見于一些數學理論著作中.對于波利亞的最后集工作,阿蘭德森(G.L.Alexanderson)在2000年的著作中只是簡單提及,缺乏系統(tǒng)研究[1].除此之外,國內外尚未見到其它研究文獻.鑒于此,本文以原始文獻(挖掘了一些鮮為人知的文獻,如馬爾科夫 (A.A.Markoff)、費耶(E.Feyer)等人的工作)為依據,系統(tǒng)梳理了波利亞在函數最后集上的工作,借此探討了函數最后集理論的發(fā)展脈絡,以補現有文獻的不足.

2 最后集提出的背景

2.1 波利亞之前一些學者的相關工作

多項式零點理論中一個重要組成部分是對多項式及其導數零點關系的研究,例如早在1816年,高斯在數學筆記中就對多項式導數的零點給出了物理解釋.1874年,拉卡斯(F.Lucas)闡述并證明了高斯-拉卡斯定理:一個多項式導數的零點包含在該多項式零點的凸包中.在1901年,格瑞斯(J.H.Grace)在5頁篇幅的論文中獲得了一個奇特的非極性定理.若f(z)為一個多項式,

f(a)=f(b)=0,

一個無窮級數a0+a1z+a2z2+···在z的整個有限平面內收斂,在一定意義上是多項式a0+a1z+a2z2+···+anzn的一般化,稱為整函數.然而把關于多項式零點的一些定理毫無限制地用于整函數的努力失敗.例如若一個多項式只有實根,則其導數也只有實根,但對整函數而言不一定成立.波萊爾在“整函數課程”(1900)中對此有詳細介紹.這個理論的主要問題之一是尋找實函數的零點和其導數零點的關系.在這個方向,拉蓋爾在19世紀80年代早期首先考察.自從那之后很少有進步獲得,直到波利亞才獲得了一些有意義的推廣.

值得一提的是,在此期間,奧蘭德(M.?lander)的工作對波利亞有重要影響.他的工作主要是對函數連續(xù)階導數的零點問題進行了深入研究,其發(fā)表的3篇論文,“整函數導數的零點遷移”(1914),“實整函數導數的例外根”(1916),“有理函數和其它亞純函數的導數的零點”(1920),主要結果和型是2,3,4,5的整函數及有理函數有關,闡述了一些值得注意的觀點和猜想及一些啟發(fā)性研究的例子[4].波利亞不僅回答了奧蘭德提出的一些問題,而且在此基礎上進一步研究和思考.

2.2 波利亞與之有關的早期工作

波利亞首先涉及這方面的工作,始于他和林德瓦特(E.Lindwart)在“論多項式序列的收斂和零點分布之間的關系”(1913)中研究多項式序列零點分布問題.在該文中,他們指出,若級數a0+a1x+a2x2+···在|x|<1內收斂,且系數滿足a0>a1>a2>···>0,則收斂圓的整個圓周上的點屬于零點的聚集.詹逖生(R.Jentzsch)在1914年、1918年證明,若Pn(z)=a0+a1z+a2z2+···+anzn表示冪級數a0+a1z+a2z2+···的前n項和,則圓周|z|=R的每個點為Pn(z)的零點的聚點,其中R為有限數[5].

波利亞在“關于整函數的一個問題”(1914)和“整函數理論注釋”(1915)中指出,若一個超越實整函數和其二階導數的零點是實的,則所有導數的零點為實的.在上述文章的基礎上,波利亞在“某超越整函數零點的幾何釋義”(1920)中對指數多項式零點分布從幾何角度研究,給出了一般性定理,但沒有證明.詳細和進一步的結果出現在其學生施溫格爾(E.Schwengeler)的博士論文中[6].波利亞的這個工作開創(chuàng)了指數類型的整函數零點分布的現代理論.中國學者莊圻泰,李文清等在這方面涉及了一些工作.

在這篇文章中,波利亞給出3個重要定理.其中如下定理奠定了波利亞其后提出函數最后集的思想基礎.

設超越整函數

為復平面內互不相同的點,P1(z),P2(z),···,Pm(z)為多項式,m大于 1.a1,a2,···,am的共軛為b1,b2,···,bm,μ為包含a1,a2,···,am的最小凸多邊形,μ?為包含b1,b2,···,bm的最小凸多邊形,則F(z)的零點集中趨于l條不同的射線,多邊形μ?的外法線是平行的,其中l(wèi)是與這些點有關的射線,且l≤m.

值得一提的是,該文中的另一定理給出了在多邊形的每條邊上的零點數的估計值,引起了其他學者的注意,如杜邦 (E.Dubon)在 2015年,何透康斯 (J.Heittokangas)在2019年的研究[7]等.

3 波利亞在最后集上的重要工作

波利亞在函數最后集上的工作主要涉及的論文有6篇,分別是“連續(xù)階導數的零點”(1922),“詹森的代數函數理論研究”(1927),“與傅里葉關于超越方程有關的一些問題”(1930),“某類整函數幾乎所有導數的零點的實性”(1937),“一個函數的導數的零點和其解析性”(1943),“連續(xù)階導數的零點:一個例子”(1976).波利亞在1922年的論文中提出了最后集思想,但沒有給出最后集的名字:隨后的四篇論文,波利亞對特殊類的整函數的最后集進行了研究:波利亞在1943年正式給出分析學定義和命名.

3.1 最后集思想的提出 —1922年文章的分析

波利亞在“連續(xù)階導數的零點”(1922)中正式提出了函數最后集的思想.該文分為四部分.在第一部分緒論中,波利亞指出研究函數的n階導數零點分布問題是本文的中心,并給出了4個重要定理,從幾何上進行了解釋,沒有給出嚴格證明.

定理 3.1設R(z)為一個有理分式函數,R(n)(z)的非實零點數隨著n增加,除下面兩種例外情況.(1)R(z)在平面內只有一個極點;(2)R(z)在平面內有兩個關于實軸對稱的極點.該定理回答了由奧蘭德在1920年的論文中提出的問題.

定理 3.2設P(z),Q(z)為多項式,Q(0)=0,G(z)=P(z)eQ(z).G(n)(z)的非實零點數隨著n增加,除下面兩種例外情況.(1)G(z)的次數為1;(2)G(z)的次數為2,Q(z)=bz?cz2,b為實數,c大于0.該定理改進了波利亞在“關于整函數的一個問題”和“整函數理論注釋”中的主要結果.

定理 3.3設F(z)為亞純函數,研究由其各階導數零點構成的可數集合,這個集合的聚集只依賴于F(z)的極點位置.點z屬于聚集當且僅當z與F(z)的兩個最近的極點等距.

該定理給出了一個漂亮結果,一個亞純函數的全部導數的零點的聚集由多邊形構成,其頂點是與兩個最近的極點等距的點.

定理3.4設P(z),Q(z)為多項式,

G(z)的各階導數零點集的聚點只依賴于次數q,b和b1.由點z=?b1q?b出發(fā)的q條射線把平面分割成q個相等的角域,這些射線可以理解成與方程bzq+1=0的q個根形成的向量平行.

該定理由麥克蘭尼 (G.R.MacLane)在 1955年推廣到P(z)為標準積的情況[8].麥克勞德 (R.Mcleod)在 1959年利用篩點法進一步一般化[9].該法由海曼(W.K.Hayman)在“斯特靈公式的一般化”(1956)中提出.

給出定理3.1,定理3.2之后,波利亞指出,“我們的注意力不要僅放在這些特例上,而更應放在方法上,而這種方法就是幾何方法”,“在定理3.3中提到的聚點集合為一個純粹的幾何想象的奇特的集合,將有一個詳盡的描述”.波利亞給出如下解釋:設a為指定亞純函數F(z)的一個極點,z為平面內的點,與F(z)的其它極點相比,更靠近a.建立a的活動域,當a和b為F(z)的兩個不同極點時,活動域有共同的邊界點,位于a和b的垂直平分線上,a的活動域為一個凸多邊形的內點,并最終趨于無窮.

惠特克(J.M.Whittaker)受波利亞關于最后集幾何思想的影響,在“插值函數理論”(1935)的第3章中專設一節(jié)以“一個亞純函數導數零點無窮行為的波利亞定理”為標題討論了波利亞的最后集定理,他稱為波利亞郡定理,并給出了十分具有啟發(fā)性的幾何解釋.f(z)的一個極點λ的郡將由平面內所有點z構成,與f(z)的其它極點相比更接近于λ,則一個亞純函數的最后集由其極點的郡的邊界構成[10].海曼在“亞純函數”(1964)中給出該定理的證明.

由定理3.3知,亞純函數及其各階導數的零點構成集合的聚集,和邊界線上的全部點的集合相等,亞純函數的不同極點的活動域是不同的.這個區(qū)域由極點控制,和這樣的點的集合相等,在其中亞純函數可以展成一個冪級數,收斂邊界上有唯一奇點.平面內只有這樣的點才能是一個亞純函數連續(xù)階導數零點的聚點.當亞純函數只有一個極點時,連續(xù)階導數的零點無聚點.若亞純函數只有一個極點,則該函數的最后集是空的,唯一極點對于該函數的連續(xù)階導數可產生無零點的區(qū)域.這樣的無零點區(qū)域的漸近大小在蕭氏(J.K.Shaw)和普拉瑟(C.Prather)1982年的論文中得到[11].

馬爾科夫在1912年曾證明,有理函數(1+z2)?1的n階導數有n個實根,由此可得到e?z2的連續(xù)階導數的零點,且與實軸上的每個點無限接近[12].由定理3.3,定理3.4知,在上面的研究中,n階導數的零點集隨著n趨于一個極限位置.波利亞指出,“在某種意義下,我將在后面給出準確定義.這個極限位置和全部零點的聚點集相等”.

第二部分(亞純函數):在這一部分中,波利亞討論了平面內的3類點,借以把亞純函數的各階導數的零點集分為3類,給出了定理3.3的兩個補充定理.

補充定理3.1:若F(z)為亞純函數,其n階導數的零點集趨于一個固定的極限位置,一個點屬于這個極限位置當且僅當該點位于兩個最近的極點的平分線上.

補充定理3.2:若F(z)為亞純函數,其n階導數的a-點集合趨于一個固定極限位置,這個極限位置和由n階導數的a-點構成的可數點集的聚點集合相等.

第三部分(具有有限多個零點的有限型的整函數):在這一部分,波利亞依據凸多邊形理論,采用幾何語言對定理3.4進行闡述和說明,用到了柯西中值定理.

第四部分(例外情況的討論):對定理3.1,定理3.2中給出的例外情況進行討論.設R(z)為有理函數,R(n)(z)=F(z?1).通過R(n)(z)的零點行為在z=∞處的情況可得到F(z?1)的零點行為,這個函數的零點分布與最小凸多邊形理論研究有關.值得一提的是,龐加萊在1895年,費耶在1919年都對此有所論及[13],并對波利亞有一定影響.

在文末,波利亞提出希望讀者繼續(xù)對第四部分的問題進行研究,得到了一些學者的響應,如包斯(R.P.Boas)、蕭氏、普拉瑟等人獲得了一些深刻的結果.

3.2 實整函數的最后集研究

波利亞在“詹森的代數函數理論研究”(1927)中闡述但未證的一個斷言:“若一個實整函數f(z)的階小于,f(z)只有有限多個虛根,則其導數從某項開始無虛根”.他在1930年的文章中給出該論斷的證明,并提出傅里葉-波利亞猜想.奧蘭德在1930年也獨立證明了該論斷,并給出一個非常驚人的定理,“存在任意階的整函數,在復平面的每個點的鄰域內導數為 0”[14].以此為據,利用波利亞 1922年文章的思想,威曼(A.Wiman)在1930年給出如下定理:存在一個整函數ezf(z),f(z)為型是0的整函數,其導數的零點的聚點有兩種可能或是整個實軸或為無窮[15].

威曼在奧蘭德,波利亞等人的影響下,在1937年推廣了他們的定理,證明階小于1時結論也成立[16].同年,波利亞在看到威曼的論文手稿后,證明對于一個實整函數,且只有有限多個非負實根,只要階小于,則其最后集為實軸子集.他也猜想可以由2代替,由柯夫(T.Craven)、科爾達斯(G.Csordas)、史密斯(W.Smith)在1987年證明[17].普拉瑟在1986年證明,當用更一般的微分算子代替微分運算時波利亞提出的的結論也成立[18].

威曼在1937年的論文中曾指出,僅通過函數非實零點的位置可得到一個確定的區(qū)域,其n階導數的全部非實零點包含在內.波利亞在1937年進一步指出,若函數的每個非實零點α+iβ滿足|β|<1,則僅通過函數的非實零點的位置確定一個n0,當n>n0時,函數的n階導數的全部例外零點和全部非實零點都位于圓內.他在該文中深入探討了函數的可疑圓和自由圓問題.令f(z)為超越整函數,若rk是以坐標原點為圓心的最大圓半徑,在其中f(k)(z)無零點.包斯、雷迪(R.Reddy)在1973年指出,若f(z)為階至多是2的有限型的整函數,則在平面內任意處存在任意大圓,在其中無窮多個f(k)(z)無零點[19].在包斯和雷迪論文之后,雷迪在1974年考察了對D算子的無零點圓問題,證明了對于導數出現的許多結果為該算子一般理論的特例[20].對于階高于2,該定理不再有效.在這方面有一個假設為包斯猜想:若ρ>2,則存在階是ρ的整函數f(z)使得對某個正數A,半徑為A的任意圓,無論在平面何處,總含f(n)(z)的一個零點.普拉瑟、蕭氏在1983年對此也有探討[21].

3.3 最后集的分析學定義及其命名 — 1943年文章的分析

波利亞在1922年的論文中發(fā)現了函數的極點分布和最后集之間的非常有趣的聯(lián)系.波利亞在“一個函數的導數的零點和其解析性”(1943)中,以這個問題開始,“當n很大時,f(z)的第n階導數的零點行為如何?這些行為依賴于f(z)的解析性質嗎?f(z)的連續(xù)階導數的零點有確定趨勢嗎?若有,我們能找到這種趨勢嗎?”

波利亞在該文第二部分給出了幾個關鍵性的定義,其中之一為函數的最后集,最后集的名字首次出現.一般來講,一個極點的鄰域是一個開的凸集,其邊界由折線構成.波利亞定義了一個集合稱為函數f(z):C→C的最后集D,由f(z)的全部導數的零點集的聚點構成.

在第三部分 (亞純函數),波利亞開篇指出:設f(z)為亞純函數,其極點作為關于f(n)(z)的零點排斥的中心.一個亞純函數的最后集不含任何極點區(qū)域內部的點,但含所有在兩個或多個極點區(qū)域的共同邊界的點.值得注意的是最后集完全由f(z)的極點分布確定,不依賴于極點的階及留數.

在第四部分(具有一個本性奇點的函數),波利亞考慮了點z=0為有限奇點情況.若z=0為一個極點,整個平面為其區(qū)域,則f(n)(z)的零點趨于無窮,無極限點,最后集為空集.但z=0若為本性奇點,則情況不同.f(n)(z)的零點的運動趨勢不定,只依賴于奇點位置不再正確,例如f(z)=z?1e?z?1,f(n)(z)的零點為正實數,最后集為正半軸.波利亞沒有給出該斷言的證明.若z變?yōu)閦eiα,為固定實數,0<α<2π,則f(z)的奇點為原點,但f(n)(z)的零點沿來自于該奇點的另一條射線趨于稠密,最后集改變位置.在波利亞該例的影響下,埃德雷(A.Edrei)在1987年研究了的最后集問題,其中g(z)為只有實根的阿達瑪積[22].克拉尼(J.G.Clunie)、埃德雷在1991年利用類似于埃德雷的推理把函數g(z)推廣為滿足一定條件的超越整函數的情況,一般化了上文中的有關結果[23].

第五部分 (整函數),在該部分中,波利亞討論了n趨于無窮時,整函數的導數f(n)(z)的零點趨勢,這種趨勢主要依賴于f(z)的階.波利亞并斷言“若一個實整函數f(z)的階比1大,則f(n)(z)的零點隨著n的增加集中趨于無窮.若一個實整函數f(z)的階比1小,則f(n)(z)的零點隨著n的增加而分散趨于無窮”.要注意的是,波利亞描述的上述現象是非常一般的和定性的.

設λ表示整函數f(z)的階,則

其中rn表示f(n)(z)的零點最近于原點的距離,Nn表示f(n)(z)在|z|≤1內的零點數.

當λ<1時,奧蘭德在 1914年給出 (1)式,更多更準確的關系由貢察夫 (W.Gontcharff)在“解析函數連續(xù)階導數的研究”(1930)中給出[24],貢察夫的研究思路由竹田 (S.Takenata)、卡克、勛伯格 (I.J.Schoenberg)等人繼承和發(fā)展[25].當f(z)為有限階λ>0,α>λ時,存在無窮增加的k的序列使.波利亞在該文提出λ>1.埃爾多斯 (P.Erd?s)、仁伊 (A.Rényi)在 1956年給出λ>1的第一個證明,在其中奧蘭德的結果被錯誤地引述為λ>1[26].當λ=1,f(z)為指數類型τ時,更準確的結果是rk≥c(τ),c(τ)為一常數,由竹田在1932年給出[27].該結果由巴克霍爾茨(D.Buckholtz)、弗讓柯(J.L.Frank)在“惠特克常數”(1971)中進一步研究[28].包斯在1940年引入了一個與之相關但不同于rn的量,后由列文森(N.Levinson)在1941年發(fā)展.令Sn表示圓心在z=0處的最大圓半徑,在其內f(z)是正則函數,f(n?1)(z)是單值的,則有

(2)式是波利亞首次提出的.在該文注腳處指出,若λ≤1,則最后集可能為空集,并且可以構造任意給定階的整函數,其最后集由一個點構成:若λ>1,最后集一定含一個點嗎?該問題由埃德雷和麥克蘭尼在1956年的論文中給出詳細解答[29].

波利亞在該部分提到“階為1的整函數f(z)=sinz,微分運算不改變其導數零點分布的稠密性”的例子引起了一些學者的關注.普拉瑟在1984年發(fā)表了一個證明,肯定了該假設定理[30],但其證明存在一處錯誤.實際上,該錯誤是嚴重的,饒歐(M.Rao)、申(L.C.Shen)在1987年構造了一個反例,否證了上面的假設定理.他們指出,存在指數類型的實整函數,在實軸上有界,使得整個實軸屬于它的最后集.并給出如下猜想:令f(z)為一個階為1的實整函數,指數類型為ρ,在實軸上有界,則f(z)的最后集在實軸上為一個等間隔的無窮集[31].應當指出,該定理與波利亞的闡述不矛盾.對于波利亞而言,只說f(n)(z)的零點分布的稠密度基本不變.

申在1987年繼續(xù)探討,給出下面猜想:令f(z)為指數類型的,階是1的實整函數,在實軸上有界,則f(z)的最后集為一個等間距的無窮集,n為整數,τ為f(z)的型.在該文中,申證明了一個稍弱的猜想[32].

第六部分(實整函數),一個實整函數的零點集關于實軸對稱,實軸對f(n)(z)的復根起著重要影響.當f(z)的階小于2時,吸引這些零點,當階大于2時排斥這些零點.波利亞給出了兩個猜想:

A:若實整函數f(z)的階小于2,且只有有限個復根,則其各階導數,從某一階開始不再有復根.

B:若實整函數f(z)的階大于2，且只有有限個復根,則n趨于無窮時,f(n)(z)的復根數趨于無窮.

猜想A由威曼和波利亞獨立發(fā)現,現稱波利亞 -威曼猜想.在1987年,柯夫,科爾達斯,史密斯在f(z)是0類或1類時證明了波利亞-威曼猜想.柯姆(Y.O.Kim)在1990年通過完善他們的證明在一般情況下證明了該猜想[33].

猜想B可由例子e?z2k和e?eez說明.e?z2k的最后集由k條通過原點的直線構成,把平面分成2k個等角.e?eez的最后集由無窮條平行線組成,平面由寬度為2π的直線分割,該問題由波利亞提出,由斯?jié)晒抛C明,但未出版.若k≥2,則這兩個函數的最后集包含整個實軸,而且包含實軸外的點.海勒斯坦(S.Hellerstein)、楊(C.C.Yang)在1970年利用土姆-克拉尼定理部分肯定猜想B[34].埃德雷在1980年提到,波利亞在給埃德雷的一封信中詢問他是否能給出這個事實的證明.由于斯?jié)晒旁谒墓P記中沒有找到該證明的記載,這是一個無法補救的損失.波利亞和斯?jié)晒鸥械蕉疾荒茉僦匦卵芯窟@個問題了.在此情況下,埃德雷研究了e?ez的最后集,指出由直線y=2πl(wèi),(l為整數)組成,并給出證明[35].埃德雷在研究該問題時看到了普拉瑟當時未出版的“一些整函數連續(xù)階導數的零點”的手稿,對其有一定啟示.普拉瑟在該文中研究了該函數的冪級數展開,指出該級數系數的97%以上不為0,并猜想當n充分大時,系數不為0[36].埃德雷在該文中給出了該猜想的一些相關信息.該例由雷門(J.W.Layman)和普拉瑟在1983年通過研究貝爾數進一步探討[37].格斯納(R.Gethner)在其1982年的博士論文中對某類函數證明了猜想B[38].

伯格威勒 (W.Bergweiler)、葉列緬科 (A.Eremenko)在 2006年涉及猜想B.令f(z)為有限階的實整函數,有有限多個非實根,f(z)不是一個實多項式和類LP中的函數之積,則f(n)(z)的非實根數N(f(n)(z))滿足[39].對于無窮階的實整函數,具有有限個非實根,蘭利(J.Langley)同年證明

第七部分(關于實整函數的其他開放問題),波利亞提出了猜想C:若一個階比1大的實整函數對變量的實值保持有界,則最后集包含整個實軸.埃德雷在1956年對該猜想有所涉及,并給出一個重要結果.令f(z)為實超越整函數,滿足形如

的微分方程,其中P(z)和Q(z)為多項式,Q0(z)不恒為0.令f(z)在|z|=r上的最大值為M,存在一個適當的ρ(0<ρ<∞)使得,若

則實軸的每個點屬于f(z)的最后集[41].

波利亞在函數最后集工作的最后一篇論文是“連續(xù)階導數的零點:一個例子”.該文討論了特殊的亞純函數的最后集,由無窮條平行直線y=(2n?1)π構成,最后集之外無任意階導數的零點.波利亞在文末給出了一個優(yōu)美的定理:令f(w)=tanw,若f(w)的第n階導數在w處為0,則w為n階導數的單重零點,w的實部是π的整倍數,但未證.古斯蒂 (M.Gusti)在 “亞純和整函數的最后集”(1987)中給出證明[42],馬丹(S.Madan)在2014年也對該例進行了探討[43].申在“關于tan(k)z的零點”(1991)中進一步對此研究[44].

4 后續(xù)數學家關于函數最后集理論的研究

波利亞引入的最后集理論引起了眾多學者的關注,產生了許多有意義的結果.

4.1 微分施于函數的最后集

羅德斯特倫(H.R?dstr?m)受波利亞、奧蘭德等人的影響,在1948年研究解析函數的最后集.他以冪級數的形式表示解析函數,闡述了系數和導數零點之關系,并以此證明了波利亞關于亞純函數的最后集定理[45].海曼和欣卡寧(A.Hinkkanen)在2001年受羅德斯特倫工作影響考慮了是否一個亞純函數的最后集可以以函數導數的對數導數的序列描述的問題,研究了函數的最后集和正交族的關系[46].

由波利亞的猜想A,B,自然引出一個問題,是否任何一個集合可為某些整函數的最后集.庫瓦里(T.K?ovári)在1956年證明存在一個整函數,它的最后集是整個平面[47].該逆問題的進一步解答由埃德雷、麥克蘭尼在“一個整函數導數的零點”(1957)中給出肯定回答.這兩位學者同時獨立完成證明,幸好被及時發(fā)現,免于重復發(fā)表.

設H(C)為在緊致開拓撲下取的整函數空間,麥克蘭妮在1952年給出了一個微分定理:存在整函數f(z),對于其連續(xù)階導數序列在H(C)中稠密[48].利用這一結果,格斯納,夏皮羅(J.H.Shapiro)在1987年通過證明一個整函數導數序列零點的最后集一般為整個黎曼面,完善了波利亞和麥克蘭妮的最后集理論[49].

蕭氏、普拉瑟在1982年對于具有代數奇點的函數給出了函數的最后集定理,闡述了關于連續(xù)階導數的零點如何遷移到最后集的定量結果[50].海勒斯坦、申、威廉森(J.Williamson)在1983年證明,階大于1的波利亞-舒爾函數以整個實軸為最后集[51].申在1986年利用最速降線法,證明了在一定條件下,偶拉蓋爾-波利亞函數的最后集為整個實軸[52].

古斯蒂在“亞純和整函數的最后集”(1987)中,確定了某些整函數連續(xù)階導數的零點集,并表明在這些函數的導數和某些多項式之間存在緊密關系,利用這些可以確定零點分布.若一個整函數只有實根,則這個函數的導數可能有非實根.這表明整函數的型和階影響著這些函數連續(xù)階導數的零點趨勢.

格斯納以其博士論文為基礎,在1984年對于有限階的(包括分數階在內)某類整函數,一些最大最小型的及指數型冪級數的和的函數建立了一個與波利亞郡定理類似的定理.格斯納、桑斯(L.R.Sons)在“具有阿達瑪缺項整函數導數的零點”(1986),格斯納在“在單位圓內具有阿達瑪缺項級數的連續(xù)階導數的零點”(1989)及“具有阿達瑪缺項級數的連續(xù)階導數的零點”(1993)等文章中研究了具有阿達瑪缺項級數的最后集問題[56].

包斯、雷迪在 “整函數連續(xù)階導數的零點”(1973),雷迪在 “整函數零點的導數”(1974),施思冒(T.Sheil-Small)在 “實整函數導數的零點和威曼猜想”(1989)等研究了當n趨于無窮大時,導數零點的遷移性問題.但是當n很小時,情況如何呢?蘇賢南(Su Hyeon Namn)在1997年填補了這一空白.他把排隊網狀系統(tǒng)問題形式化為一個一般的數學問題,稱為“遷移臨界點”猜想.該猜想斷言:無論n為何值,存在有理函數的連續(xù)階導數的零點以加速的速率遷移[57].哈雷爾(A.Harel)、蘇賢南、斯特姆(J.Sturm)在1999年繼續(xù)研究,證明若f(z)為階小于1的整函數,其根全部為實的,則f(k)(z)的最小根隨k增加而增加.哈雷爾等人根據柯夫、科爾達斯、史密斯在“整函數導數的零點和波利亞-威曼猜想”(1987)中的“對充分大的n,f(n)(z)的零點全為實的”事實,證明,在這種條件下,導數的零點分散趨于無窮[58].應當指出的是,貢察夫在1930年的上述文章中已有這種思想的端倪,威爾夫(M.S.Wilf)在“對于一類整函數的比當定理”(1962)中對此也有闡述[59].

魏斯(M.Weiss)在2003年從幾何背景探討了在雙曲面內自守函數連續(xù)階導數零點的聚集問題,把波利亞關于亞純函數的最后集結果一般化[60].博格瓦德(R.B?gvad),黑格 (C.H?gg)在2017年對有理函數,P,Q為互質多項式(Q?=0),從測度理論角度對其最后集進行了研究[61].同年,黑格對f(z)=R(z)eT(z),R(z)為至少有兩個極點(所有極點都不同)的有理函數,T(z)為多項式,也從測度理論角度對其最后集進行研究[62].

值得一提的是,與函數最后集有關的一個有意義的問題由埃爾多斯提出,記載在海曼的“函數理論研究問題”(1967)的第17頁問題2.30中.該問題是,若在復平面內的集合列{Sk},每個集合無有限極限點,是否存在一個正整數列{nk}和一個超越整函數f(z)使得f(nk)(z)=0,z∈Sk.該問題由巴特(K.Barth)、施耐德(W.Schneider)在 1972年證明[63].勛伯格在 “整函數連續(xù)階導數的零點 II”(1976)中更深入研究,并提出如下猜想:若f(z)為不恒等于 0的指數類型δ的整函數,使得每個f(v)(z),v=0,1,2,···在內至少有k個零點,則δ≥π.f(z)=cos(πz)表明π對于這個不等式為最佳常數[64].這個問題與確定惠特克常數有關.關于惠特克常數的確定及其歷史發(fā)展可見于“惠特克常數”(1974)中[65].

4.2 算子運算施于函數的最后集

當微分運算由其它算子代替時,函數零點的描述結果是否仍然成立?這個問題在波利亞的工作中已有研究.當連續(xù)階導數由其它算子的連續(xù)迭代代替時,施于解析或整函數算子的迭代的零點分布受提到的算子,整函數的階或解析函數的增長的影響.

對于尋找施于解析函數的微分算子的連續(xù)迭代的零點的動機可在波利亞的一系列論文中找到源頭.在對拉蓋爾工作研究的基礎上,波利亞、舒爾在“在代數方程理論中的兩種因子序列”(1913)中把一個多項式或有實根或有相同符號的實根轉化為一個通過某一序列和原始函數的第k項相乘得到只有實根的函數,這一工作在列文“整函數零點分布”(1960)中有詳細介紹.在這篇文章之后,波利亞在“階為0和1的整函數的代數研究”(1915)中探討了微分算子應用于一個只有實根的整函數上對實根的影響.柯夫、科爾達斯在1977年給出了代數域而不是實數域的乘積序列結果[66],在“多項式和整函數零點分布的一個不等式”(1981)中研究了不能增加實多項式的非實根數的乘積序列.在其著作中又給出了更為全面深入的研究[67].

包斯在1978年對在無窮處解析的函數的連續(xù)階導數的零點進行了考察,證明了下列定理:令非常值函數F(w)=∑bnw?n在無窮處解析,則存在c>0,對充分大的n,F(n)(w)在|w|=nc外沒有有限零點[68].包斯的有關思想可在威德(D.V.Widder)“拉普拉斯逆變換和相關矩問題”(1934)中找到端倪.包斯的結果在蕭氏,普拉瑟“連續(xù)階導數的零點和施于解析函數的迭代算子”(1980)中一般化[69].

普拉瑟受波利亞關于施于解析函數迭代算子的零點行為的論文影響,對于三角多項式和一階正常型的整函數的有限傅里葉變換的最后集問題進行了深入研究,涉及的論文有,包斯和普拉瑟“施于有限傅里葉變換算子的最后集”(1979),普拉瑟“平衡三角多項式的導數的零點”(1979),普拉瑟“關于最后集的新老定理”(1981).對于階為1到2之間的一些整函數可以表示為傅里葉積分,在“可表示為傅里葉積分的整函數類的最后集”(1981),確定了該類函數對一些微分算子的最后集.在1984年對施于函數算子的零點和解析性問題的已有定理和問題進一步研究[70].他在同年證明了下列定理:令f(z)為一個階為1,正常型的實整函數,在實軸上有界,L=?(D),,?(w)為 LP 類函數,?(0)=0,則f(z)關于L的最后集包含在實軸或為離散子集或為整個實軸[71].

5 結語

當n增加時,函數的第n階導數的零點如何表現是波利亞研究的一個重要領域,并激起了眾多學者的研究.波利亞對微分運算下函數零點問題進行了深入研究,獲得了一些重要成果,其中之一便有函數的最后集理論.他給出了函數最后集的幾何描述和概念、給出了亞純函數和一些整函數的最后集定理,提出了一些重要的研究方法和思想,特別是提出了3個有重要影響的猜想,奠定了其后數學家在這個領域研究的基礎.

波利亞的最后集理論在一定程度上支持了哥德堡(Gol′dberg)猜想.哥德堡猜想斷言:f(z)的不同極點的頻率由f(k)(z)的零點控制.波利亞的最后集定理表明,若f(z)至少有兩個極點,則對充分大的k,f(k)(z)至少有一個零點.但該定理未能揭示出導數零點頻率的具體信息.該問題由蘭利(J.Langley)在“亞純函數導數的零點”中研究[72].波利亞的最后集理論對黎曼猜想的解決也有重要作用[73].

一個整函數連續(xù)階導數的零點分布是一個活躍的主題,其他學者從其它視角對函數的最后集問題進行研究,進一步豐富了函數的最后集理論.格斯納在1985年研究了函數在最后集中點的連續(xù)階導數零點的增長率問題[74].弗讓柯、蘭利在1999年研究了線性微分多項式的零點問題[75].奧斯特羅夫斯基 (I.Ostrovskii)和烏雷寧(A.üreyen)在2003年研究了一個整函數的零點集和最大模點的距離問題[76].邁拉斯(T.Meyrath)、繆勒(J.Müller)在2013年研究了亞純函數的連續(xù)階導數序列在最后集點中的行為[77].

波利亞的函數的最后集理論影響深遠,一方面和該理論在函數零點理論中的重要性有關,值得學者們研究與思考;另一方面,在研究函數的最后集理論的學者中,他們中有的是師生關系,有的是學術上多年合作的伙伴.如奧蘭德是威曼的學生,海勒斯坦是埃德雷的學生,格斯納為海勒斯坦的學生等.波利亞、威曼、埃德雷、普拉瑟、桑斯等人之間都有信件往來和學術交流,足見數學家之間的廣泛交流和合作也是該理論得以傳播的重要途徑.