陳媛媛 馬月華

(1 中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái)南京 210023)

(2 中國(guó)科學(xué)院行星科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京 210023)

1 引言

近地小天體(Near-Earth Object,NEO)作為一種特殊的小行星群,是指其軌道近日點(diǎn)小于1.3 au的小行星及彗星.近地小天體是離地球最近的一類天體,這種距離優(yōu)勢(shì)使其成為進(jìn)一步了解太陽(yáng)系、發(fā)展優(yōu)化深空探測(cè)項(xiàng)目以及開(kāi)發(fā)太空資源的首選目標(biāo).同時(shí)它們潛在的碰撞威脅也讓我們不得不對(duì)其進(jìn)行更加嚴(yán)密的追蹤和觀測(cè).一般認(rèn)為近地小天體是“離群”或碰碎的主帶小行星和“熄火”彗星的組合群[1],如此多樣性的來(lái)源使其可以與太陽(yáng)系不同區(qū)域的天體相互對(duì)接尋找演化線索.同時(shí),近地小天體還是隕石的最主要來(lái)源地之一,從而也能與行星化學(xué)中的隕石分析和統(tǒng)計(jì)進(jìn)行間接對(duì)比和佐證.對(duì)近地小天體軌道的動(dòng)力學(xué)研究是其中的重要組成部分,為地面觀測(cè)及探測(cè)項(xiàng)目提供了必不可少的理論支撐,也為小行星撞擊事件的預(yù)警提供關(guān)鍵的預(yù)報(bào)和篩查.

近地小天體的動(dòng)力學(xué)研究本身存在不確定性,但在實(shí)際應(yīng)用中又需要高精度的定量結(jié)果,從而使其成為一個(gè)相對(duì)困難的研究方向[2].這一動(dòng)力學(xué)研究方向的不確定性是多方面的.首先,大多數(shù)小行星身處混沌的相空間之中,任何方面的細(xì)微不同都會(huì)導(dǎo)致生成的模擬軌道與其實(shí)際軌跡大相徑庭.其次,大多數(shù)小行星的觀測(cè)數(shù)據(jù)本身存在誤差,同時(shí)即使觀測(cè)誤差足夠小,由于觀測(cè)弧段太短導(dǎo)致的定軌誤差也不容忽視.再次,力模型的選擇非常重要,在盡可能精細(xì)的力模型與盡量減少計(jì)算機(jī)的截?cái)嗾`差之間需要謹(jǐn)慎權(quán)衡.

近地小天體作為一個(gè)族群,其整體的動(dòng)力學(xué)起源至今仍沒(méi)有定論.通過(guò)穩(wěn)定性分析及數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),這些小天體的平均年齡只有百萬(wàn)年量級(jí),所以需要一種機(jī)制持續(xù)不斷地對(duì)這個(gè)小行星群進(jìn)行補(bǔ)充,使其在當(dāng)前太陽(yáng)系整體穩(wěn)定的狀態(tài)下保留至今.普遍認(rèn)為,近地小天體的起源地有兩個(gè):主帶小行星和彗星[3–5].主帶小行星在μ6長(zhǎng)期共振、木星的3:1、5:2、2:1等主要平運(yùn)動(dòng)共振以及其他共振的攝動(dòng)作用下增加偏心率,引發(fā)與火星的密近交匯,從而散射到近地球的區(qū)域,這一過(guò)程僅需要幾十萬(wàn)年.不過(guò)這些作為“供應(yīng)源”的共振區(qū)也需要有后續(xù)材料的補(bǔ)充,Yarkovsky效應(yīng)引起的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)期變化可能在其中起了決定性作用,但相關(guān)研究還處于假設(shè)和理論推理階段,并沒(méi)有觀測(cè)方面的驗(yàn)證.而對(duì)于彗星起源,由于其起源地的小行星大小分布不明以及軌道演化中受到不確定的非引力作用,導(dǎo)致數(shù)值模擬從彗星演變成NEO比較困難.在文獻(xiàn)[3]中,作者將NEO的源區(qū)域分成5個(gè)部分:μ6共振區(qū)、與火星交匯的中轉(zhuǎn)區(qū)、木星的3:1共振區(qū)、外主帶小行星以及越海王星盤(Transneptunian disk),給出了絕對(duì)星等H <22的小行星來(lái)自不同源區(qū)域的比例,指出其中大約6%來(lái)自木星族彗星,遠(yuǎn)小于來(lái)自主帶小行星的比例.他們同時(shí)估計(jì)了Amors、Apollos和Atens 3類近地小行星在整體NEO中的占比.

1989 ML的軌道半長(zhǎng)徑為1.27 au,具有中等偏心率～0.136,較小軌道傾角～4.4°.作為近地小天體,由于空間探測(cè)所需能量很少,所以一直是交匯類探測(cè)任務(wù)(rendezvous mission)的首選目標(biāo)[6].Binzel等人于1999年3月和5月利用帕洛瑪天文臺(tái)的5 m Hale望遠(yuǎn)鏡對(duì)1989 ML進(jìn)行了0.3–0.9μm的光譜觀測(cè),并推測(cè)其光譜特征與黑色球粒隕石最接近,即一種在碰撞沖擊作用下變暗的普通球粒隕石[7].Mueller等人同時(shí)利用Spitzer望遠(yuǎn)鏡的紅外成像攝像機(jī)(IRAC)和2.0 m Faulkes望遠(yuǎn)鏡(北)對(duì)1989 ML進(jìn)行了紅外、近紅外及光學(xué)波段的測(cè)光觀測(cè).通過(guò)對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析及模型處理,得出1989 ML的有效直徑為(0.28±0.05)km,幾何反照率為0.37±0.15[8].

(4660) Nereus (1982 DB)小行星軌道半長(zhǎng)徑～1.49 au、偏心率～0.36、軌道傾角更小～1.43°.同樣地,由于其軌道傾角很小,從而對(duì)交匯類任務(wù)而言所需能量較其他大多數(shù)小行星更少.Nereus在2002年1月曾與地球有一次密近交匯,最近距離達(dá)到0.029 au.在這次回歸期間,美國(guó)宇航局3 m口徑紅外望遠(yuǎn)鏡(IRTF,位于夏威夷)、美國(guó)帕洛瑪天文臺(tái)的5 m Hale望遠(yuǎn)鏡、亞利桑那州基特峰國(guó)家天文臺(tái)的4.0 m Mayall望遠(yuǎn)鏡、夏威夷10 m Keck-I望遠(yuǎn)鏡、歐洲南方天文臺(tái)3.5 m新技術(shù)望遠(yuǎn)鏡(NTT,位于智利)以及兩個(gè)著名的雷達(dá)設(shè)備Arecibo、Goldstone都對(duì)其進(jìn)行了專門的觀測(cè).Delb′o等人利用夏威夷10 m Keck-I望遠(yuǎn)鏡測(cè)量了Nereus在8–18μm波段的紅外熱流量,并利用標(biāo)準(zhǔn)熱模型(STM)、快速自轉(zhuǎn)模型(FRM)以及近地小行星熱模型(NEATM)對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬對(duì)比,得出Nereus的直徑～0.33 km,反照率較高為0.55±0.17[9].Binzel等人結(jié)合IRTF、Hale和Mayall 3個(gè)望遠(yuǎn)鏡的數(shù)據(jù),給出了0.3–2.5μm波段Nereus的光譜,并將其光譜斜率及其吸收特征與其他小行星相對(duì)比,將其歸為Tholen分類系統(tǒng)中的E型小行星.同時(shí)根據(jù)0.49μm處的光譜特征推測(cè)其與頑火輝石隕石(enstatite achondrite meteorites/aubrite)有關(guān),起源于位于內(nèi)主帶有較高整體傾角的Hungaria群[10].但不像另一顆E型小行星(3103) Eger,其軌道傾角與Hungaria群的平均水平相當(dāng),Nereus的超低傾角似乎很難從Hungaria群的小行星演化而來(lái).這個(gè)差異使Nereus的真正起源變得模棱兩可.Lazzarin等人利用NTT得到0.4–1.65μm范圍的光譜數(shù)據(jù),并將其與頑火輝石隕石光譜相對(duì)照,結(jié)果相當(dāng)吻合.他們還斷言,Nereus可能是很久之前從Hungaria群演化而來(lái),其軌道傾角的差異源于ν16共振(可以看成是小行星的升交點(diǎn)經(jīng)度與土星的升交點(diǎn)經(jīng)度之間的耦合)[11].Brozovic等人分析了Arecibo、Goldstone兩個(gè)雷達(dá)設(shè)備根據(jù)2002年Nereus最接近態(tài)的觀測(cè)影像,給出了較精確的形狀輪廓(3軸方向分別為(510±20)m、(330±20)m、)以及自轉(zhuǎn)軸在黃道極坐標(biāo)系的指向(黃經(jīng)λ=+25°±10°、黃緯β=+80°±10°)[12].Nereus將于2021年12月再次接近地球,并且其最近距離較2002年更近,可達(dá)0.026 au.

針對(duì)近地小行星的軌道動(dòng)力學(xué)演化已有的研究工作列舉如下:文獻(xiàn)[13]對(duì)這兩個(gè)小行星前后幾千年的軌道演化進(jìn)行了數(shù)值模擬,并得出結(jié)論:1989 ML的軌道是混沌的,因此只能得到大約1000 yr以內(nèi)的精確軌道,而Nereus的軌道更混沌,只能得到200 yr內(nèi)的軌道;文獻(xiàn)[14]討論了研究近地小行星所需要的動(dòng)力學(xué)模型選擇問(wèn)題,并給出了2000–2100年內(nèi)6個(gè)近地小行星與地球的密近交匯信息,其中包括Nereus;文獻(xiàn)[15]和[16]提出近地小行星可以短暫地進(jìn)入木星的3:1和1:1平運(yùn)動(dòng)共振,這可使其軌道暫時(shí)地避開(kāi)密近交匯而保持穩(wěn)定.同時(shí)列舉了與大行星發(fā)生長(zhǎng)期共振或Kozai共振的情況;文獻(xiàn)[17]列出了24個(gè)近地小行星在2000–2100年內(nèi)與地球的密近交匯信息,并給出了13個(gè)近地小行星1萬(wàn)年內(nèi)軌道各根數(shù)的變化范圍,其中均包含小行星Nereus;文獻(xiàn)[18]數(shù)值模擬了(433)Eros和(4660) Nereus兩個(gè)近地小行星向后2 Myr內(nèi)的軌道運(yùn)動(dòng),并針對(duì)5個(gè)Nereus的克隆軌道詳細(xì)討論了其與各大行星密近交匯及發(fā)生各種共振的情況.他們指出,Nereus的軌道演化主要由與地球的密近交匯所主導(dǎo).

本文利用最新的軌道初值,在其觀測(cè)誤差范圍內(nèi)各取了1000個(gè)克隆粒子,更加系統(tǒng)地研究了1989 ML和Nereus這兩個(gè)近地小天體的軌道穩(wěn)定性及相關(guān)動(dòng)力學(xué)特征.內(nèi)容安排如下:第2部分對(duì)本文使用的數(shù)值模擬方法及初值選取做了詳細(xì)的說(shuō)明,第3部分從穩(wěn)定時(shí)標(biāo)、可能的運(yùn)動(dòng)范圍、密近交匯及各共振對(duì)軌道的影響等方面做了詳細(xì)的討論,并將兩個(gè)小行星的結(jié)果作比較.第4部分給出主要結(jié)論.

2 方法及初值設(shè)置依據(jù)

2.1 力模型及積分器

本文利用N體運(yùn)動(dòng)來(lái)研究在太陽(yáng)系主要引力作用下兩個(gè)小行星1989 ML和Nereus的軌道運(yùn)動(dòng).本文考慮的N體動(dòng)力學(xué)模型包括八大行星、冥王星系統(tǒng)(系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng))、月球以及4個(gè)最大的小行星(Ceres、Vesta、Pallas和Hygiea).以上包括太陽(yáng)在內(nèi)的15個(gè)天體均是考慮質(zhì)量的大天體,而兩個(gè)小行星則忽略其質(zhì)量,為測(cè)試粒子.天體的相對(duì)論效應(yīng)、非球形效應(yīng)以及其他非引力效應(yīng)(太陽(yáng)光壓及Yarkovsky效應(yīng)等)均被忽略.

模擬程序主要使用Mercury程序包中的BS(Bulirsch-Stoer)算法[19],同時(shí)用RKF7(8)(Runge-Kutta-Fehlberg)積分器進(jìn)行對(duì)比和精度驗(yàn)證.積分中設(shè)置精度為10?15,對(duì)比計(jì)算前后系統(tǒng)的總能量之差?E與總角動(dòng)量之差?L,計(jì)算10萬(wàn)年后兩種算法的截?cái)嗾`差比例分別為?E≈10?11,?L≈10?11(Mercury中BS算法)和?E≈10?13,?L≈10?13(RKF7(8)積分器).

2.2 初值設(shè)置

本文中的初值使用的是JPL(Jet Propulsion Laboratory)中Horizons給出的根數(shù),所有大天體取簡(jiǎn)化儒略日MJD59000.0 (Modified Julian Day)時(shí)刻的瞬時(shí)根數(shù),具體數(shù)值見(jiàn)表1.表中G為引力常數(shù)、MP表示天體質(zhì)量、a是軌道半長(zhǎng)徑、e為軌道偏心率、i為軌道傾角(行星軌道面與黃道面夾角)、ω為近點(diǎn)角距、?為升交點(diǎn)經(jīng)度、M為平近點(diǎn)角.各大天體在各個(gè)時(shí)刻的位置均由初始瞬時(shí)根數(shù)和N體模擬計(jì)算得出,并沒(méi)有利用更多的即時(shí)觀測(cè)數(shù)據(jù),因此大行星在程序計(jì)算里的位置與實(shí)際歷表位置的差值也可能導(dǎo)致小行星軌道的誤差,比如水星在相對(duì)論作用下的近心點(diǎn)進(jìn)動(dòng).由于本文著重點(diǎn)在于小行星1989 ML和Nereus的軌道特征及演化的定性研究,而并非得出針對(duì)工程的精確歷表的定量結(jié)果,所以上述力模型和初值可視為相對(duì)的合理設(shè)置.

表1 本表列出了數(shù)值模擬中用到的所有大天體的初始值, 為MJD59000.0時(shí)刻的瞬時(shí)根數(shù).數(shù)據(jù)來(lái)源: https://ssd.jpl.nasa.gov/Table 1 This table lists the initial values of all major objects used in the numerical simulations, which are the instantaneous elements at M JD59000.0.Data sources: https://ssd.jpl.nasa.gov/

表1 續(xù)表Table1 Continued

小天體的標(biāo)稱軌道選在其各自已知觀測(cè)時(shí)段中間時(shí)刻對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)軌道(來(lái)自近地天體動(dòng)態(tài)網(wǎng)站(Near Earth Objects Dynamic Site,NEODyS)),因?yàn)榇丝痰能壍朗窍鄬?duì)而言限制條件最優(yōu)的[20],分別對(duì)應(yīng)儒略日J(rèn)D=2455061.9 (1989 ML)和JD=2457165.8(Nereus).各軌道根數(shù)的具體值見(jiàn)表2和表3.在Mercury程序計(jì)算中,首先把它們積分到跟大天體一致的時(shí)刻再一起計(jì)算.

2.3 克隆粒子的選取

為了對(duì)觀測(cè)誤差范圍內(nèi)兩個(gè)小行星可能的動(dòng)力學(xué)特征做進(jìn)一步的研究,我們利用NEODyS中給出的小天體軌道根數(shù)和對(duì)應(yīng)協(xié)方差矩陣[21]1NEODyS中給出的小天體軌道根數(shù)有效數(shù)字太少,而Horizon中最小步長(zhǎng)被限制為1 d.為了提高精度,對(duì)a、e、i、ω、? 5個(gè)根數(shù)實(shí)行Horizon中相鄰兩個(gè)瞬時(shí)根數(shù)的線性插值.平近點(diǎn)角M還是取的NEODyS給出的原值.,根據(jù)多元正態(tài)分布分別為兩個(gè)小行星選取了1000組鄰近的軌道根數(shù)作為其克隆粒子.

3 主要結(jié)果

本節(jié)首先從小行星的穩(wěn)定性討論出發(fā),利用最大Lyapunov指數(shù)(MLE)與MEGNO指數(shù)(Mean Exponential Growth factor of Nearby Orbit)給出小行星目前軌道的Lyapunov時(shí)間.其次,通過(guò)對(duì)克隆粒子的統(tǒng)計(jì),給出10萬(wàn)年內(nèi)小行星的可能運(yùn)動(dòng)范圍以及在此時(shí)間段內(nèi)與大行星的密近交匯及碰撞情況.最后,針對(duì)其標(biāo)稱軌道,分析了對(duì)軌道有重要影響的各種共振.

3.1 最大Lyapunov指數(shù)與MEGNO指數(shù)

這兩個(gè)指數(shù)都是需要在N體演化的過(guò)程中計(jì)算的.MEGNO指數(shù)在Lyapunov指數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái),平均MEGNO指數(shù)隨時(shí)間變化的斜率即對(duì)應(yīng)最大Lyapunov指數(shù).在大多數(shù)情況下相比Lyapunov指數(shù),MEGNO指數(shù)可以更快地收斂到極限值[22],計(jì)算效率較高,因此常用于相空間的掃描.計(jì)算用到的微分方程表達(dá)式見(jiàn)附錄.

模擬過(guò)程中對(duì)初始軌道距離d0和正規(guī)化時(shí)間間隔δT兩個(gè)參數(shù)的說(shuō)明如下:

?由于MLE和MEGNO的大小衡量了某軌道附近軌道隨時(shí)間推移的偏離程度,在計(jì)算的初始設(shè)置中需要首先設(shè)定一個(gè)軌道距離d0.本文中d0的具體設(shè)置如下:分別以小行星的標(biāo)稱軌道和6個(gè)軌道根數(shù)1?σ誤差處(均取加號(hào))對(duì)應(yīng)的軌道求其相對(duì)于太陽(yáng)的位矢,兩個(gè)位矢之差取模作為d0.同時(shí)計(jì)算了軌道根數(shù)最大誤差取減號(hào)時(shí)與標(biāo)稱軌道之間的位矢差作d0的情況,發(fā)現(xiàn)d0的變化并沒(méi)有對(duì)指數(shù)的演化結(jié)果產(chǎn)生本質(zhì)影響.

?為了避免軌道演化過(guò)程中軌道距離向量δ隨時(shí)間快速增長(zhǎng)以致溢出,需要在固定的時(shí)間間隔δT內(nèi)對(duì)其進(jìn)行正規(guī)化.δT越小,上述指標(biāo)在時(shí)間演化過(guò)程中的穩(wěn)定性越好[23].基于穩(wěn)定性以及計(jì)算效率的考慮,本文計(jì)算中設(shè)置了δT=3 yr.

圖1給出了在太陽(yáng)系主要?jiǎng)恿ο到y(tǒng)背景下1989 ML小行星的MLE、Y及〈Y〉隨時(shí)間的演化.由圖可知,1989 ML的MLE～10?2.4,對(duì)應(yīng)Lyapunov時(shí)間TL～251 yr,與文獻(xiàn)[24]中給出的TL=226.2 yr相當(dāng).圖1(c)中〈Y〉的斜率即對(duì)應(yīng)最大Lyapunov指數(shù)值,與圖(a)中的MLE值一致.

圖1 1989 ML標(biāo)稱軌道的最大Lyapunov指數(shù)、MEGNO指數(shù)Y 及平均MEGNO指數(shù)〈Y〉隨時(shí)間t的演化Fig.1 Time evolution of the maximal Lyapunov exponent,the MEGNO Y and the average MEGNO 〈Y〉of the nominal orbit of 1989 ML

圖2 Nereus標(biāo)稱軌道的最大Lyapunov指數(shù)、MEGNO指數(shù)Y 及平均MEGNO指數(shù)〈Y〉隨時(shí)間t的演化Fig.2 Time evolution of the maximal Lyapunov exponent,the MEGNO Y and the average MEGNO 〈Y〉of the nominal orbit of Nereus

用相同方法計(jì)算了Nereus的上述兩個(gè)穩(wěn)定性指標(biāo),發(fā)現(xiàn)在演化了10萬(wàn)年之后,MLE仍沒(méi)有收斂.這是由于此小行星的軌道極其不穩(wěn)定,其半長(zhǎng)徑相比初值已經(jīng)變化很多,從而導(dǎo)致其軌道在相空間中的位置不斷變化.這也說(shuō)明這兩種指標(biāo)在衡量天體穩(wěn)定性方面對(duì)N體運(yùn)動(dòng)(N >3)中極其混沌的軌道并不適用[23].我們只能從前1萬(wàn)年的演化中提取出一個(gè)MLE的近似值～10?1.25,對(duì)應(yīng)TL～18 yr.與其相比,文獻(xiàn)[24]中給出的TL=41.8 yr,文獻(xiàn)[25]中給出的TL=23 yr.這其中的差別一是由于Nereus的軌道極不穩(wěn)定,二是由于MLE這種穩(wěn)定性指標(biāo)只能作量級(jí)上的參考,具體的精確值并無(wú)意義[26].

3.2 運(yùn)動(dòng)的可能范圍區(qū)間

本小節(jié)通過(guò)統(tǒng)計(jì)1000個(gè)克隆粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡得到1989 ML與Nereus兩個(gè)小行星在10萬(wàn)年內(nèi)的可能運(yùn)動(dòng)范圍.

固定輸出間隔100 yr,在每個(gè)輸出時(shí)刻取所有克隆粒子各軌道根數(shù)的最大和最小值,得出小行星可能的運(yùn)動(dòng)范圍,如圖3和圖4所示.從中可以看出,小行星1989 ML在前后10萬(wàn)年內(nèi)a∈[1.25,1.3]au附近,e∈[0.1,0.21],i∈[0°,8°],軌道可能區(qū)間在其標(biāo)稱軌道附近.而小行星Nereus在前后10萬(wàn)年a∈[1,2.2]au范圍,已超出火星軌道到達(dá)主帶小行星區(qū)域;e∈[0.1,0.6],i∈[0°,10°],如此大的范圍也反映了其軌道極端混沌.

圖3 1989 ML在前后10萬(wàn)年(左圖)及[?3000,2000]年內(nèi)(右圖)的可能運(yùn)動(dòng)范圍Fig.3 Possible moving ranges of 1989 ML within 0.1 Myr forward and backward (the left panel) and within the time interval [?3000,2000] yr (the right panel)

圖4 Nereus在前后10萬(wàn)年(左圖)及500 yr內(nèi)(右圖)的可能運(yùn)動(dòng)范圍Fig.4 Possible moving ranges of Nereus within 0.1 Myr forward and backward (the left panel) and within 500 yr (the right panel)

圖5給出前后10萬(wàn)年內(nèi)兩個(gè)小行星的各1000個(gè)克隆粒子在a-e相空間內(nèi)的出現(xiàn)概率分布圖.圖像是這樣得出的:先根據(jù)小行星半長(zhǎng)徑和偏心率的可能范圍取固定的區(qū)間(對(duì)1989 ML,a∈[0.65,1.8]au,e∈[0.0,0.5];對(duì)Nereus,a∈[0.5,2.8]au,e∈[0.0,0.85]),將每個(gè)區(qū)間分成200等份,對(duì)所有200×200個(gè)2維區(qū)間,記錄落在每個(gè)區(qū)間輸出值的次數(shù).

由圖5(上)可以看出,1989 ML在a-e圖中的集中分布區(qū)域垂直于a軸,表明小行星1989 ML目前所處相空間起主導(dǎo)作用的為平運(yùn)動(dòng)共振.圖中用紅色虛線標(biāo)出了小行星的標(biāo)稱軌道與類地行星的主要平運(yùn)動(dòng)共振位置,分別為水星1:6、金星3:7、地球7:10和火星25:19.第3.4節(jié)還將對(duì)此做詳細(xì)的討論.與此相對(duì)應(yīng),圖5(下)中顯示的Nereus的a-e分布圖集中分布區(qū)域則沿著與地球軌道相交線的內(nèi)邊緣,這表明Nereus所處的相空間中,與地球的密近交匯及碰撞起到了主導(dǎo)作用[1],這與文獻(xiàn)[18]的結(jié)論是一致的.通過(guò)分布圖還可以看出近地小行星的克隆粒子在金星、地球和火星的特洛伊小行星、處于各平運(yùn)動(dòng)共振的小行星(圖中垂直于a軸的細(xì)長(zhǎng)區(qū)域)以及高偏心率的主帶小行星在這些區(qū)域均有出現(xiàn),說(shuō)明這些區(qū)域與近地小行星當(dāng)前的相空間都是高度聯(lián)通的,這也喻示了這些不同族群的小行星之間相互遷移轉(zhuǎn)化的可能性.

圖5 1989 ML (上圖)和Nereus (下圖)前后10萬(wàn)年內(nèi)在半長(zhǎng)徑-偏心率相空間中的分布圖.以100 yr為輸出時(shí)間間隔,圖中顏色表示lg(X +1),其中X為粒子落在某區(qū)域的次數(shù),+1是將次數(shù)為0的區(qū)域變?yōu)?,從而取對(duì)數(shù)時(shí)為0.圖中黑色實(shí)線劃出了與地球軌道相交的范圍,線上為可相交區(qū)域,黑色虛線為與火星軌道相交范圍.紅色實(shí)線為金星、地球、火星的軌道位置(從左向右),紅色虛線為行星的平運(yùn)動(dòng)共振位置,E 7:10為地球的外7:10共振,Ma 25:19為火星的內(nèi)25:19共振,V 3:7為金星的外3:7共振,Me 1:6為水星的外1:6共振,4個(gè)共振從上到下依次對(duì)應(yīng)從左向右的紅色虛線.紅色圓點(diǎn)代表小行星當(dāng)前位置.Fig.5 The distribution of 1989 ML (top) and Nereus (bottom) in the semi-major axis versus eccentricity phase space within 0.1 Myr forward and backward.Taking 100 years as the output time interval,the color in the figure represents lg(X +1),where X is the number of times a particle falls in a certain area,and+1 is to change the number of times 0 into 1,thus taking the logarithm as 0.In the figure,the black solid lines limit crossing areas with the orbit of Earth,above the line is the crossing area,and the black dotted line with the orbit of Mars.The red solid lines show locations of Venus,Earth and Mars (from left to right),and red dotted lines are mean motion resonance spots with planets,E 7:10 means outer 7:10 resonance of Earth,Ma 25:19 inner 25:19 of Mars,V 3:7 outer 3:7 of Venus,Me 1:6 outer 1:6 of Mercury,the four resonances from top to bottom correspond to the red dotted lines from left to right.The red dot represents current position of the Asteroids.

3.3 密近交匯與碰撞概率統(tǒng)計(jì)

本小節(jié)統(tǒng)計(jì)了1989 ML前后50萬(wàn)年內(nèi)和Nereus前后10萬(wàn)年內(nèi)與地球、月球、金星及火星的密近交匯及碰撞概率.

通過(guò)圖6可以看出,1989 ML在前后10萬(wàn)年內(nèi)與地球發(fā)生密近交匯的概率很小(<0.1%),前后10萬(wàn)年內(nèi)的密近交匯均是與火星發(fā)生的.而與地球的密近交匯在10萬(wàn)年后發(fā)生,并且隨著時(shí)間呈遞增趨勢(shì).在20萬(wàn)年之后還會(huì)發(fā)生與月球和金星的密近交匯,次數(shù)也是隨時(shí)間遞增的.通過(guò)對(duì)交匯最小距離的統(tǒng)計(jì)得知,50萬(wàn)年內(nèi)進(jìn)入地球和火星0.1個(gè)Hill半徑的次數(shù)相當(dāng),同時(shí)隨著最小距離的增加,交匯次數(shù)呈遞增趨勢(shì).

圖6 兩個(gè)小行星與4個(gè)類地行星的密近交匯次數(shù)統(tǒng)計(jì)圖.左圖為密近交匯時(shí)間落在等間距區(qū)間內(nèi)的次數(shù)統(tǒng)計(jì),右圖為密近交匯時(shí)的最近距離落在若干倍行星Hill半徑內(nèi)的次數(shù)統(tǒng)計(jì).Fig.6 The statistics of numbers of close encounters between the Asteroids and four terrestrial planets.The panels on the left show numbers of times of close encounters moment within equidistant interval,and the ones on the right show numbers of times for the nearest distances during close encounters locating in the range of several times of Hill radius of planets.

與第3.2節(jié)得出的結(jié)論相統(tǒng)一,由于Nereus處在地球碰撞主導(dǎo)的范圍內(nèi),所以從一開(kāi)始就與地球頻繁交匯,同時(shí)交匯次數(shù)隨時(shí)間呈遞減關(guān)系.向前10萬(wàn)年內(nèi)與地球的交匯次數(shù)也是隨時(shí)間遞減的.由此可知,Nereus目前正處在與地球最“密切”的階段.相對(duì)而言,與月球和火星的交匯次數(shù)相當(dāng),與金星也有交匯,次數(shù)較少.同時(shí),統(tǒng)計(jì)中向后10萬(wàn)年內(nèi)

他們性格迥然，愛(ài)好有別，但對(duì)市場(chǎng)、生存、競(jìng)爭(zhēng)天生敏感，絕不含糊。他們能夠忍受：高強(qiáng)度工作、長(zhǎng)時(shí)間壓力、不確定風(fēng)險(xiǎn)。

還有3次與Vesta交匯,向前10萬(wàn)年內(nèi)與Vesta交匯4次,與Ceres交匯2次.

表4和表5給出了兩個(gè)小行星與各大行星在向后一段時(shí)間內(nèi)的碰撞次數(shù)及概率.可以看出,1989 ML一直到50萬(wàn)年與各大行星的碰撞概率都很小;而Nereus在10萬(wàn)年內(nèi)的碰撞均是與地球發(fā)生的,這也與圖5中它在a-e相空間中的輪廓分布相一致.

表4 1989 ML在10萬(wàn)年及50萬(wàn)年內(nèi)與各大行星的碰撞次數(shù)及概率統(tǒng)計(jì)Table 4 Number of times and probability statistics of collisions between 1989 ML and planets within 0.1 Myr and 0.5 Myr

表5 Nereus在10萬(wàn)年內(nèi)與各大行星的碰撞次數(shù)及概率統(tǒng)計(jì)Table 5 Number of times and probability statistics of collisions between Nereus and planets within 0.1 Myr

3.4 共振分析

影響近地小行星的共振主要包括長(zhǎng)期共振、Kozai共振及與類地行星的平運(yùn)動(dòng)共振.長(zhǎng)期共振主要作用是激發(fā)小行星的軌道偏心率或軌道傾角,是軌道不穩(wěn)定的一個(gè)因素.而Kozai共振,即近點(diǎn)角距被鎖定在某個(gè)固定值時(shí)(低傾角時(shí)在0或180°,高傾角時(shí)在90°或270°[27],或者說(shuō),低傾角時(shí)軌道近心點(diǎn)一直在軌道升交點(diǎn)或降交點(diǎn)附近,而高傾角時(shí)軌道近心點(diǎn)一直在軌道升交點(diǎn)和降交點(diǎn)中間的兩點(diǎn)附近),小行星在近心點(diǎn)或遠(yuǎn)心點(diǎn)時(shí)穿過(guò)黃道面(即近點(diǎn)角距為0或180°),而其近心點(diǎn)或遠(yuǎn)心點(diǎn)離1 au較遠(yuǎn),所以可以很好地避開(kāi)與地球的密近交匯,從而保持穩(wěn)定.相類似地,平運(yùn)動(dòng)共振也可使小行星避開(kāi)密近交匯,從而增加某個(gè)軌道的穩(wěn)定時(shí)間.

圖7和圖8給出了1989 ML的標(biāo)稱軌道在向前向后演化3 Myr的過(guò)程中受到各種共振的影響.由圖中看出,小行星1989 ML在所展示的時(shí)間段內(nèi)與地球、火星和土星均有長(zhǎng)期共振的作用.同時(shí)在向后的演化中,小行星的密近交匯較向前演化明顯少了很多,主要?dú)w因于平運(yùn)動(dòng)共振,包括火星25:19、地球7:10、金星3:7和水星1:6位置.其中與地球的7:10共振發(fā)生的時(shí)間持續(xù)最長(zhǎng),對(duì)于穩(wěn)定軌道起了主要作用.

圖7 1989 ML標(biāo)稱軌道向前向后演化3 Myr過(guò)程中半長(zhǎng)徑、偏心率、軌道傾角及與地球、火星、木星的長(zhǎng)期共振角隨時(shí)間的演化.從上到下縱坐標(biāo)依次為半長(zhǎng)徑、偏心率、軌道傾角、與火星、地球、土星的ω長(zhǎng)期共振以及與火星、地球的?長(zhǎng)期共振,共振角表達(dá)式分別為?ωM= ω?ωM、?ωE= ω?ωE、?ωS= ω?ωS、??M=???M、??E=???E,其中ω、ωM、ωE、ωS分別為小行星、火星、地球和土星的近點(diǎn)角距,?、?M、?E分別為小行星、火星、地球的升交點(diǎn)經(jīng)度.圖中灰色豎線表示在對(duì)應(yīng)時(shí)刻發(fā)生的密近交匯,黑色豎線表示發(fā)生密近交匯時(shí)與主天體的最小距離小于0.001 au.Rad mod 2π表示對(duì)2π取模.Fig.7 The time evolution of semi-major axis,eccentricity,orbital inclination of the nominal orbit of 1989 ML and its secular resonance angles with Earth,Mars and Jupiter in the process of 3 Myr forward and backward.From top to bottom Y-axes are semi-major axis,eccentricity,orbital inclination,ω secular resonance with Mars,Earth,Saturn,as well as ? secular resonance with Mars and Earth,the resonant arguments are ?ωM= ω?ωM,?ωE= ω?ωE,?ωS= ω?ωS,??M=???M,??E=???E respectively.Here,ω,ωM,ωE,ωS are the arguments of periastron of asteroid,Mars,Earth and Saturn,?,?M,?E are longitudes of ascending node of asteroid,Mars and Earth,respectively.In the figure,the grey vertical line indicates close encounters occurring at the corresponding time,and the black vertical line indicates that the minimum distance from the main body during the close encounter is less than 0.001 au.Rad mod 2π denotes modulo 2π.

圖8 1989 ML標(biāo)稱軌道向后演化3 Myr過(guò)程中半長(zhǎng)徑、偏心率、軌道傾角、近點(diǎn)角距及與類地行星的4個(gè)平運(yùn)動(dòng)共振角隨時(shí)間的演化,從上到下依次為火星5:4、地球7:10、金星3:7、水星1:6.圖中灰色豎線表示在對(duì)應(yīng)時(shí)刻發(fā)生的密近交匯,黑色豎線表示發(fā)生的密近交匯的最小距離小于主天體的0.001 au.Fig.8 The evolution of semi-major axis,eccentricity,orbital inclination,argument of pericentre of the nominal orbit of 1989 ML and its Mean Motion Resonance critic angles with the terrestrial planets versus time in the process of 3 Myr forward.From top to bottom:5:4 with Mars,7:10 with Earth,3:7 with Venus,and 1:6 with Mercury.In the figure,the grey vertical line indicates close encounters occurring at the corresponding time,and the black vertical line indicates that the minimum distance from the main body during the close encounter is less than 0.001 au.

Nereus的標(biāo)稱軌道向前向后演化3 Myr的過(guò)程中,其受到的各種共振作用如圖9和圖10所示.Nereus的演化中發(fā)生密近交匯的頻率較大,但有兩個(gè)時(shí)間段很穩(wěn)定,沒(méi)有任何的密近交匯,分別是0.7–1.2 Myr和1.5–2.8 Myr.而這兩個(gè)時(shí)間段分別對(duì)應(yīng)地球的11:14平運(yùn)動(dòng)共振和Kozai共振(圖10中從上到下第6、4圖),說(shuō)明了這兩種共振對(duì)小天體的保護(hù)作用.值得注意的是,文獻(xiàn)[18]中選取的Nereus的5個(gè)克隆粒子的演化過(guò)程中也出現(xiàn)了以上兩個(gè)共振的作用.同時(shí)小天體還受到地球、火星和土星較明顯的長(zhǎng)期共振作用.

圖9 Nereus標(biāo)稱軌道向前向后演化3 Myr過(guò)程中半長(zhǎng)徑、偏心率、軌道傾角、近點(diǎn)角距、升交點(diǎn)經(jīng)度及與火星、地球、土星的ω長(zhǎng)期共振角(按從上到下的順序?ωM= ω?ωM,?ωE= ω?ωE,?ωS= ω?ωS,其中ω、ωM、ωE、ωS分別為小行星、火星、地球和土星的近點(diǎn)角距)隨時(shí)間的演化.圖中灰色豎線表示在對(duì)應(yīng)時(shí)刻發(fā)生的密近交匯,黑色豎線表示發(fā)生的密近交匯的最小距離小于主天體的0.001 au.Fig.9 The evolution of semi-major axis,eccentricity,orbital inclination,argument of pericentre,longitude of ascending node of the nominal orbit of Nereus,as well as its secular resonance angles with Mars,Earth and Jupiter versus time in the process of 3 Myr simulation forward and backward (from top to bottom are ?ωM= ω?ωM,?ωE= ω?ωE,?ωS= ω?ωS.Here,ω,ωM,ωE,ωS are the arguments of periastron of asteroid,Mars,Earth and Saturn.).In the figure,the grey vertical line indicates close encounters occurring at the corresponding time,and the black vertical line indicates that the minimum distance from the main body during close encounter is less than 0.001 au.

圖10 Nereus標(biāo)稱軌道向后演化3 Myr過(guò)程中半長(zhǎng)徑、偏心率、軌道傾角、近點(diǎn)角距及與類地行星的4個(gè)共振角(從上到下依次為火星3:2、地球11:14、地球7:10、金星1:2)隨時(shí)間的演化.圖中灰色豎線表示在對(duì)應(yīng)時(shí)刻發(fā)生的密近交匯,黑色豎線表示發(fā)生的密近交匯的最小距離小于主天體的0.001 au.Fig.10 The evolution of nominal orbit of Nereus with time for backward within 3 Myr,including semi-major axis,eccentricity,orbital inclination,argument of pericentre and four resonance angles with the terrestrial planets (from top to bottom:Mars 3:2,Earth 11:14,Earth 7:10,Venus 1:2).In the figure,the grey vertical line indicates close encounters occurring at the corresponding time,and the black vertical line indicates that the minimum distance from the main body during the close encounter is less than 0.001 au.

4 結(jié)論

近地小行星(10302) 1989 ML與(4660) Nereus是下一代小行星探測(cè)項(xiàng)目的重要候選體.本文從動(dòng)力學(xué)方面研究了這兩個(gè)小行星的軌道特征及演化可能性.首先,結(jié)合N體運(yùn)動(dòng)方程、軌道距離變分方程和MEGNO指數(shù)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)方程,通過(guò)積分給出了最大Lyapunov指數(shù)與MEGNO指數(shù),從而計(jì)算出1989 ML和Nereus的Lyapunov時(shí)間分別為251 yr和18 yr.其次,通過(guò)對(duì)1000個(gè)克隆粒子的統(tǒng)計(jì),給出了小行星在10萬(wàn)年內(nèi)各軌道根數(shù)可能的運(yùn)動(dòng)范圍,顯示了小行星在半長(zhǎng)徑-偏心率相空間中的出現(xiàn)次數(shù)分布圖,同時(shí)對(duì)50萬(wàn)年內(nèi)1989 ML小行星(10萬(wàn)年內(nèi)Nereus小行星)與大行星的密近交匯及碰撞次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析.最后,針對(duì)標(biāo)稱軌道,分析了前后3 Myr內(nèi)不同時(shí)間段所受的各種共振及具體影響.

由于本文中所用力模型較粗糙,并沒(méi)有考慮譬如相對(duì)論效應(yīng)、非球形引力及太陽(yáng)光壓、Yarkovsky效應(yīng)等非引力效應(yīng),所考慮的引力效應(yīng)中僅包含4個(gè)最大的小行星,沒(méi)有考慮更多小行星的影響,所以只能基于統(tǒng)計(jì)做定性分析,并未涉及定量的短期軌道預(yù)測(cè).基于歷表的高精度短期軌道計(jì)算及小行星所需力模型的討論分析,應(yīng)是下一步工作的方向之一.

附錄

本文利用N體運(yùn)動(dòng)方程、軌道距離變分方程及MEGNO指數(shù)的兩個(gè)方程來(lái)計(jì)算MLE及MEGNO指數(shù).N體運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式如下:

或者將右面兩項(xiàng)合并,也可寫作

其中M?、mq分別表示中心天體(此處為太陽(yáng))和第q個(gè)天體的質(zhì)量,r0、rq分別為中心天體和第q個(gè)天體相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心的位矢.為簡(jiǎn)便起見(jiàn),以下推導(dǎo)均用(2)式.

該表達(dá)式表示成一階微分方程組的形式如下:

此方程組也可表示為以下向量形式:

在此基礎(chǔ)上利用以下公式來(lái)計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)L、MEGNO指數(shù)Y及平均MEGNO指數(shù)〈Y〉,

‖·‖表示對(duì)其中向量求范數(shù),計(jì)算時(shí)可用向量的模這一特殊范數(shù)代替.式中參數(shù)由以下微分方程組來(lái)計(jì)算:

其中δ為6N維向量,表示相鄰軌道間距或軌道發(fā)散指標(biāo),A為函數(shù)向量f對(duì)變量向量X的6N×6N維雅克比矩陣,具體表達(dá)式如下:

其中

將A的表達(dá)式代入關(guān)于δ的微分方程組((8)式),可得

此處6N個(gè)微分方程組與(2)式中的6N個(gè)微分方程組結(jié)合,計(jì)算103–104倍的系統(tǒng)特征周期(可看作系統(tǒng)中最外面大天體的軌道周期),即可得到可靠的MEGNO指數(shù)[23].