鄧明香 馮永平

（廣州大學數(shù)學與信息科學學院 廣東廣州 510006）

一、引入

義務教育階段一般所接觸到的函數(shù)為初等函數(shù)，其表示式是自變量的某個確定或明顯的解析表達式，或是通過圖表定義的函數(shù)表達式，但在數(shù)學分析、高等數(shù)學課程中接觸到的函數(shù)或在學習或實際問題中討論的主要是另外一種形式的函數(shù)，其自變量和因變量之間的對應法則是通過一個方程式（或方程組）所確定，這樣通過某一特定的方程（方程組）而沒有明顯解析式的函數(shù)稱其為隱函數(shù)。單變量函數(shù)、多變量函數(shù)的隱函數(shù)在分析函數(shù)極限、微積分學、函數(shù)極值、函數(shù)最值、平面曲線的切線與法線、空間曲面的切平面與法線、各類微分方程解的存在唯一性等方面均有廣泛的應用。在所有討論問題中，通過某一特定方程能否確定一個唯一的隱函數(shù)是其應用的基石，各類分析類教材、教學參考書中對隱函數(shù)存在唯一性定理均有詳細的表述與證明，參見[1-4]。但這些教材、教學參考書中的證明過程表述得不夠系統(tǒng)，層次關系不夠清晰，多數(shù)教師講授本節(jié)內(nèi)容時只能講述證明的基本思路及數(shù)學思想，由于抽象、晦澀、過程復雜性大多數(shù)學生很難理解并完整寫出其證明過程。如何通過通俗、類別的方法讓同學們理解該定理的證明一直是數(shù)學分析、高等數(shù)學類課程教師探索與研究的課題。

高校思想政治工作關系高校培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人以及為誰培養(yǎng)人這個根本問題。要堅持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面。要把立德樹人融入教育各環(huán)節(jié)，貫穿基礎教育、職業(yè)教育、高等教育各領域[5]。2017年5月，“課程思政”被納入中央《關于深化教育體制機制改革的意見》，從地方實踐探索轉化為國家戰(zhàn)略部署[6]。2019年7月，“廣東省教育廳關于強化課程思政建設一流課程的意見（粵教高【2019】7號）”為廣東省高校課程思政建設擬定了指導性文件。青少年教育最重要的是教給他們正確的思想，引導他們走正路。思政課是落實立德樹人根本任務的關鍵課程，思政課作用不可替代，思政課教師隊伍責任重大[7]。鑒于培養(yǎng)新時代人才的重要性，從中央、教育部、各省教育廳到各級各類學校對在高等學校教學中進行課程思政教學，在專業(yè)課程教學中加入課程思政元素，都進行了相應的部署與要求，各級各類學校和專業(yè)也都進行了深入的探討與研究，這也與國家新時代“立德樹人”的高等學校人才培養(yǎng)目標高度吻合。經(jīng)過多年的數(shù)學分析、高等數(shù)學教學與探索，結合專業(yè)課程思政教學資源，本文在隱函數(shù)存在唯一性定理證明中運用課程思政的觀點探討了引領式證明，希望對該定理的教學與實踐有一定的指導與借鑒意義。

二、定理內(nèi)容及思政證明探索

3.證明以上函數(shù)為連續(xù)的。

定理證明的關鍵在于“找區(qū)間”和“證明函數(shù)的存在性”，其中“找區(qū)間”“函數(shù)存在性”關鍵都在于“存在性”，通過某些方式將存在的對象找出來?？茖W發(fā)展中“發(fā)現(xiàn)問題”是最重要的，如何將已“存在的”對象發(fā)現(xiàn)、表示出來是每一個科技發(fā)展中最關鍵的一個環(huán)節(jié)。只有發(fā)現(xiàn)問題，才能進一步“分析問題”“解決問題”。

注2：這里包含了“執(zhí)果索因”的數(shù)學研究方法，有以下三個數(shù)學思想：

（1）目標是要構造一個函數(shù)，但函數(shù)不一定有明顯的解析式，只能利用函數(shù)的定義去證明函數(shù)的存在性；

（2）這里也包含了一種思想，“萬變不離其宗”，不論如何設定，用概念、定義證明是最基本的方法；

（3）當研究對象有多個變化因素是，通常研究方法是“抓住主要因素，忽略次要因素”，這里將兩個變化因素中其中一個固定，分析對象所具有的特點；

注3：轉化的思想，化“未知為已知”“化復雜為簡單”，利用連續(xù)函數(shù)的介值性定理將證明函數(shù)存在性問題轉化為單變量函數(shù)是不是存在零點的問題，多維度、多角度思考問題，可能找到解決問題的突破口。當研究某問題遇到困難時，要有“求異思維”“變通思維”，初心是將復雜問題簡單化，抽象問題具體化，一般問題特殊化[4，5]；

注4：存在性證明，存在性一般使用構造性證明，存在的不一定能夠用明顯的解析形式表示，存在的形式是多種多樣的。本問題將函數(shù)存在性證明轉化為連續(xù)函數(shù)的零點存在性問題，比起函數(shù)的存在性，證明零點存在性是相對容易、方法相對多的問題；在這步證明中用到了由點到面、由局部到整體的思想，由于是在一個任意點處的存在性證明，而得到了一個區(qū)域內(nèi)的存在性證明。

圖1 隱函數(shù)存在唯一性證明圖示

注5：連續(xù)性的證明，由于該函數(shù)沒有明顯的解析式，用傳統(tǒng)的連續(xù)性證明有比較大的困難，這是要回歸本源，利用逆向思維及連續(xù)性的概念，給出連續(xù)性證明，仍然用到了由點到面的思想及“追本溯源”的思想；當沒有明顯解析式時，傳統(tǒng)的方法都是失效的，沒有直接的方法時，要利用變向思維、發(fā)散思維、異向思維解決問題，這也是常用的數(shù)學思想方法及解決復雜問題的思考模式。幾何圖形的輔助設計，可以直觀看到相關的證明過程，由“抽象到具體”，借助幾何直觀在解決數(shù)學類問題時也是常用的一種技巧。

用同樣的方法可以證明多元函數(shù)的隱函數(shù)存在唯一性定理，全微分存在定理[6-8]。

三、結束語

隱函數(shù)存在唯一性定理是數(shù)學分析、高等數(shù)學中一個非常重要的內(nèi)容，在分析函數(shù)性質方面有廣泛的應用。如何通過構造函數(shù)證明存在性有一定的技巧，熟能生巧，只有經(jīng)過大量的訓練、結束語問題類型及發(fā)現(xiàn)、歸納構造的模式，才能以不變應萬變。在專業(yè)課程教學中隱性融入思政元素，既能讓學生更快速、更通俗地學習新知識，又能在學習中通過“潤物細無聲”的方式受到社會主義核心價值觀教育，樹立正確的“人生觀、世界觀、發(fā)展觀”三觀教育。在數(shù)學課程教學中，思政元素一般是通過傳揚優(yōu)秀數(shù)學文化、歌頌優(yōu)秀數(shù)學家經(jīng)典故事、講述研究對象中包含的數(shù)學思想方法和科學方法論等這些形式展開。但如何隱性融入，如何找到恰當?shù)摹皵?shù)學思政元素”，如何傳揚中國優(yōu)秀數(shù)學文化，還需要經(jīng)過大量的探索與實踐，這些探索一方面與所講授的課程內(nèi)容也有直接的關系，這是根本，也是教育之本；另一方面與思政教育素材的準備、隱形嵌入也有關系，這是教育的方式與方法。在本定理證明過程中包涵了許多豐富的數(shù)學思想方法，諸如逆向思維、異向思維、發(fā)散思維、局部與整體、執(zhí)果索因等多種數(shù)學思維方法與科學方法論。本定理證明中的課程思政教學模式，可以推廣到大多數(shù)難度較大定理的證明及綜合性計算的數(shù)學問題。