栗世豪,張俊,唐宇陽,尹佳,趙萬華

(西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室,710049,西安)

零件的加工精度受多重因素影響,例如機床零部件在制造過程中產(chǎn)生的幾何誤差、溫度變化產(chǎn)生的機床熱變形誤差、各運動軸傳動過程中產(chǎn)生的跟隨誤差、零件殘余應力釋放導致的變形誤差等。在眾多因素中,機床幾何誤差是一種重要的誤差源,在其影響下,刀具會偏離理想的運動軌跡,在工件上產(chǎn)生各種誤差項。

為了提高零件精度,國內(nèi)外眾多學者從機床幾何誤差入手,進行了大量研究。文獻[1]根據(jù)多體系統(tǒng)運動學理論,利用齊次坐標變換方法,實現(xiàn)了多軸機床幾何誤差建模,并根據(jù)建模結(jié)果進行刀位點補償;文獻[2-3]分別利用螺旋理論和指數(shù)積理論,建立起多軸機床幾何模型關(guān)系,這兩種方法不必建立大量的中間矩陣,減小了機床幾何誤差建模的復雜度。文獻[4]對鏜銑床進行幾何誤差建模,并考慮了刀具位置誤差以及姿態(tài)誤差對加工曲面的影響,較為全面地介紹了機床幾何誤差與零件誤差的建模方法。文獻[5]建立了輪廓面法向矢量誤差預測模型,并利用S試件進行了驗證。文獻[6]考慮了刀具懸長的影響進行機床幾何誤差建模,實現(xiàn)了線性加工軌跡以及圓形加工軌跡的誤差補償。

目前,針對機床幾何誤差的研究大多停留在建模[7-11]、補償[12-17]這一步,并未探討機床幾何誤差與零件精度的關(guān)系。少數(shù)學者在探究機床幾何誤差與零件精度關(guān)系時,也未考慮加工路徑以及刀軸矢量偏差對零件誤差面的影響[18]。此外,在幾何誤差數(shù)據(jù)的獲取上,雖然有基于激光干涉儀開發(fā)的“九線法”[19]和“十二線法”[20],但激光干涉儀光路調(diào)整十分耗時,而激光跟蹤儀中角度編碼器也存在誤差[21],如何便捷地獲取21項誤差數(shù)據(jù)也亟待解決。

針對以上問題,本文以實現(xiàn)機床幾何誤差與零件誤差建模為目的,首先建立三軸機床幾何誤差模型,推導刀尖點位置誤差與刀軸矢量誤差公式。然后利用激光跟蹤儀單站分次測量并開發(fā)出分離算法獲取機床21項誤差數(shù)據(jù)。最后針對尺寸誤差、形狀誤差和位置誤差,分別選取凸臺寬度、平面度和孔軸線位置度為研究對象,建立起機床幾何誤差與零件誤差之間的映射關(guān)系,通過切削實驗驗證了映射關(guān)系的準確性。

1 機床幾何誤差建模與誤差數(shù)據(jù)獲取

1.1 三軸機床幾何誤差建模

三軸機床的組合形式多種多樣,無論是哪種組合形式,均可根據(jù)多體系統(tǒng)運動學理論[22]進行建模,一般多體系統(tǒng)拓撲簡圖如圖1所示。

圖1 一般多體系統(tǒng)拓撲簡圖Fig.1 Topological diagram of general multi-body system

設慣性參考系R為A0體,然后任選一體為A1體,朝著遠離A1的方向,按自然數(shù)列為各個體命名編號。設L為低序體算子,j為各運動體,i為j的相鄰低序體,k為各運動體階次,定義

(1)

例如個體5的一階低序體為1,二階低序體為0。當體與體之間只移動x時,其理想變換矩陣為

(2)

移動x引入6項誤差,如圖2所示,同時引入誤差變換矩陣ΔTij,基于小位移小角度假設,利用等價無窮小代換,將sinx≈x,cosx≈1,此外,將二次以上的高階項略去,可得

ΔTij=Tij(Δαij)Tij(Δβij)Tij(Δγij)Tij(Δxij)·

(3)

圖2 移動x時6項誤差Fig.2 Six errors when moving x

對于一個多體系統(tǒng),我們關(guān)心的往往是拓撲鏈末端相對于拓撲鏈首端的位置變化和姿態(tài)變化,設空間點在子坐標系Sj中的齊次坐標為Pj[pxj,pyj,pzj,1]T,其在任意子坐標系Sk中含有誤差的齊次坐標形式Pkr為

(4)

在任意子坐標系Sk中,理想齊次坐標形式Pk為

(5)

設空間矢量在子坐標系中Sj的齊次投影為Uj[uxj,uyj,uzj,0]T,其在任意子坐標系Sk中含有誤差的齊次坐標Ukr為

(6)

在任意子坐標系Sk中,理想齊次坐標Uk為

(7)

將一般多體系統(tǒng)理論應用于三軸機床,可得到圖3的幾何誤差建模流程。

圖3 三軸機床幾何誤差建模流程Fig.3 Geometric error modeling process of three-axis machine tool

刀尖點P在工件坐標系中的實際位置與理想位置的偏差為

(8)

刀具矢量U在工件坐標系中實際姿態(tài)與理想姿態(tài)的偏差為

(9)

式中:P和U分別是理想刀尖點位置和刀軸矢量,可按照式(5)和式(7)計算,Pr和Ur為實際刀尖點位和刀軸矢量,可按照式(4)和式(6)計算。

以圖4的三軸機床為例,按照圖3的流程進行刀尖點誤差建模。圖5為三軸機床拓撲圖,表1為三軸機床的低序體陣列表。拓撲結(jié)構(gòu)中個體的數(shù)量可根據(jù)研究的問題進行選擇,本文選取了7個體進行研究。

圖4 三軸機床模型圖Fig.4 Model of three-axis machine tool

圖5 三軸機床拓撲圖Fig.5 Topological diagram of three-axis machine tool

將表1中的數(shù)值代入式(8)和式(9),可以得到

EP=[T71ΔT71]-1·

[T12ΔT12T23ΔT23T34ΔT34T45ΔT45T56]Pt-

[T71]-1[T12T23T34T45T56]Pt

(10)

EU=[T71ΔT71]-1·

[T12ΔT12T23ΔT23T34ΔT34T45ΔT45T56]Ut-

[T71]-1[T12T23T34T45T56]Ut

(11)

[T71ΔT71]-1[T12ΔT12T23ΔT23T34ΔT34T45ΔT45T56]

(12)

式(10)和(11)中,Pt為初始點位[0,0,0,1]T,Ut為初始刀軸矢量[0,0,1,0]T。

表1 三軸機床低序體陣列表Table 1 Low-order body array of three-axis machine tool

工件7與床身1、主軸5和Z軸4之間裝配很好,且不進行相對運動,因此可以認為它們之間的變換矩陣為單位陣I;有相對運動的X軸2與床身1、Y軸3與X軸2、Z軸4和Y軸3之間需要明確誤差項及正方向,三軸機床有21項誤差,分別為X軸6項δxx、δyx、δzx、εxx、εyx、εzx;Y軸6項δyy、δxy、δzy、εxy、εyy、εzy;Z軸6項δzz、δxz、δyz、εxz、εyz、εzz;X、Y、Z軸之間的垂直度誤差3項Sxy、Syz、Sxz。圖6以X軸為例介紹了該軸的6項誤差,線性誤差δ系列的正方向與機床坐標系一致,由右手定則確定,角度誤差ε系列以及垂直度誤差的正方向如圖7所示。

圖6 X軸6項誤差示意圖Fig.6 Six errors of X-axis

圖7 角度誤差和垂直度誤差方向Fig.7 Direction of angel error and perpendicularity error

將誤差項代入變換矩陣,便可得到3個軸變換矩陣T12ΔT12、T23ΔT23、T34ΔT34,此外主軸5與刀具6之間也會引入矩陣T56,該矩陣涉及刀具懸長引起的誤差,具體值如下

(13)

(14)

(15)

(16)

將式(13)～(16)代入式(10)(11),再將二次以上的高階項略去,只保留一次項,可以得到刀尖點位置偏差EP與刀軸姿態(tài)偏差方程EU。

刀尖點誤差EP為

(17)

刀軸矢量偏差EU為

(18)

1.2 幾何誤差數(shù)據(jù)獲取

1.2.1 直線軸幾何誤差辨識算法 本文采用激光跟蹤儀單站多次測量的方法進行辨識,測量流程如圖8和圖9所示。

圖8 單基站多次測量過程Fig.8 Multiple measurement process of single base

圖9 機床運動軌跡示意圖Fig.9 Schematic diagram of machine tool moving route

將基站置于不同位置,對于激光跟蹤儀讀取的數(shù)據(jù)只取基站到各測量軌跡點的距離值Lij,當不受直線軸幾何誤差影響時,設基站的位置為Tj(xtj,ytj,ztj),測量點為Pi(xi,yi,zi)。根據(jù)兩點距離公式,基站與反射鏡之間的距離Lji可表示為

(19)

根據(jù)最小二乘法可計算式(19)中基站的理想位置,該過程在MATLAB中用lsqnonlin函數(shù)求解。在實際測量過程中,由于機床直線軸幾何誤差的影響,Pi即各測量點的實際坐標與理想坐標存在空間誤差(Δxi,Δyi,Δzi),不同的基站位置Tj的坐標與實際坐標存在位置偏差(Δxtj,Δytj,Δztj),可將式(19)修正為

Rji=((xij+Δxij-xi+Δxi)2+(yij+Δyij-
yi-Δyi)2+(zij+Δzij-zi-Δzi)2)1/2-Lji=0

(20)

式中:Δxtj、Δytj、Δztj為基站位置偏差,是3個未知量;Δxi、Δyi、Δzi為直線軸移動引入的誤差,由式(17)代入,是機床21項誤差的線性組合。

對Rji進行麥克勞林展開,變?yōu)榫€性方程組

-Rji(0)-Oji

(21)

對于第j次測量的N個點來說,每個點xi、yi、zi都可以列出方程式(21),都含有3個基站的位置誤差和21項幾何誤差。設縮減未知數(shù)后設方程系數(shù)陣為A,未知數(shù)矩陣為E,[-Rji(0)-Oji]為B,并設定相應的邊界條件,即所有誤差項原點處誤差值為0,則有

AE=B;CE=0

(22)

綜合以上考慮,式(22)變?yōu)?/p>

(23)

式(23)可以利用矩陣的廣義逆求解

(24)

1.2.2 幾何誤差測量結(jié)果 按照1.2.1節(jié)的算法,采用FARO激光跟蹤儀(型號為ION),測量并分離機床X、Y、Z3個直線軸的21項幾何誤差,測量行程分別為500、450和400 mm,采樣點數(shù)為11。直線軸的運動路徑如圖10所示,激光跟蹤儀分別在6個基站位置測量機床運動路徑中各測量點與基站之間的相對距離。實驗現(xiàn)場如圖11所示,在測量各點距離之前需要測量反射鏡相對主軸末端的位置L[lx,ly,lz],軌跡原點在機床坐標系的坐標為(-500.1,450.1,400.1) mm。

圖10 機床測量軌跡Fig.10 Measurement route of machine tool

圖11 激光跟蹤儀測量現(xiàn)場Fig.11 Measurement of laser tracker

對18項位置誤差進行多項式擬合,其中δxx、δyy、δzz用一次多項式y(tǒng)=ax+b擬合,其余均用三次多項式y(tǒng)=ax3+bx2+cx+d擬合,擬合系數(shù)如表2所示。3個垂直度誤差Sxy為2.43×105rad,Syz為1.89×104rad,Sxz為2.06×105rad。

表2 18項誤差擬合系數(shù)表Table 2 Fitting coefficient of 18 errors

2 零件加工誤差預測模型及驗證

2.1 尺寸誤差

以圖12所示的凸臺寬度尺寸d為對象,假設凸臺右端面為x=x1,左端面為x=x2,將左右端面沿y方向離散為n個位置,根據(jù)式(17)成對計算y0到y(tǒng)n等n個位置的誤差Δx,然后相減即可得到不同y值處的凸臺寬度d尺寸誤差如下

(25)

式中:dr為實際值;Δd為某一y處的尺寸誤差。

圖12 凸臺特征加工示意圖Fig.12 Schematic diagram of parts machining

2.2 形狀誤差

形狀誤差的預測選取了“之”字形平面銑削的平面度來進行預測,首先將加工軌跡離散化。圖13為加工軌跡和軌跡離散化示意圖。注意離散化的刀具中心軌跡點的x值和y值距離工件邊界處都要大于刀具半徑r,這樣可以保證刀具中心在經(jīng)過這些點時,刀具底面始終與工件表面接觸,不會出現(xiàn)刀具懸空的狀態(tài)。圖中藍色虛線區(qū)域表示刀具中心點所在的區(qū)域。

圖13 “之”字型加工軌跡與軌跡離散化Fig.13 Zigzag milling and discretization of route

將每個位置處的刀具圓周離散為集合C,設刀具中心離散化后坐標為(xi,yi,zi),刀具半徑為r,則有

C=(xi+rcosαk,yi+rcosαk,zi)|αk=

(26)

(27)

集合C′中的點含有幾何誤差,是刀具圓周上的點,雖然刀具與工件接觸形成加工面,但并非所有C′中的點都構(gòu)成了加工平面,需要進行篩選。將C′中屬于工件表面上的點存入集合D中,對于“之”字形軌跡存取原則如圖14所示。奇數(shù)線上存取右上1/4圓上的點,偶數(shù)線上存取左下1/4圓上的點,最終構(gòu)成集合D。存取原則確定后,點的篩選可在刀具圓周離散化過程中同時進行,如要只選取右上1/4圓上的點,將離散范圍變?yōu)閇0,π/2]即可。

圖14 點存取原則Fig.14 Principle of pointing selecting

集合D中的點已被保證都隸屬于加工表面,利用最小二乘法對平面度進行預測。以實際被測表面的最小二乘平面作為評定基準面,以平行于最小二乘平面,且具有最小距離的兩包容平面間的距離作為平面度誤差值Ed。設基準平面為z=ax+by+c,則Ed可表示為

(28)

2.3 位置誤差

(29)

則Q可以表示為

(30)

圖15 孔軸線位置度建模Fig.15 Modeling of position error of hole axis

只要將P3P4點的z值代入式(30),求出λ,便可求出P3P4點帶有誤差橫縱坐標,將其與P1和P2作對比,可得到上下孔面的坐標偏差Δxup、Δyup、Δxdown、Δydown。但是,由于誤差空間的存在,刀具在切削的每個位置都會存在位置和姿態(tài)的變化,如圖16所示。因此,將刀具參與切削的那段z值離散為n個點,對這n個位置重復計算后取平均值即可,但要注意有些位置處只影響上孔面,不影響下孔面,例如圖16中藍色位置處的刀具只影響上孔面,而不影響下孔面。

圖16 不同位置的刀具姿態(tài)對誤差面的影響Fig.16 Influence of tool posture in different position

2.4 實驗驗證

實驗件選用3個90 mm×110 mm×150 mm的鋁合金試件,x方向上為90 mm,以試件表面中心為加工原點。3個實驗件的加工參數(shù)如表3所示,加工和測量如圖17所示。

(a)凸臺加工

(b)凸臺測量

(c)平面加工

(d)平面測量

(e)孔加工

(f)孔測量圖17 不同特征實驗加工與測量Fig.17 Machining and measurement of different feature

表3 不同特征加工參數(shù)表Table 3 Machining parameters of different feature

凸臺兩側(cè)均加工,每次切1 mm,共計10 mm。其工件坐標系原點在機床坐標系下的位置為(-184.698,-276.433,-264.530) mm,加工現(xiàn)場與測量現(xiàn)場如圖17a和17b所示。檢測時用三坐標儀檢測切深5 mm處,y從50到5 mm處的凸臺寬度為d,測量間隔為1 mm,共計11個位置。理論計算時,將各處的誤差值代入式(25)中,檢測結(jié)果與理論計算結(jié)果對比如圖18所示,由圖可知,兩者誤差均在5 μm之內(nèi),預測模型較為準確。

圖18 凸臺寬度檢測值與理論計算值Fig.18 Measuring value and calculating value of part width

平面加工時其工件坐標系原點在機床坐標系的位置為(-187.175,-277.316,-264.518) mm,加工與測量現(xiàn)場如圖17c和17d所示。檢測時,用三坐標儀在加工表面取點,共計4個點,然后用最小二乘法計算平面度。理論計算時,刀具中心軌跡離散間隔為1 mm,刀具圓周離散為10個點,選用集合D中的點,然后用最小二乘法計算平面度。平面度檢測結(jié)果為0.003 4 mm,計算結(jié)果為0.001 5 mm,二者差值均在2 μm以內(nèi),預測模型較為準確。

孔加工鉆孔深度為30 mm,工件坐標系原點在機床坐標系下的位置為(-188.633,-277.051,-366.14) mm,加工與測量現(xiàn)場如圖17e和17f所示。檢測時,利用三坐標儀對孔深3 mm和28 mm處的圓心進行檢測。理論計算時,z值離散間隔為1 mm。檢測結(jié)果與計算結(jié)果對比如表4所示,二者差值均在5 μm以內(nèi),預測模型較為準確。

表4 孔位置度計算值與檢測值對比Table 4 Calculating and measuring position errors of hole axis

3 結(jié) 論

(1)提出了三軸機床幾何誤差建模方法,并根據(jù)該方法推導出三軸機床刀尖點誤差與刀軸矢量誤差的表達式,不同組合形式的三軸機床都可按照該方法建模。

(2)采用單基站激光跟蹤儀多次測量的方法便捷分離出三軸機床21項誤差,并進行了多項式擬合,建立了三軸機床的工作空間誤差場。

(3)推導了機床誤差與尺寸誤差、形狀誤差和位置誤差之間的映射關(guān)系,分析了以上二者之間的影響關(guān)系,實驗驗證了映射關(guān)系的準確性。