陳曉霞,吳鴻雁,2,牛洪波,姚云鵬,邢靜忠

(1.天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機電裝備技術(shù)重點實驗室,300387,天津;2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)工程實訓(xùn)中心,300222,天津)

諧波齒輪傳動是依靠柔輪波動變形來實現(xiàn)運動傳遞的精密傳動技術(shù)[1],具有體積小、重量輕、承載能力高、傳動精度和傳動效率高等優(yōu)點,被廣泛應(yīng)用于空間技術(shù)、機器人、機床、儀器儀表、醫(yī)療器械等需要精密傳動的領(lǐng)域[2-4]。柔輪波動變形使得諧波齒輪傳動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度呈非線性特征[5-6],影響其傳動性能[7-8]。柔輪嚙合點的周向嚙合剛度是整機扭轉(zhuǎn)剛度的重要組成部分[9],其非線性特性對系統(tǒng)的傳動精度和彈性回差具有重要影響。

受載后嚙合齒對間非均勻分布的嚙合力隨著負載力矩、嚙合參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化而變化,因此,負載工況下柔輪變形的非線性使諧波齒輪的負載性能更加復(fù)雜[10]。實驗裝置研制和負載性能的實驗研究[11-13]揭示了遲滯曲線中蘊含的非線性扭轉(zhuǎn)剛度及其彈性回差等多項諧波齒輪的傳動性能指標(biāo),特別是隨負載大小不斷變化的彈性回差是造成傳動系統(tǒng)振動和噪音的主要來源,也是影響傳動精度的主要因素。辛洪兵等運用能量法推導(dǎo)了簡化為梯形齒的柔輪單齒嚙合剛度,分析了單齒嚙合剛度對諧波齒輪傳動總剛度的影響[14]。酈黎偉等等將輪齒簡化為梯形齒,計算輪齒受載后的彎曲變形和剪切變形,及其簡化為薄壁圓筒和輸出軸圓盤的柔輪筒體的扭轉(zhuǎn)變形,計算柔輪扭轉(zhuǎn)剛度[15],但沒有考慮薄壁圓筒與圓盤之間的過渡圓角曲面的影響。潘峰等理論分析柔輪筒體和杯底的扭轉(zhuǎn)變形,推導(dǎo)了系統(tǒng)回差的理論公式,并用有限元模型數(shù)值仿真驗證[16],但沒有考慮齒體變形的影響。

韋樂余等將CAD模型導(dǎo)入到有限元系統(tǒng),借助接觸分析提取單齒剛度和和整機扭轉(zhuǎn)剛度[17]。崔博文等結(jié)合平衡條件和接觸準則獲得基于有限元模型的嚙合力分布和嚙合點柔度矩陣[18]。陳曉霞等提出基于殼單元筒體和實體單元齒體的有限元模型的嚙合剛度矩陣的求解方法[19]。

基于有限元模型的數(shù)值模擬研究更貼近實際,但未能和理論研究有效結(jié)合和相互比對,缺乏對嚙合點剛度影響因素及其變化規(guī)律的揭示。為此,牛洪波推導(dǎo)中柔輪筒的扭轉(zhuǎn)變形和齒體彎曲變形公式,并建立柔輪模型,計算了嚙合力作用下柔輪筒體及輪齒的周向位移及嚙合點剛度[20]。研究發(fā)現(xiàn):波發(fā)生器作用下的柔輪裝配變形和輪齒影響與理論公式結(jié)果存在明顯差異,裝配變形及其不同裝配變形狀態(tài)對嚙合點的周向剛度具有顯著的影響,因此需進一步研究裝配狀態(tài)下的嚙合點周向剛度的影響因素及其變化規(guī)律。

為揭示諧波齒輪嚙合點周向剛度的組成要素及其影響規(guī)律,本文將柔輪分為筒體和齒體,分別推導(dǎo)周向力作用下柔輪杯底、杯底倒圓、光筒和齒圈以及柔輪齒體的理論變形,在此基礎(chǔ)上提出柔輪嚙合點周向剛度的理論計算方法。進一步建立了實體有限元模型,在未裝配柔輪模型的所有輪齒上施加均布周向力,求解柔輪筒體各部分周向位移的平均值,并與理論結(jié)果比較。為反映柔輪負載實際,本文利用接觸分析求解波發(fā)生器作用下柔輪的裝配變形,隨后在柔輪長軸處的輪齒嚙合點上施加周向力,求解加力前后柔輪筒體各部分的周向位移差(即負載周向位移)及其齒體彎曲變形和齒根轉(zhuǎn)角位移,最后計算嚙合點的周向剛度,分析影響嚙合點周向剛度的影響因素。本文所提出的柔輪嚙合點周向剛度計算方法可為提高諧波齒輪扭轉(zhuǎn)剛度提供理論指導(dǎo)。

1 周向力作用下的柔輪負載變形

諧波齒輪是基于柔輪彈性變形的傳動,波發(fā)生器使柔輪筒發(fā)生周向彎曲裝配變形。雖然傳動力矩引起的負載變形是在已發(fā)生的裝配變形上疊加的變形,但周向嚙合力使柔輪嚙合點的負載周向變形從輪齒嚙合點一直延伸到柔輪杯底輸出端。柔輪嚙合點的周向位移受柔輪齒體、齒圈、筒體和杯底變形的影響,這些部件的結(jié)構(gòu)和變形形式不同,不能直接疊加,需按照嚙合點周向位移等效原則折算。

杯型柔輪是薄壁結(jié)構(gòu)。為便于計算,將柔輪分解為筒體和齒體兩部分。根據(jù)不同的變形特征,筒體劃分為齒圈、齒圈與光筒圓弧過渡段,光筒、杯底倒圓、杯底5個部分,如圖1所示。柔輪筒體按薄壁圓柱殼、變厚度柱殼、等厚度圓環(huán)面及薄壁圓盤進行建模和理論推導(dǎo);齒體(第6部分)按平面彎曲梁模型進行建模和理論變形的推導(dǎo)。

1—杯底;2—杯底倒圓;3—光筒;4—齒圈與光筒圓弧過渡段;5—齒圈;6—輪齒;δ1—杯底厚度;δ2—光筒厚度;δ3—削去輪齒后的齒圈厚度;ra—齒頂圓半徑;rm1—削去輪齒后的齒圈中性層半徑;rm—光筒中性層半徑;r0—杯底倒圓與杯底連接處的半徑;dk、ds—柔輪杯底圓盤固定孔直徑和柔輪筒體內(nèi)徑;l1—光筒長度;l2—齒圈與光筒間圓弧過渡段長度;b—齒圈寬度。圖1 柔輪結(jié)構(gòu)分解圖Fig.1 A decomposition diagram of flexspline structure

考慮到剛輪的剛度遠大于柔輪,負載傳動工況下諧波齒輪傳動中的負載變形主要來自柔輪,因此,本文對負載扭矩作用下的周向變形只考慮柔輪的負載變形。傳動過程中的嚙合點大部分在齒頂附近。在負載扭矩T作用下,嚙合點處的周向力F和負載扭矩滿足關(guān)系

T=2Fra

(1)

在扭矩T作用下,柔輪筒體從杯底固定端到嚙合端的齒圈各部分會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形;齒體在周向力F作用下產(chǎn)生齒根轉(zhuǎn)動、齒體彎曲和剪切變形。

1.1 柔輪筒體的變形

1.1.1 杯底的扭轉(zhuǎn)變形 根據(jù)薄板圓盤受扭模型,對于厚度為δ1的等厚度杯底,在扭矩T作用下,由胡可定律可得圓盤任意半徑r位置處的剪切應(yīng)變

(2)

式中:G是材料的剪切模量,G=E/2(1+μ);E為彈性模量;μ為泊松比。

柔輪筒體的軸向變形很小,通常忽略不計。則柱坐標(biāo)系下杯底圓盤的剪切應(yīng)變?yōu)?/p>

(3)

式中:uθ為圓盤周向位移。

依據(jù)杯底內(nèi)孔(r=dk/2)完全固定的邊界條件(即uθ為0),求解式(3)得柔輪杯底最外緣(r=r0)處的周向位移

(4)

則杯底最外緣的轉(zhuǎn)角位移

(5)

1.1.2 杯底倒圓的扭轉(zhuǎn)變形 柔輪筒體與杯底通過杯底倒圓過渡連接,如圖2所示為一段等厚度的1/4環(huán)面。圖中r1為環(huán)面的中面半徑,圓弧r1上任意一點的回轉(zhuǎn)半徑r=r0+r1sinθ,r0為柔輪杯底與倒圓連接處的回轉(zhuǎn)半徑(回轉(zhuǎn)軸為柔輪軸線),r0=rm-r1。

圖2 杯底倒圓示意圖Fig.2 A fillet diagram of cup bottom

根據(jù)內(nèi)力等效,在柔輪筒體上施加扭矩T,杯底上回轉(zhuǎn)半徑為r處的周向剪應(yīng)力

(6)

設(shè)等厚度圓弧的單位體積dV=2πrδ1r1dθ,對應(yīng)的應(yīng)變能為

(7)

扭矩做功為

(8)

式中,θc為杯底倒角圓弧兩端的平均扭轉(zhuǎn)角,可由U=W計算如下

(9)

由此得到該扭轉(zhuǎn)變形對應(yīng)的倒圓與光筒連接處中線的周向位移

(10)

1.1.3 光筒的扭轉(zhuǎn)變形 根據(jù)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)理論,在扭矩T作用下,光筒的扭轉(zhuǎn)角

(11)

(12)

1.1.4 圓弧過渡段的扭轉(zhuǎn)變形 齒圈與光筒之間由一段變截面圓弧過渡段連接,外側(cè)為內(nèi)環(huán)面,內(nèi)側(cè)為與柔輪內(nèi)壁半徑相等圓柱面,如圖3所示。

圖3 齒圈與光筒圓弧過渡段示意圖Fig.3 A diagram of arc transition section between gear ring and smooth cylinder

圓弧過渡段的截面極慣性矩

(13)

(14)

式中:rm1=(δ3+ds)/2為齒圈的中性層半徑。

1.1.5 齒圈圓環(huán)的扭轉(zhuǎn)變形 實際齒圈是一個周向非均勻的圓環(huán),理論求解中無法考慮輪齒的影響。定義齒圈圓環(huán)為削去輪齒后的等厚度圓柱筒。利用薄壁圓環(huán)理論計算周向力作用下齒圈兩端的相對扭轉(zhuǎn)角θd及齒圈中性層的周向位移vd

(15)

式中:Ipd=2πδ3rm13為齒圈的截面極慣性矩。

1.2 柔輪齒體的變形

1.2.1 齒根轉(zhuǎn)動 齒根轉(zhuǎn)動引起的齒頂位移示意圖如圖4所示,周向力F作用下,齒圈所受彎矩等于F乘以齒高h,齒圈彎曲變形引起輪齒齒根處的扭轉(zhuǎn)角為θr,使得齒頂點相對于齒根的周向位移,簡稱轉(zhuǎn)動變形用vr表示

(16)

式中:h=ra-rm1為結(jié)構(gòu)齒高,m為模數(shù)。

圖4 齒根轉(zhuǎn)動引起的齒頂位移示意圖Fig.4 A diagram of tooth top displacement caused by tooth root rotation

1.2.2 齒體的彎曲變形 對于非細長梁,周向力F作用下會產(chǎn)生圖5所示的彎曲變形和圖6所示的剪切變形,都會引起齒頂點相對于齒根的周向位移,這里統(tǒng)稱為彎曲變形。

圖5 齒體彎曲變形Fig.5 Bending deformation of tooth body

圖6 齒體剪切變形Fig.6 Shear deformation of tooth body

齒頂點外力F做功產(chǎn)生圖5所示的彎曲變形,由能量法得受力點的周向位移

(17)

式中:si為輪齒任意圓齒厚;b為齒寬。

對于漸開線齒廓,si=sri/r-2ri(inv(αi)-inv(α)),inv(αi)=tanαi-αi,變位后的分度圓齒厚s=m(π/2+2x1tanα),x1為變位系數(shù),ri為輪齒任意圓半徑,αi為任意圓壓力角,α為分度圓壓力角。

F做功的同時也會產(chǎn)生如圖6所示的齒體剪切變形,由能量法可得

(18)

式中:A(x)=bsi為變截面齒的橫截面面積;K為剪切因子,按照矩形截面梁,K取1.5。

可得周向力F作用下齒頂點相對于齒根的周向位移

(19)

2 柔輪嚙合點的周向剛度

嚙合點的周向剛度定義為對稱兩嚙合點產(chǎn)生周向單位位移所需的一對周向力的大小。作用在嚙合點上的一對周向力,不僅引起受力齒的齒體變形,同時也會使筒體各部位產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。用k1和k2分別表示柔輪筒扭轉(zhuǎn)變形對應(yīng)的扭轉(zhuǎn)剛度和齒體變形對應(yīng)的扭轉(zhuǎn)剛度,則

(20)

由嚙合點變形的疊加關(guān)系得

(21)

可得柔輪嚙合點的周向剛度

(22)

3 負載周向變形的數(shù)值驗證

為驗證本文嚙合點周向位移和周向剛度的理論公式,在ANSYS環(huán)境中,按表1數(shù)據(jù),用實體單元SOLID45建立實體單元漸開線齒廓的柔輪有限元模型,如圖7所示。

圖7 單個齒體和柔輪實體單元有限元模型Fig.7 FE models of single tooth and flexspline with solid element

表1 柔輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters of the flexspline

諧波齒輪傳動是基于波發(fā)生作用下柔輪裝配變形的基礎(chǔ)上實現(xiàn)動力傳動。裝配前,柔輪的原始剖面呈圓形。裝配后,波發(fā)生器迫使柔輪變?yōu)榉菆A形,其長軸端的齒與剛輪齒完全嚙合,短軸處的齒則完全脫開。1.1節(jié)中理論公式未考慮柔輪的裝配變形,為與理論公式對應(yīng),定義如下計算條件。

(1)筒體未裝配解:在未裝配的柔輪有限元模型的前截面的齒頂施加均布周向力,計算柔輪筒體各部分的變形。

(2)筒體裝配解:在柔輪有限元模型裝配變形后的前端面長軸齒頂施加一對單位周向力,定義負載周向位移為施加周向力前后柔輪筒體各部分的周向位移差,其平均值為裝配解。

(3)齒體均值解:在裝配變形后的柔輪有限元模型長軸齒頂,前中后3個截面各施加1/3的周向力,計算齒體彎曲變形和齒根轉(zhuǎn)動。將其平均值定義為均值解。

3.1 未變形筒體的扭轉(zhuǎn)變形驗證

定義柔輪杯底倒圓兩側(cè)截面、齒圈前后端面及其過渡段后端面等橫截面上的周向路徑。在未裝配的柔輪有限元模型的柔輪齒頂施加均布周向力(半周上的周向力代數(shù)和等于1),杯底內(nèi)孔固定,求解均布周向力作用下柔輪簡體變形的有限元結(jié)果。分別提取筒體各部分的周向位移,即未裝配解如圖8所示。圖中顯示筒體各組成部分周向位移的未裝配解沿周向均勻分布。

圖8 均布周向力作用下未裝配有限元模型的筒體周向位移Fig.8 Circumferential displacement of cylinder with unassembled FEM under uniform circumferential force

將圖8有限元結(jié)果分別與式(9)、式(10)、式(12)、式(14)和式(15)的理論解進行比較,結(jié)果如表2所示。表2中的相對偏差為理論解減去未裝配解與理論解的比值。

表2 筒體周向位移的理論解與有限元解的比較Table 2 A comparison between theoretical and FEM solutions for circumferential displacement of flexspline cylinder

在柔輪筒體各部分的變形中,齒圈圓環(huán)偏差最大為13.5%,這是由于理論解未考慮輪齒的影響。杯底倒圓的偏差次之為10.3%,是由于倒圓尺寸較小,網(wǎng)格較粗引起的。這兩項變形在總變形中的占比較小,故理論解與未裝配解的總變形偏差為1.3%,吻合良好。

3.2 裝配變形后筒體的扭轉(zhuǎn)變形驗證

建立波發(fā)生器外表面與柔輪內(nèi)壁的面面接觸關(guān)系,求解裝入波發(fā)生器后的柔輪裝配變形。柔輪1/4有限元裝配模型的徑向位移如圖9所示。波發(fā)生器裝入使柔輪齒圈變形為橢圓形,長軸處的最大徑向位移為0.311 2 mm,短軸處最小徑向位移為0.300 7 mm。

圖9 柔輪有限元裝配模型的徑向位移Fig.9 Radial displacement with finite element assembly model of flexspline

為模擬實際傳動負載工況,反映柔輪傳動狀態(tài)時的負載周向變形和嚙合點的周向剛度。在裝配變形后的柔輪有限元模型的齒圈前截面長軸處齒頂施加一對單位周向力,求得施加周向力前后有限元模型的各部分的周向位移差,即周向力引起的負載周向位移如圖10所示。圖10中嚙合點位置90°、270°為長軸,0°、180°為短軸。

圖10 單位周向力作用下有限元裝配模型的柔輪筒體周向位移Fig.10 Circumferential displacement of flexspline cylinder with assembled FEM under unit circumferential force

受柔輪裝配變形的影響,圖10中柔輪各部分的負載周向位移隨嚙合點位置呈現(xiàn)周期波動,以180°為周期,長軸處為正,短軸處為負。由于波發(fā)生器安裝在柔輪齒圈處,故裝配變形對柔輪齒圈和光筒的負載周向位移影響最大,對杯底的影響最小。由于輪齒的影響,齒圈的負載周向位移出現(xiàn)局部波動現(xiàn)象。

對圖10中柔輪各部分的負載周向位移求平均值,即為周向力作用下負載周向位移的裝配解,其與理論解的比較如表3所示。相對偏差為理論解減去裝配解與理論解的比值。由表3可知,因裝配變形的影響,齒圈圓環(huán)的偏差最大為87%。引起偏差的原因:①波發(fā)生器引起的裝配變形的影響;②輪齒的影響。理論解未考慮輪齒,有限元模型中的輪齒增大了齒圈剛度。

表3 簡體各部分周向位移的理論解與有限元模型裝配解的比較Table 3 A comparison between theoretical solution and FEM assembly solution of circumferential displacement of cylinder

由表3可見:光筒的有限元裝配模型的計算偏差較大為24%,主要由裝配變形引起;總變形的理論解與裝配解偏差為11%,相比筒體未裝配解,裝配變形增加了柔輪筒體的剛度,使其負載周向變形減小了約10%。

為反映周向力作用下柔輪筒體扭轉(zhuǎn)變形中各部分變形的占比,表3最后一列是理論解給出的各部分變形在整個筒體變形中的占比。其中杯底變形占比最大63.25%,其次為光筒21.58%,齒圈圓環(huán)11.19%;圓弧過渡段2.38%,倒角1.47%。數(shù)據(jù)表明:周向力作用下杯底變形占比大,杯底對柔輪筒體的扭轉(zhuǎn)剛度的影響最大,要提高柔輪筒體的扭轉(zhuǎn)剛度,增大杯底厚度的效果最為顯著,其次是增大光筒的厚度。

3.3 齒體變形的驗證

為驗證周向力作用下柔輪齒體變形的理論公式,在裝配變形后的柔輪有限元模型上,沿齒寬前中后3個截面施加1/3的周向力模擬齒體理論計算的周向力分布工況。求解齒體的齒根轉(zhuǎn)動和齒體彎曲變形,得到齒體變形產(chǎn)生的齒頂周向位移。對各項變形求其各截面位移的平均值作為均值解。與式(16)、式(17)和式(19)周向位移的理論解進行比較,如表4所示。表中相對偏差為理論解減去有限元模型均值解與理論解的比值。

表4 齒體變形的理論解與有限元均值解比較Table 4 A comparison between theoretical solution and mean value solution of FEM for tooth deformation

由表4可以看出,齒根轉(zhuǎn)動引起的周向位移的理論解小于有限元均值解,彎曲變形大于有限元均值解,但總變形的理論解與有限元均值解偏差為2.2%,吻合良好。表明齒體變形的理論公式準確地揭示了柔輪齒體的負載變形。理論公式求得的齒體變形中,齒體彎曲占比最大93.18%,轉(zhuǎn)動變形占比只有6.82%。

4 嚙合點周向剛度的數(shù)值計算

根據(jù)表3周向力作用下柔輪筒體各部分周向位移的理論解和裝配解,分別計算各部分所對應(yīng)的轉(zhuǎn)角位移,代入式(20)求解,得到柔輪筒體扭轉(zhuǎn)剛度k1的理論解和有限元解。將表4中齒體彎曲變形和齒根轉(zhuǎn)動的理論解和有限元均值解代入式(20),分別得到齒體的折算扭轉(zhuǎn)剛度k2的理論解和有限元解,并依據(jù)式(22)求得柔輪嚙合點的周向剛度kθ,見表5,表中相對偏差為理論解減去有限元解與理論解的比值。由表5看出:柔輪筒體剛度和齒體剛度的理論解都小于有限元解。齒體扭轉(zhuǎn)剛度k2的理論解與有限元解的偏差為2%;筒體剛度kx的理論解與有限元解的偏差-9%,這是由于有限元模型的輪齒增大了結(jié)構(gòu)剛度。嚙合點的周向剛度理論解略小于有限元解,偏差為-5%。表明本文理論公式可以很好地反映柔輪嚙合點的周向剛度。

柔輪嚙合點的周向剛度與諧波齒輪傳動的彈性回差成反比。因此,諧波齒輪設(shè)計中,增大嚙合點的周向剛度,有助于減小諧波齒輪的彈性回差。由嚙合點的變形疊加關(guān)系,表5所示的周向力作用下的筒體和齒體變形疊加后的嚙合點的周向剛度都會小于單項的筒體剛度或齒體剛度;且柔輪筒體剛度大,齒體剛度相對較小。相對較小的柔輪齒體剛度會引起嚙合點剛度下降。要提升柔輪嚙合點的周向剛度,應(yīng)增大齒體剛度。

表5 周向剛度的理論解與有限元模型解比較Table 5 A comparison between theoretical solution and FEM solution for circumferential stiffness

5 齒體參數(shù)對齒體剛度的影響

諧波齒輪傳動齒數(shù)多、模數(shù)小,通常采用較大的壓力角或正變位來保證嚙合區(qū)邊界上有足夠的側(cè)隙,避免齒頂干涉。常用的輪齒參數(shù)主要包括:壓力角、變位系數(shù)、齒寬。為增大齒體剛度,下面分別分析這3個齒形參數(shù)對齒體剛度的影響。

圖11為齒體彎曲剛度隨壓力角、變位系數(shù)和齒寬的變化規(guī)律。由圖11看出:隨著壓力角的增大,齒體剛度顯著下降;隨著柔輪變位系數(shù)的增大,齒體剛度也隨之增大;隨著齒寬的增大,齒體剛度呈線性增大。變位系數(shù)的增大對齒體剛度的提高影響最大。

(a)壓力角的影響

(b)柔輪變位系數(shù)的影響

(c)齒寬的影響圖11 齒體參數(shù)對齒體剛度的影響Fig.11 Influence of tooth parameters on tooth stiffness

6 結(jié) 論

(1)提出周向力作用下柔輪各部分周向變形和柔輪嚙合點周向剛度的理論公式,研究表明理論公式能準確反映柔輪嚙合點的周向剛度。

(2)柔輪筒體負載周向位移中,杯底變形占比最大;齒體變形中,齒體彎曲變形占比最大。

(3)柔輪裝配變形和輪齒對齒圈圓環(huán)和光筒的負載周向位移影響大,使得這兩個部分的負載周向位移的理論解大于有限元解。

(4)柔輪筒體的剛度大,齒體剛度小。相對較小的柔輪齒體剛度會引起柔輪嚙合點剛度下降?？赏ㄟ^減小壓力角、增大變位系數(shù)和齒寬,提高齒體剛度。