李 響，李 銳，徐興興，杜凌峰

(1.三峽大學(xué)機(jī)器人與智能系統(tǒng)宜昌市重點實驗室，湖北宜昌443002；2.三峽大學(xué)機(jī)械與動力學(xué)院，湖北宜昌443002；3.湖北力帝機(jī)床股份有限公司，湖北宜昌443002)

0 引言

作為高效節(jié)能型復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的典型代表，夾層結(jié)構(gòu)材料具有重量輕、比強(qiáng)度和比剛度高、吸能特性和穩(wěn)定性好等眾多優(yōu)點，它將面板的高強(qiáng)度和高模量與夾芯的低密度和高剛性有機(jī)結(jié)合起來，在汽車、航空航天、船舶、機(jī)械、建筑等領(lǐng)域中有著極其重要的應(yīng)用價值。隨著夾層結(jié)構(gòu)材料在工程領(lǐng)域中的不斷推廣應(yīng)用，人們對夾層結(jié)構(gòu)材料的力學(xué)性能、吸能性、穩(wěn)定性、耐撞性、抗疲勞等性能指標(biāo)提出了更高的要求，包括蜂窩夾層結(jié)構(gòu)在內(nèi)的傳統(tǒng)夾層結(jié)構(gòu)材料逐漸不能滿足工程設(shè)計要求，迫切需要開發(fā)新型夾層結(jié)構(gòu)材料。因此，本文作者從仿生學(xué)和創(chuàng)新設(shè)計的角度出發(fā)，于2013年提出了“類蜂窩”夾層結(jié)構(gòu)的概念；在此基礎(chǔ)上，創(chuàng)新設(shè)計出 “類蜂窩”、“類方形蜂窩”和嵌套式類蜂窩等多種夾芯結(jié)構(gòu)。為了更好地揭示類蜂窩及其衍生結(jié)構(gòu)的優(yōu)點，急需開展其最優(yōu)等效力學(xué)性能、最優(yōu)胞元尺寸等方面的研究。

目前國內(nèi)外眾多學(xué)者針對蜂窩結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能及其優(yōu)化設(shè)計進(jìn)行了眾多研究，得到了許多有價值的研究成果。方耀楚[1]分別對二級層級褶皺結(jié)構(gòu)的輕量化和力學(xué)性能進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，使其在滿足約束條件下性能得到了改善。甘代偉[2]以層波紋板的單元壁厚和波紋夾角作為設(shè)計變量，對金屬曲面夾層板的彈性模量和彎曲撓度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，并得到了在靜力作用下的最優(yōu)力學(xué)性能。袁勝剛[3]在溫度及三點彎曲載荷條件下，對負(fù)泊松比蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，得到了滿足約束條件并具有最優(yōu)材料分布和重量最輕的蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)。黃華貴[4]研究了層厚比的改變對復(fù)合板的拉伸力學(xué)性能影響，發(fā)現(xiàn)其力學(xué)性能會隨著組元層厚比及材料的不同而改變。李清原[5]對變剛度層合板的力學(xué)性能進(jìn)行了研究，并以層合板剛度最大為目標(biāo)優(yōu)化其鋪層角度，得到了不同鋪層數(shù)量時的最佳優(yōu)化路徑。徐亮[6]提出一種點陣結(jié)構(gòu)填充的新型冷卻結(jié)構(gòu)，并以點陣結(jié)構(gòu)的桿件直徑和桿件傾角為變量對其1階固有頻率、努塞爾數(shù)和相對密度優(yōu)化設(shè)計，得出了各參數(shù)的敏感性程度。Khalkhali[7]以波紋夾層結(jié)構(gòu)的重量和撓度最小化為目標(biāo)函數(shù)，采用NAGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，獲得了在滿足一定約束條件的最佳折中解。Gholami[8]采用粒子群算法對具有蜂窩夾芯的復(fù)合夾層結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，以最小化夾層板重量為目標(biāo)，總結(jié)出當(dāng)擁有最佳的夾層板時，其每個胞元應(yīng)該有最小的橫截面積以及最大的允許長度。An[9]對層壓復(fù)合面板的堆疊順序和芯層厚度進(jìn)行了協(xié)同優(yōu)化設(shè)計，并采用數(shù)值算例驗證了優(yōu)化的可行性。Hu[10]建立結(jié)構(gòu)模型對正交波紋夾芯板的壓縮和剪切強(qiáng)度進(jìn)行評估，并通過優(yōu)化設(shè)計得到高強(qiáng)度、輕質(zhì)量的復(fù)合材料夾芯板。Guo[11]以力學(xué)性能和散熱性能為目標(biāo)對一種仿生輕質(zhì)夾芯板進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，使其散熱和抗壓性能分別為優(yōu)化前的14.3和2.1倍，并且在相同承重下，其重量減少11%。目前國內(nèi)外學(xué)者對夾層結(jié)構(gòu)力學(xué)性能進(jìn)行了較為深入的研究，但關(guān)于胞元尺寸參數(shù)對其力學(xué)性能的影響分析還較為缺乏。

本文所研究的類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)相比于正六邊形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)來說，在等效力學(xué)性能相同時，擁有更小的等效密度，表明其輕量化程度更高。目前類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)各尺寸參數(shù)均為經(jīng)驗取值，未能反映其最優(yōu)力學(xué)性能，本文將以此開展相關(guān)研究。圖1為初始類蜂窩夾芯胞元結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 類蜂窩夾芯胞元結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of quasi-honeycomb sandwich cell

1 類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

本文以類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)為研究對象，對其等效力學(xué)性能進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)面內(nèi)x方向與y方向等效力學(xué)性能相同，因此本文將以面內(nèi)x方向等效力學(xué)參數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)。

1.1 類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計變量及目標(biāo)函數(shù)

研究發(fā)現(xiàn)，類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)力學(xué)參數(shù)與t/l、h/l的相關(guān)性相對于l、h、t更高，因此在優(yōu)化胞元尺寸參數(shù)l、h、t的基礎(chǔ)上，將t/l、h/l作為優(yōu)化對象，即選取t/l、h/l、θ作為設(shè)計變量。其中t為胞元厚度、l為六邊形短邊長、h為正方形邊長、θ為六邊形短邊與水平方向夾角。并依據(jù)本課題組前期研究工作[12]，優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為

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式中，α=t/l，β=h/l，Es為夾芯材料的彈性模量，ρs為夾芯材料密度。

1.2 類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

為保證結(jié)論的普遍性，本文對具有代表性的三角形至十二邊形展開研究。類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)為薄壁結(jié)構(gòu)，其壁厚t相對于邊長h、l取值較小，因此綜合考慮類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)力學(xué)性能指標(biāo)，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

(2)

1.3 多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化流程及算法設(shè)置

本文采用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，為獲得準(zhǔn)確度更高的優(yōu)化解，參數(shù)設(shè)定為最優(yōu)前端個體系數(shù)0.5，種群大小100，最大進(jìn)化代數(shù)200，停止代數(shù)200，其具體流程如圖2所示。

圖2 多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化流程圖Fig.2 Flow chart of multi-objective genetic algorithm optimization

2 胞元尺寸參數(shù)優(yōu)化分析

2.1 胞元尺寸響應(yīng)分析

1) 取t/l、h/l大小為初始值，當(dāng)改變θ大小時，類蜂窩夾芯胞元結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能參數(shù)的變化如圖3所示。

由圖3可知，夾芯結(jié)構(gòu)的等效彈性模量隨著θ的增大而減小，并且在θ>30°后，其變化趨勢逐漸下緩；等效密度隨著θ的增大先變小后增大，并且在θ=45°發(fā)生轉(zhuǎn)折，此時等效密度能取到最小值。泊松比與等效彈性模量較為相似，都是隨著θ的增加而逐漸減小，但泊松比的遞減曲線比等效彈性彈性模量更為平緩。等效剪切模量與θ成正相關(guān)，且增長率隨θ的增大呈上升趨勢。

2) 當(dāng)θ、h/l采用初始參數(shù)，改變t/l的大小對等效力學(xué)性能參數(shù)的影響如圖4所示。

由圖4可知，夾芯結(jié)構(gòu)的等效彈性模量隨著t/l的增大而增大，且增長率逐漸上升。等效密度與t/l基本上呈線性相關(guān)，并隨著t/l的增大而逐步減小。泊松比雖然隨著t/l的增大而減小，但其變化范圍較小，均在0.99之間，表明t/l的改變對泊松比的幾乎沒有影響。等效剪切模量隨著t/l的增加而逐量微小增加。

3) 當(dāng)θ、t/l采用初始參數(shù)，改變h/l對的大小對等效力學(xué)性能參數(shù)的影響如圖5所示。

圖3 θ對目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)圖Fig.3 The response graph of θ to the objective function

圖4 t/l對目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)圖Fig.4 The response graph of t/l to the objective function

圖5 h/l對目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)圖Fig.5 The response graph of h/l to the objective function

由圖5可得，夾芯結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和泊松比基本成線性相關(guān)，并且均在小范圍內(nèi)變化，表明h/l的改變對夾芯結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和泊松比的影響可忽略不計。而隨著h/l的增大，等效密度和等效剪切模量都相應(yīng)減小，其中等效密度的下降率趨于穩(wěn)定，而等效剪切模量的下降率是逐漸較小，表明h/l的增長對等效剪切模量的影響逐漸減小。

2.2 胞元尺寸協(xié)同響應(yīng)分析

圖6為t/l、h/l、θ協(xié)同作用時對等效彈性模量的響應(yīng)面。如圖6(a)所示，在t/l、h/l協(xié)同作用時，無論t/l較大或者較小，都對等效彈性模量的影響很小，并且t/l在兩者中起主導(dǎo)影響因素，隨著t/l的增大,夾芯結(jié)構(gòu)等效彈性模量也逐步增加，其增長率呈上升趨勢。由圖6(b)可知，當(dāng)角度較小時，t/l對等效彈性模量的影響較大，隨著其增漲而增大，而當(dāng)角度θ逐漸增大時，t/l對等效彈性模量的影響減小，等效彈性模量趨于穩(wěn)定值。當(dāng)t/l較小時，角度θ的變化對等效彈性模量影響較小，當(dāng)t/l較大時，等效彈性模量隨著角度增大而減小，并且下降率呈逐漸減小趨勢。從圖6(c)所示，夾芯結(jié)構(gòu)的等效彈性模量在角度和h/l的協(xié)同作用時，角度θ起主要作用，h/l的影響很小。結(jié)合圖6(a)～圖6(c)可得，t/l對等效彈性模量影響最為顯著，其次為θ，h/l對其影響最小。

圖6 胞元參數(shù)對等效彈性模量的響應(yīng)面Fig.6 Response surface of cell parameter to equivalent elastic modulus

圖7為t/l、h/l、θ協(xié)同作用時對等效密度的響應(yīng)面。從圖7(a)～圖7(b)中可得，當(dāng)h/l較小時，等效密度隨著t/l的增大而增大，并且其增長趨勢逐漸上升，當(dāng)h/l較大時，等效密度隨著t/l的增長逐漸減小。并且無論t/l取何值，等效密度均隨θ的增大而先減小后增大，在45°時取到最小值。在圖7(c)中可知，等效密度隨θ的增加而先減小后增大，并隨h/l的減小而減小。

圖8為t/l、h/l、θ協(xié)同作用時對泊松比的響應(yīng)面。由圖8(a)可知，當(dāng)h/l較小時，泊松比隨t/l的增大而緩慢減小，當(dāng)h/l增大時，泊松比的下降率逐漸增大。當(dāng)t/l較小時，泊松比基本不隨h/l的增大而改變，t/l較大時，泊松比隨h/l的增大而迅速下降，但總體上說，t/l、h/l的改變使泊松比在小范圍內(nèi)波動，影響并不明顯。從圖8(b)～圖8(c)可得，泊松比相對于t/l、h/l來說，對角度的變化更為敏感，隨著θ的增大而逐漸減小，并且下降率呈減小趨勢。

圖7 胞元參數(shù)對等效密度的響應(yīng)面Fig.7 Response surface of cell parameter to equivalent density

圖8 胞元參數(shù)對對泊松比的響應(yīng)面Fig.8 Response surface of cell parameter to Poisson′s ratio

圖9為t/l、h/l、θ協(xié)同作用時對等效剪切模量的響應(yīng)面。從圖9(a)～圖9(b)中可知，h/l對等效剪切模量的影響比t/l稍大，而當(dāng)θ和t/l協(xié)同作用時，它們對等效剪切模量的影響大致相同，都是隨其增加而增大，但同時取較小值時，等效剪切模量的變化較小，敏感性較低，同時取較大值時，等效剪切模量增長更為明顯，增長率呈上升趨勢。由圖9(c)可得，在h/l較小時，等效剪切模量隨θ的增大而增大，在h/l逐漸增大時，等效剪切模量隨角度變化的增長率逐漸降低，而當(dāng)θ從小到大變化時，h/l的影響逐漸增大，等效剪切模量的下降率呈逐漸增大趨勢。

圖9 胞元參數(shù)對等效剪切模量的響應(yīng)面Fig.9 Response surface of cell parameter to equivalent shear modulus

2.3 類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果分析

經(jīng)上述分析，當(dāng)增大t/l和θ時，夾芯結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和等效剪切模量增大，泊松比減小，意味著其承載和形變能力越好，然而其等效密度會大幅上升，使夾芯結(jié)構(gòu)重量急劇上升，但當(dāng)增大h/l時，等效密度雖有所減小，等效剪切模量卻也隨之降低。綜上所述，該優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)之間相互沖突，無法得到一組優(yōu)化結(jié)果使其同時達(dá)到最優(yōu)，因此根據(jù)實際情況對最優(yōu)解進(jìn)行選取。表1為類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的理論值和優(yōu)化設(shè)計值。

表1 類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型初始值和優(yōu)化值Tab.1 Initial value and optimized value of optimization model for quasi-honeycomb sandwich structure

由表1可知，當(dāng)t/l=0.013 4、h/l=0.693 2、θ=45°時，夾芯結(jié)構(gòu)的等效彈性模量增加了102.14%，泊松比減小了16.27%，等效剪切模量增加了465.62%，但等效密度有些許程度的增大，使整體重量上升，但總體上該結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能得到了優(yōu)化，其承載及形變能力得到了較大幅度的提高。

3 結(jié)論

將響應(yīng)面分析法和多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法相結(jié)合，以類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的t/l、h/l、θ作為變量，對其等效彈性模量、等效密度、泊松比、等效剪切模量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，得到如下結(jié)論：

1)t/l對等效彈性模量影響最為顯著，其次為角度，h/l對其影響最小。

2) 在θ=45°時，等效密度能取到最小值，并且角度和t/l對其影響相對于h/l更大。

3) 采用多目標(biāo)遺傳算法對夾芯結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，使其在增加等效密度46.7%的情況下，增大等效彈性模量102.14%，等效剪切模量465.62%，降低泊松比16.27%，顯著提高了其力學(xué)性能。