朱奕錕

（武漢紡織大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢 430073）

1 六軸工業(yè)機(jī)器人的介紹

通過(guò)研究六軸工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)能夠較為明顯地減輕機(jī)器人的重量。同時(shí)因?yàn)榇蟊凼侵锌盏慕Y(jié)構(gòu)，所有的外接設(shè)備以及電纜都可以放在大臂之中，這樣一來(lái)，機(jī)器人的場(chǎng)地適應(yīng)能力增強(qiáng)，大大提升了機(jī)器人的靈活程度。六軸工業(yè)機(jī)器人的安裝是比較簡(jiǎn)單實(shí)用的，如果正常使用的話，則采取正裝的方法；如果需要倒立安裝，則應(yīng)該安裝在天花板上。以FANUC ARC100i 型六軸工業(yè)機(jī)器人為例，其常規(guī)自由度數(shù)為6，重復(fù)定位精度為0.08，臂腕處的負(fù)載為6kg。

2 六軸工業(yè)機(jī)器人的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)研究

想要操作工業(yè)機(jī)器人，需要控制工業(yè)機(jī)器人的末端操作器，利用操作器來(lái)操作相關(guān)的零件與工具在空間之中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，常常采用的方法便是將問(wèn)題放到坐標(biāo)系之中技能型研究進(jìn)行坐標(biāo)系的定義和表述。

2.1 位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系

選定一個(gè)坐標(biāo)系，并采用3×1 的位置矢量來(lái)任意選定坐標(biāo)系中的某一點(diǎn)。采用三個(gè)互相正交的單位矢量來(lái)表示直角坐標(biāo)系{A}，點(diǎn)AP 的位置由一個(gè)矢量來(lái)表示，其中AP 表示點(diǎn)P 相對(duì)于直角坐標(biāo)系中{A}的位置，即AP=[PxPYPZ]。

其中圖1 表示的是AP 相對(duì)于坐標(biāo)系的位置。

圖1 AP 相對(duì)于坐標(biāo)系的位置

空間中某個(gè)點(diǎn)的位置都可以采用矢量的方法進(jìn)行表示，重新建設(shè)一個(gè)新的直角坐標(biāo)系{B}，坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)重合于點(diǎn)P，用XB、YB、ZB來(lái)表示直角坐標(biāo)系{B}中X、Y、Z三軸的單位矢量。AXB、AYB、AZB則是采用直角坐標(biāo)系{A}下進(jìn)行表達(dá)，此直角坐標(biāo)系下組成的旋轉(zhuǎn)矩陣采用ABR 來(lái)表示，即

圖2 表示的是新建坐標(biāo)系與原有坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系。

圖2 位置關(guān)系確定

構(gòu)建坐標(biāo)系來(lái)確定位置關(guān)系的主要目的是準(zhǔn)確描述機(jī)械臂的位置，通過(guò)確定空間坐標(biāo)系下的三個(gè)矢量，來(lái)組合成一個(gè)完整的坐標(biāo)系位置矢量。

2.2 坐標(biāo)映射

在兩個(gè)坐標(biāo)系位置相同的情況下，對(duì)于位于不同坐標(biāo)系中的矢量通常會(huì)采用平移的手段來(lái)進(jìn)行處理。但是除了平移之外，坐標(biāo)系還可以繞X、Y、Z 三軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。常規(guī)坐標(biāo)系的映射是指兩個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)不重合，存在著一定的矢量偏移，必須要同時(shí)經(jīng)過(guò)平移以及旋轉(zhuǎn)才能夠保證兩個(gè)坐標(biāo)下進(jìn)行重合，其內(nèi)容采用公式表示為以下內(nèi)容：

3 建模分析

3.1 連桿參數(shù)及其數(shù)據(jù)分析

由于六軸工業(yè)機(jī)器人是一個(gè)連桿機(jī)構(gòu)，因此，在本文章的研究過(guò)程中需要將其理解成為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行分析，整個(gè)系統(tǒng)具有六個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)、六個(gè)連桿。在整個(gè)系統(tǒng)之中基座并不屬于連桿結(jié)構(gòu)的范疇，為此可以將基座命名為連桿0 號(hào)，然后按照數(shù)字順序從1 到6，來(lái)命名剩余的連桿部位。將基座標(biāo)系與工業(yè)機(jī)器人的固定底座連接到一起，并且在每個(gè)坐標(biāo)系中建立一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的坐標(biāo)系，然后將坐標(biāo)系之間通過(guò)齊次變換矩陣，矩陣中的元素通過(guò)連桿長(zhǎng)度、連桿轉(zhuǎn)交、連桿偏距以及關(guān)節(jié)角四個(gè)連桿參數(shù)內(nèi)容進(jìn)行組成。

如圖3 所示，i 為中間的連桿，i-1 以及i+1 分別代表i 連桿左右兩邊的相連接連桿。其中的垂線長(zhǎng)度由a 表示，評(píng)價(jià)夾角由α 來(lái)表示，連桿之間的間距則是由d 表示，平面之間的夾角則是由θ 表示。根據(jù)六軸工業(yè)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)順序，可以將腰結(jié)構(gòu)命名為關(guān)節(jié)1，轉(zhuǎn)角命名為θ1。肩結(jié)構(gòu)則是命名為關(guān)節(jié)2，轉(zhuǎn)角命名為θ2。以此類推，則是對(duì)六軸工業(yè)機(jī)器人的整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行關(guān)節(jié)命名。下面則是構(gòu)建坐標(biāo)系，沿著關(guān)節(jié)軸畫(huà)出延長(zhǎng)線，其中軸線i 以及軸線i+1 之間畫(huà)出公垂線，并將其與關(guān)節(jié)軸i 進(jìn)行連接，連接的交點(diǎn)作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，將關(guān)節(jié)軸i 作為z軸，公垂線作為x 軸方向，y 軸則是采用右手定則來(lái)判斷而出。當(dāng)六軸工業(yè)機(jī)器人的第一關(guān)節(jié)矢量為0 的時(shí)候，一坐標(biāo)系與0 坐標(biāo)系重合在一起，此時(shí)六軸工業(yè)機(jī)器人的連桿所構(gòu)成的坐標(biāo)系則是如圖4 所示。

圖3 相鄰連桿改進(jìn)的D-H 參數(shù)

圖4 六軸工業(yè)機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系

根據(jù)六軸工業(yè)機(jī)器人的使用說(shuō)明，將各個(gè)連桿的起始位置參數(shù)整合在一起，如表1 所示。

表1 六軸工業(yè)機(jī)器人的D-H 參數(shù)數(shù)據(jù)表格

3.2 根據(jù)坐標(biāo)線構(gòu)建運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

為了讓圖解清晰以及方便描述，每個(gè)連桿定義為三個(gè)中間坐標(biāo)系，分別為坐標(biāo)系P、坐標(biāo)系Q、坐標(biāo)系R，如圖5 所示。在確定完坐標(biāo)系之下，則是標(biāo)出x 軸以及z軸，因?yàn)樽鴺?biāo)系以及軸之間存在著空間位置的關(guān)系，為了區(qū)分，可以采取如下方法。

圖5 D-H 坐標(biāo)系

首先，坐標(biāo)系R 與坐標(biāo)系i-1 之間的空間位置可以通過(guò)i-1 軸旋轉(zhuǎn)α 來(lái)得到。坐標(biāo)系Q 以及坐標(biāo)系R 則是可以由軸i-1 在位移a 距離之后得到。坐標(biāo)系P 以及坐標(biāo)系Q 則是可以由i-1 軸通過(guò)位移距離d 之后得到。坐標(biāo)系i 以及坐標(biāo)系P 則是由i-1 軸通過(guò)旋轉(zhuǎn)θ 得到。在確定各個(gè)坐標(biāo)系以及軸的位置之后，在矩陣的基礎(chǔ)上，采用齊次變換的方式來(lái)對(duì)坐標(biāo)系來(lái)對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行平移與旋轉(zhuǎn)，并嘗試?yán)面準(zhǔn)降脑?，將相?duì)坐標(biāo)系的矩陣進(jìn)行變換，即

通過(guò)對(duì)上面的公式進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)等變換時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)公式所包含的連桿參數(shù)只有一個(gè)，這表明圖5 之中的坐標(biāo)系，可以表示為以下公式：

將各個(gè)參數(shù)代入到變換的矩陣之中便可以計(jì)算出一般表達(dá)式，一般表達(dá)式如下。

想要獲得機(jī)器人肘關(guān)節(jié)六個(gè)變化的參數(shù)，需要對(duì)其建立坐標(biāo)系，并通過(guò)分析坐標(biāo)系的連桿參數(shù)。我們可以將這些變量分別進(jìn)行命名，采用符號(hào)加上數(shù)字的形式，如θ1、θ2、θ3、θ4、θ5、θ6。對(duì)于基座的末端操縱器來(lái)講，想要實(shí)現(xiàn)矩陣變換，也應(yīng)該圍繞上述六個(gè)參數(shù)開(kāi)展，其表達(dá)公式則是如下所示：

此函數(shù)是關(guān)于六軸工業(yè)機(jī)器人六個(gè)關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，根據(jù)此關(guān)節(jié)變量函數(shù)可以推斷出其他變換矩陣的表達(dá)公式如下所示：

4 運(yùn)動(dòng)學(xué)研究

通過(guò)上面的分析，我們已經(jīng)知道了機(jī)器人的連桿參數(shù)以及肘關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，加之已經(jīng)求得末端操作器的位置矩陣方程，那么只需要將這些內(nèi)容代入到運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中，并對(duì)得到的方程進(jìn)行矩陣變換，便可以求出相對(duì)于遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)系矩陣方程，即為下面的公式：

在上述的表達(dá)公式中，Px、Py、Pz分別表示末端操作器的位置。nx、ny、nz、ox、oy、oz、ax、ay、az分別表述末端操作器的姿態(tài)。如果將六軸工業(yè)機(jī)器人的各個(gè)關(guān)節(jié)角分別命名為θ1、θ2、θ3、θ4、θ5、θ6。將這些參數(shù)整合到公式之中，可以得到以下公式：

在這些公式之中，s1=sinθ1、c1=cosθ1、s23=sin（θ2+θ3）、c23=cos（θ2+θ3）。如果在初始位置過(guò)程時(shí)，工業(yè)機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的變量都按照0 來(lái)計(jì)算，那么D-H 參數(shù)可以準(zhǔn)確求出運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的結(jié)果，如下面公式所示。

5 六軸工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

5.1 六軸工業(yè)機(jī)器人建模

在建模過(guò)程中我們使用的是MATLAB 這款軟件。這款軟件主要是利用程序之中的算法，將復(fù)雜的數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的可視化目的。實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)可視化這一工程主要是因?yàn)樵摽钴浖哂袌D形處理的功能。這樣一來(lái)，使用人員便可以從復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算工作中脫離出來(lái)，而將這種數(shù)學(xué)計(jì)算的復(fù)雜任務(wù)交給該軟件。同時(shí)，該軟件除了數(shù)學(xué)計(jì)算的功能之外，還蘊(yùn)含了其他大量的工具，這些工具在處理圖形和構(gòu)建數(shù)學(xué)模式上有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

5.2 六軸工業(yè)機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真驗(yàn)證

本小節(jié)內(nèi)容主要采用對(duì)比的方法來(lái)驗(yàn)證機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是否正確。步驟如下，首先在了解工業(yè)機(jī)器人初始狀態(tài)下各個(gè)關(guān)節(jié)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度的基礎(chǔ)上，將這些參數(shù)代入到運(yùn)動(dòng)學(xué)方程之中，并將其輸入到MATLAB 程序中，從而得出正確的答案。如果人工計(jì)算和軟件計(jì)算的方式是一樣的，那么可以驗(yàn)證答案為正確的，但是如果二者的答案不一樣，這說(shuō)明運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是存在這樣一定誤差或者錯(cuò)誤的。

計(jì)算結(jié)果如表2 所示。

表2

通過(guò)對(duì)表格進(jìn)行深入分析，我們可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算的答案與軟件程度得到的答案是完全一致的，這說(shuō)明文章中的工業(yè)機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是正確的。

6 結(jié)束語(yǔ)

文章首先介紹了本文的研究對(duì)象為六軸工業(yè)機(jī)器人，分析了六軸工業(yè)機(jī)器人的數(shù)學(xué)內(nèi)容，然后采用參數(shù)方法建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。通過(guò)齊次變換的形式推導(dǎo)出了答案。為了驗(yàn)證答案，利用了MATLAB 軟件，最終證明正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式正確。將六軸工業(yè)機(jī)器人應(yīng)用在實(shí)際的生產(chǎn)之中，能夠有效提升生產(chǎn)的效率，對(duì)于中國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)有著積極的意義。