王 純，高于晰

(西安建筑科技大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，西安 710055)

0 引言

波達(dá)方向(DOA,direction of arrival)估計(jì)作為陣列信號(hào)處理的重要研究方向在雷達(dá)、通信、聲吶和生物醫(yī)學(xué)等眾多領(lǐng)域有至關(guān)重要的地位[1]。而絕大多數(shù)基于子空間類的算法需要已知信號(hào)源的數(shù)目，若信源數(shù)目出現(xiàn)欠估計(jì)或過估計(jì)，將直接影響DOA估計(jì)的結(jié)果[2-3]。故準(zhǔn)確的信源數(shù)估計(jì)是DOA估計(jì)的先決條件。并且在實(shí)際應(yīng)用中，由于系統(tǒng)對(duì)實(shí)時(shí)性的要求和陣列各陣元間的相關(guān)性，導(dǎo)致采樣數(shù)有限和色噪聲的干擾，傳統(tǒng)針對(duì)白噪聲的信源數(shù)估計(jì)方法在該背景下往往失效，因此研究色噪聲/低快拍下的信源數(shù)估計(jì)方法具有十分重要的意義。

常見的信源數(shù)估計(jì)方法包括特征值分解法、信息論方法[4-7]、蓋氏圓方法(GDE，gerschgorin’s disks estimation)[8-10]和正則相關(guān)技術(shù)[11]、使用深度學(xué)習(xí)的方法[12]。特征值分解法是通過信號(hào)特征值與噪聲特征值的大小差異，并結(jié)合階躍準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)信源數(shù)估計(jì)，計(jì)算簡單且準(zhǔn)確度較高，但不適用于低快拍、低信噪比和色噪聲條件。采用深度學(xué)習(xí)[12]的信源數(shù)估計(jì)方法能夠在特定條件下取得很好的效果，然而當(dāng)環(huán)境變化就需要重新對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，因此實(shí)用性有限?；谛畔⒄摰男旁磦€(gè)數(shù)估計(jì)方法[7]包括Akaike信息論準(zhǔn)則(AIC,akaike information theoretic criter)、最小描述長度準(zhǔn)則(MDL,minimum description length criterion)等計(jì)算量小，能很好地應(yīng)用于白噪聲條件，但在色噪聲條件下往往失效。近年來，學(xué)者對(duì)色噪聲背景下的信源數(shù)估計(jì)進(jìn)行了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[13]將對(duì)角加載技術(shù)用于信息論信源數(shù)估計(jì)方法，較好地改善了算法在色噪聲條件下的估計(jì)性能，而加載量的不同在一定程度上會(huì)對(duì)算法穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。正則相關(guān)技術(shù)[11]也可用于色噪聲條件，但需要兩個(gè)空間分離的陣列，大大降低了陣列的有效孔徑，實(shí)際工程使用性不強(qiáng)。文獻(xiàn)[14]利用對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)特征值進(jìn)行擬合，改善了特征值的發(fā)散程度，而擬合函數(shù)參數(shù)的固定在一定程度上降低了算法的魯棒性。蓋氏圓信源數(shù)估計(jì)方法沒有限定噪聲模型，因此可以應(yīng)用于白噪聲與色噪聲環(huán)境，但是在低快拍和低信噪比條件下成功估計(jì)概率降低，且該算法在酉變換過程中犧牲了一個(gè)自由度，使得計(jì)算過程產(chǎn)生的特征向量無法使用于后續(xù)的DOA估計(jì)。文獻(xiàn)[15]在蓋氏圓方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了升維處理，節(jié)省了一個(gè)自由度，但要對(duì)蓋氏圓半徑經(jīng)過M-1次擬合計(jì)算量較大，且在低快拍條件下性能有所下降。

在此基礎(chǔ)上，本文通過對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣在色噪聲/低快拍條件下的分析，提出了一種基于加權(quán)特征投影的信源數(shù)估計(jì)方法。該方法在降噪數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣特征值的基礎(chǔ)上引入信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性，構(gòu)建了加權(quán)空間矩陣，并將降噪后的協(xié)方差矩陣在該空間上進(jìn)行投影，利用投影得到的結(jié)果構(gòu)建判決函數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)信源數(shù)估計(jì)。

1 信號(hào)模型

假設(shè)一M元均勻放置的天線陣列，陣元間距為半波長，有K個(gè)遠(yuǎn)場窄帶不相干的信號(hào)從(θ1,θ2,θ3,…,θK)入射到陣列(K

X(t)=A(θ)*S(t)+N(t)

(1)

式中，S(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T為K×1維的信號(hào)矩陣；N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T為維噪M×1聲向量；A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…a(θK)]為M×K維的陣列導(dǎo)向矢量陣，其中a(θi)(i=1,2,…,K)為各信號(hào)的導(dǎo)向矢量，具體表達(dá)式如下：

(2)

假設(shè)信號(hào)與噪聲相互獨(dú)立，陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為：

RX=E[X(t)XH(t)]=ARSAH+RN

(3)

式中，RS=E[S(t)SH(t)]為信號(hào)協(xié)方差矩陣；RN=E[N(t)NH(t)]為噪聲協(xié)方差矩陣。

對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣RX進(jìn)行特征分解,可得：

RX=U∑UH

(4)

式中，∑=diag(λ1,λ2,…,λM)為特征值構(gòu)成的對(duì)角陣且滿足λ1≥λ2≥…≥λM；特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成矩陣U=[e1,e2,…eM]。

色噪聲是由各個(gè)陣元間的互耦和噪聲的相關(guān)性，以及各通道內(nèi)部噪聲功率的不同所產(chǎn)生的。其噪聲協(xié)方差矩陣不再是一個(gè)對(duì)角陣(與白噪聲相比)，同時(shí)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的噪聲特征值不再圍繞噪聲功率分布，導(dǎo)致噪聲特征值的發(fā)散，進(jìn)而影響到利用特征值進(jìn)行信源數(shù)估計(jì)的相關(guān)算法的性能。

通常，數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣展開可得：

RX=E[X(t)XH(t)]=

ARSAH+2Re(RSN)+RN

(5)

實(shí)際中，往往采用以下有限次快拍的數(shù)據(jù)采樣協(xié)方差矩陣逼近RX：

(6)

而當(dāng)快拍數(shù)有限時(shí)，數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的交叉項(xiàng)不再為0，RSN≠0，RN不再為對(duì)角陣。因此，有限快拍數(shù)增加了信號(hào)之間、信號(hào)與噪聲之間以及各陣元噪聲之間的相關(guān)性。那么，在色噪聲/低快拍條件下，如果直接使用協(xié)方差矩陣的特征值進(jìn)行信源數(shù)估計(jì)，估計(jì)性能不佳。接下來，將在特征值的基礎(chǔ)上引入信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性，提出一種基于加權(quán)特征投影的信源數(shù)估計(jì)方法。

2 基于加權(quán)特征投影的信源數(shù)估計(jì)方法

2.1 陣列接收協(xié)方差矩陣分塊表達(dá)

預(yù)將陣列接收協(xié)方差矩陣RX用分塊的形式表達(dá)，先將陣列導(dǎo)向矢量A按行分塊可寫作：

(7)

其中：

(8)

則陣列接收的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可以表示為[16]：

(9)

由于信源均互不相關(guān)，且RS為滿秩的對(duì)角陣，故RSbi≠0(i=1,2,…,M)。

2.2 加權(quán)空間矩陣的構(gòu)建

在實(shí)際應(yīng)用中，為了保證算法在低信噪比條件下的性能，首先對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)處理。因受快拍數(shù)低的影響，噪聲所對(duì)應(yīng)的小特征值為非零的較小值，可以選取最小的兩個(gè)特征值的均值對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行降噪處理，得到新的協(xié)方差矩陣：

(10)

式中,I為M×M的單位陣。

然后，對(duì)降噪后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解：

(11)

式中，∑′=diag(μ1,μ2,…,μM)為特征值構(gòu)成的對(duì)角陣；U′=[ξ1,ξ2,…,ξM]，ξi(i=1,2,…M)為特征值μi對(duì)應(yīng)的特征向量。將特征值作為對(duì)應(yīng)特征向量的權(quán)值，構(gòu)造了加權(quán)空間矩陣G，表達(dá)如下：

G=U′∑′=

[ξ1,ξ2,…,ξM]·diag(μ1,μ2,…,μM)=

[μ1ξ1,μ2ξ2,…,μMξM]

(12)

G是通過特征值μi對(duì)特征空間U′進(jìn)行加權(quán)變換得到的加權(quán)空間矩陣。

2.3 判據(jù)值的縮放

(13)

ri=|ρi| =|μiHξiHARSbjH|≤|μiH||ξiHA||RSbjH| =

k|μiH||ξiHA|→0(j=1,2,…,M)

(14)

ri=|ρi| =|μiHξiHARSbjH|≤|μiH||ξiHA||RSbjH| =

k|μiH||ξiHA| >0(j=1,2,…,M)

(15)

2.4 信源數(shù)估計(jì)方法

基于以上理論研究和矩陣分析，進(jìn)行信源數(shù)估計(jì)，首先定義函數(shù)：

(16)

式中，k取1,2,…,M，即(13)式中每一行中各元素先開方后求其均值。構(gòu)造判決函數(shù)：

(17)

式中,L為快拍數(shù)，D(L,M)是一個(gè)與陣元數(shù)和快拍數(shù)有關(guān)的調(diào)整因子，它在0至1之間選取，與陣元數(shù)和快拍數(shù)均成正比，陣元數(shù)和快拍數(shù)越多D(L,M)的取值越接近于1。k取1,2,…,M，所有使Δ(k)>0的f(k)個(gè)數(shù)即為信源數(shù)目。

3 算法步驟

步驟1:計(jì)算陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣：RX=E[X(t)XH(t)]；

步驟3:對(duì)新協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，根據(jù)式(12)利用得到的特征值和特征向量構(gòu)造空間矩陣G；

步驟5:根據(jù)式(16)，求出M個(gè)函數(shù)值f(k)；

4 算法性能分析說明

本算法通過對(duì)原協(xié)方差矩陣進(jìn)行降噪預(yù)處理，該步驟可以降低噪聲判據(jù)值，從而使算法應(yīng)用于低信噪比環(huán)境中；本方法沒有對(duì)噪聲模型進(jìn)行特定限制，可應(yīng)用于色噪聲背景下。特別是在劃分噪聲和信號(hào)時(shí)，本文提出了進(jìn)一步縮小噪聲的判據(jù)值和放大信號(hào)的判據(jù)值的方法，具體說明如下：

5 算法復(fù)雜度分析

本文方法的計(jì)算量包括：對(duì)M階協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解的計(jì)算量約為M3；對(duì)M階去特征的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解的計(jì)算量約為M3；加權(quán)投影部分計(jì)算量為2M3，故本文方法的總體計(jì)算量為4M3。而經(jīng)典的GDE算法的計(jì)算量集中在M-1階矩陣特征分解和M階矩陣酉變換部分。改進(jìn)蓋氏圓算法(MGDE,modified gerschgorin’s disks estimation)與GDE算法相比增加了一次酉變換的計(jì)算量。信息論方法的計(jì)算量主要集中在M階協(xié)方差矩陣的特征分解和似然函數(shù)[7]的計(jì)算。如表1所示，將本文方法與信息論方法、GDE算法以及MGDE算法的算法復(fù)雜度進(jìn)行了對(duì)比。本文方法計(jì)算復(fù)雜度略低于MGDE算法，但高于信息論方法和GDE算法。對(duì)比信息論算法和GDE算法，本文方法計(jì)算復(fù)雜度的提升換來了在兩種噪聲背景下及低快拍、低信噪比條件下的性能提升。

表1 算法復(fù)雜度對(duì)比

6 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)設(shè)置：仿真采用陣元間距為半波長的7陣元均勻線陣(理論最大檢測信源數(shù)為6)，信源數(shù)分別設(shè)定為為2個(gè)和5個(gè)信源，在不同信噪比和快拍下進(jìn)行200次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)，通過成功檢測信源數(shù)目的概率評(píng)價(jià)算法性能。

為了驗(yàn)證本文提出算法的有效性，實(shí)驗(yàn)在白噪聲條件下與AIC準(zhǔn)則、MDL準(zhǔn)則、GDE準(zhǔn)則、MGDE算法和文獻(xiàn)[15]算法進(jìn)行仿真對(duì)比，分析不同條件下的算法性能。

6.1 白噪聲條件下仿真分析

實(shí)驗(yàn)一：陣元數(shù)為7時(shí)，在白噪聲條件下，依次給出多快拍和低快拍兩種情況的信源數(shù)目成功檢測概率隨信噪比的變化情況。仿真條件如下：快拍數(shù)分別為100和10，有2個(gè)獨(dú)立信源，分別由-10°和0°入射到7陣元的均勻線陣，陣元間距為半波長，得到成功檢測概率隨信噪比的變化情況。

多快拍條件下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1(a)所示，可以看出4種算法的成功檢測概率均隨SNR增大而增大。其中本文算法在信噪比大于-3 dB時(shí)信源數(shù)成功檢測概率達(dá)到100%，MDL準(zhǔn)則在信噪比為0 dB時(shí)信源數(shù)成功檢測概率達(dá)到100%，MGDE算法在信噪比大于1 dB時(shí)信源數(shù)成功檢測概率達(dá)到100%，文獻(xiàn)[15]的算法在信噪比大于8 dB時(shí)，成功檢測概率接近100%，AIC準(zhǔn)則和GDE準(zhǔn)則均低于本文算法，可見本文算法性能在低信噪比條件下略優(yōu)于AIC準(zhǔn)則、MDL準(zhǔn)則、MGDE算法、GDE準(zhǔn)則和文獻(xiàn)[15]算法；低快拍條件下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1(b)所示，可以看出信息論算法受快拍數(shù)影響大，性能下降較快。本文算法在信噪比大于2 dB時(shí)信源數(shù)成功檢測概率達(dá)到100%，明顯高于GDE準(zhǔn)則、MGDE算法和文獻(xiàn)[15]算法。可見，本文算法在多快拍和低快拍兩種情況下都優(yōu)于其他5種算法。

圖1 信源數(shù)為2時(shí)，白噪聲條件下，成功檢測概率隨SNR變化

實(shí)驗(yàn)二：陣元數(shù)不足時(shí)，在白噪聲條件下，依次給出多快拍和低快拍兩種情況的信源數(shù)目成功檢測概率隨信噪比的變化情況。仿真條件如下：快拍數(shù)分別為100和10，有5個(gè)獨(dú)立信源，分別由-25°、-10°、0°、10°和25°入射到7陣元的均勻線陣，陣元間距為半波長，得到成功檢測概率隨信噪比的變化情況。

多快拍條件下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2(a)所示，可以看出本文方法的成功檢測概率達(dá)到100%時(shí)的信噪比為9 dB，MDL準(zhǔn)則大于8 dB時(shí)其成功檢測概率近似達(dá)到100%但略有波動(dòng)，文獻(xiàn)[15]算法成功檢測概率達(dá)到100%時(shí)信噪比為10 dB但略有波動(dòng)，AIC準(zhǔn)則、MGDE算法和GDE準(zhǔn)則其檢測性能明顯低于本文算法；低快拍條件下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2(b)所示，可以看出當(dāng)信噪比大于16 dB時(shí)，本文算法成功檢測概率達(dá)到100%，文獻(xiàn)[15]算法當(dāng)信噪比大于16 dB時(shí)，成功檢測概率達(dá)到100%但略有波動(dòng)，而AIC準(zhǔn)則、MDL準(zhǔn)則、MGDE算法和GDE準(zhǔn)則還未達(dá)到。

圖2 信源數(shù)為5時(shí)，白噪聲條件下，成功檢測概率隨SNR變化

實(shí)驗(yàn)三：陣元數(shù)一定時(shí)，在白噪聲條件下，為檢測算法在不同信源個(gè)數(shù)下的估計(jì)性能，給出了成功檢測概率隨信源個(gè)數(shù)的變化情況。仿真條件如下：陣元數(shù)為7，快拍數(shù)取100，信噪比為15 dB，信源數(shù)分別取1至6，信源為來自不同方向的獨(dú)立信源，得到成功檢測概率隨信源數(shù)變化的情況。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，信源數(shù)為1至5時(shí)，本文方法、MGDE算法、MDL準(zhǔn)則成功檢測概率為100%，GDE準(zhǔn)則近似100%，AIC準(zhǔn)則與文獻(xiàn)[15]算法均未達(dá)到100%。信源數(shù)為6時(shí)，AIC準(zhǔn)則成功檢測概率接近50%，其余5種算法均接近0?？梢钥闯霰疚姆椒?，犧牲了自由度換取了在不同信源個(gè)數(shù)條件下較高的成功檢測概率。

圖3 白噪聲條件下，成功檢測概率隨信源數(shù)變化

6.2 色噪聲條件下仿真分析

實(shí)驗(yàn)四：陣元數(shù)充足時(shí)，在色噪聲條件下，依次給出多快拍和低快拍兩種情況的信源數(shù)目成功檢測概率隨信噪比的變化情況。各陣元產(chǎn)生的色噪聲是由高斯白噪聲激勵(lì)一個(gè)穩(wěn)定的ARMA模型產(chǎn)生的[17]。仿真條件如下：快拍數(shù)分別為100和10，有2個(gè)獨(dú)立信源，分別由-10°和0°入射到7陣元的均勻線陣，陣元間距為半波長，得到成功檢測概率隨信噪比的變化情況。

多快拍條件下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4(a)所示，可以看出當(dāng)信噪比為6 dB時(shí)本文算法成功檢測概率達(dá)到100%，MGDE算法當(dāng)信噪比為9 dB時(shí)成功率達(dá)到100%，GED準(zhǔn)則當(dāng)信噪比大于16 dB時(shí)成功檢測概率為100%；低快拍條件下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4(b)所示，可以看出當(dāng)信噪比為9 dB時(shí)本文算法成功檢測概率達(dá)到100%，MGDE算法當(dāng)信噪比為15 dB時(shí)成功率達(dá)到100%，GED準(zhǔn)則當(dāng)信噪比大于16 dB時(shí)成功檢測概率為100%?？梢?，在色噪聲條件下，本文算法優(yōu)于MGED算法和GED準(zhǔn)則。

圖4 信源數(shù)為2時(shí)，色噪聲條件下，成功估計(jì)信源數(shù)隨SNR變化

實(shí)驗(yàn)五：陣元數(shù)不足時(shí)，在色噪聲條件下，依次給出多快拍和低快拍兩種情況的信源數(shù)目成功檢測概率隨信噪比的變化情況。同樣各陣元產(chǎn)生的色噪聲是由高斯白噪聲激勵(lì)一個(gè)穩(wěn)定的ARMA模型產(chǎn)生的[24]。仿真條件如下：快拍數(shù)分別為100和10，有5個(gè)獨(dú)立信源，分別由-25°、-10°、0°、10°和25°入射到7陣元的均勻線陣，陣元間距為半波長，得到成功檢測概率隨信噪比的變化情況。

多快拍條件下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5(a)所示，可以看出當(dāng)信噪比為10 dB時(shí)本文算法成功檢測概率達(dá)到100%，MGED算法在信噪比為14 dB時(shí)成功率達(dá)到100%，GED準(zhǔn)則在信噪比為20 dB時(shí)仍未達(dá)到100%；低快拍條件下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5(b)所示，可以看出當(dāng)信噪比大于11 dB時(shí)本文算法成功檢測概率接近100%且略有波動(dòng)，MGED算法在信噪比為18 dB時(shí)成功率接近100%，GED準(zhǔn)則當(dāng)信噪比為20 dB時(shí)仍未達(dá)到100%?？梢姡谏肼晽l件下，本文算法優(yōu)于MGED算法和GED準(zhǔn)則。

圖5 信源數(shù)為5時(shí)，色噪聲條件下，成功估計(jì)信源數(shù)隨SNR變化

實(shí)驗(yàn)六：陣元數(shù)一定時(shí)，在色噪聲條件下，為檢測算法在不同信源個(gè)數(shù)下的估計(jì)性能，給出了成功檢測概率隨信源個(gè)數(shù)的變化情況。仿真條件如下：陣元數(shù)為7，快拍數(shù)取100，信噪比為15 dB，信源數(shù)分別取1至6，信源為來自不同方向的獨(dú)立信源，得到成功檢測概率隨信源數(shù)變化的情況。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示，信源數(shù)為1至5時(shí)，本文方法成功檢測概率為100%，信源數(shù)為6時(shí)成功檢測概率下降至0。GDE準(zhǔn)則和MGDE算法當(dāng)信源數(shù)變?yōu)?時(shí)，成功檢測概率下降，信源數(shù)為6時(shí)，成功檢測概率下降至0。

圖6 色噪聲條件下，成功檢測概率隨信源數(shù)變化

7 結(jié)束語

本文提出了基于加權(quán)特征投影的信源數(shù)估計(jì)方法，利用降噪后協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量構(gòu)建了加權(quán)空間矩陣，通過空間投影使得信號(hào)判據(jù)值遠(yuǎn)大于噪聲判據(jù)值，最后通過構(gòu)建判決函數(shù)實(shí)現(xiàn)信源數(shù)估計(jì)。通過理論分析證明了該方法的可行性，并分別在白噪聲和色噪聲兩種情況下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明本文算法受陣元數(shù)目影響較小，且在低快拍、低信噪比條件下也具有優(yōu)良的估計(jì)性能,更適于工程應(yīng)用。