劉淑華

摘 要：當(dāng)前，落實(shí)核心素養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。為達(dá)到預(yù)期的落實(shí)效果，應(yīng)做好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)學(xué)習(xí)與研究，充分滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵，結(jié)合學(xué)生實(shí)際以及教學(xué)經(jīng)驗(yàn)采取針對性的落實(shí)策略。其中通過錯(cuò)題分析既能澄清學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解，又能為核心素養(yǎng)的落實(shí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。本文就如何借助錯(cuò)題分析，落實(shí)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);落實(shí);錯(cuò)題;分析

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的表現(xiàn)包括獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、提出數(shù)學(xué)命題和模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想、認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與體系。授課中應(yīng)做好這些內(nèi)容的分析，尋找其與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的契合點(diǎn)，通過錯(cuò)解過程展示、出錯(cuò)原因分析、糾正解題過程等環(huán)節(jié)，充分挖掘獲取價(jià)值，確保核心素養(yǎng)的認(rèn)真落實(shí)。

一、借助錯(cuò)題，促進(jìn)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念和規(guī)則

獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。課堂上為使學(xué)生掌握獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的相關(guān)技巧，保證解題的正確性。一方面，認(rèn)真匯總與篩選學(xué)生出錯(cuò)率較高的數(shù)學(xué)習(xí)題，在課堂上通過展示錯(cuò)解過程，要求學(xué)生對照自身的解題過程，看是否犯下類似錯(cuò)誤，使其能夠及時(shí)糾正誤區(qū)，把握數(shù)學(xué)概念與規(guī)則的本質(zhì)。另一方面，通過錯(cuò)題的分析，使學(xué)生掌握抽象出數(shù)學(xué)概念與規(guī)則的相關(guān)細(xì)節(jié)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和規(guī)則解題的注意事項(xiàng)，給以后更好的解答帶來良好啟發(fā)。

北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)是各種彎曲空間的運(yùn)用，刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容。用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和。例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π-3×=π，故其總曲率為4π。（1）求四棱錐的總曲率：（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)。

學(xué)生解答該題時(shí)因?qū)︻}目中給出的規(guī)則理解不深入而出錯(cuò)。針對（1）四棱錐有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)側(cè)面是三角形，一個(gè)底面是四邊形，根據(jù)題目中的規(guī)則可計(jì)算出其總曲率為5×2π-4π-2π=4π。對于（2）這多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V、棱數(shù)E、面數(shù)為F，每個(gè)面分別記為ni（i∈[1，F(xiàn)]）邊形，則其所有面角和為=2π（E-F），則多面體的總曲率為2πV-2π（E-F）=4π，得證。

二、借助錯(cuò)題，使學(xué)生學(xué)會(huì)提出數(shù)學(xué)命題和模型

提出數(shù)學(xué)問題和模型是一項(xiàng)重要的能力，是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要構(gòu)成部分。授課中應(yīng)注重運(yùn)用錯(cuò)誤資源，通過展示錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生糾正錯(cuò)誤，使學(xué)生學(xué)會(huì)提出數(shù)學(xué)問題和模型，并運(yùn)用所學(xué)進(jìn)行相關(guān)問題的證明和模型的解答，一方面，為學(xué)生展示相關(guān)習(xí)題后，故意展示錯(cuò)誤的解題過程，要求學(xué)生認(rèn)真分析，思考解題過程是否錯(cuò)誤，錯(cuò)在哪里，激活數(shù)學(xué)課堂的同時(shí)，促使學(xué)生主動(dòng)的思考，更好的加深其印象。另一方面，引導(dǎo)學(xué)生做好聽課的反思，把握提出數(shù)學(xué)命題和模型的思路，尤其啟發(fā)學(xué)生為保證解題的正確性，在分析問題時(shí)應(yīng)考慮全面，注重分類討論思想的應(yīng)用。

在△ABC中給出如下4個(gè)條件：①S△ABC=;②b2+ac=a2+c2;③=2或;④b=;以其中三個(gè)為條件剩下的一個(gè)為結(jié)論，請寫出一個(gè)正確的命題，并證明過程。

錯(cuò)解過程：若①②③，則④。證明如下：

∵b2+ac=a2+c2，由余弦定理得到：cosB==，∴B=60°，又∵S△ABC=，則acsinB=，得到ac=2?！?2或，設(shè)=2，則a=2，c=1，由余弦定理得到b2=3，則b=，得證。

錯(cuò)因分析：雖然根據(jù)題設(shè)正確的提出了命題，但在證明的過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)。只是考慮了=2這一種情況，遺漏了=時(shí)，是否能夠推出b=，因此，解題時(shí)需要考慮每一種可能。

正解過程：∵b2+ac=a2+c2，由余弦定理得到：cosB==，∴B=60°，又∵S△ABC=，則acsinB=，得到ac=2。（1）當(dāng)=2時(shí)，則a=2，c=1，由余弦定理得到b2=3，則b=;（2）當(dāng)=時(shí)，則a=1，b=2，由余弦定理可推出b2=3，則b=;綜上可知提出的命題是正確的。

三、借助錯(cuò)題，啟發(fā)學(xué)生形成數(shù)學(xué)方法與思想

形成數(shù)學(xué)方法與思想，可指引學(xué)生更好的解題，有效的避免其在解題中走彎路，提高解題正確率。教學(xué)中應(yīng)注重運(yùn)用錯(cuò)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到形成數(shù)學(xué)方法與思想的重要性，在學(xué)習(xí)中養(yǎng)成注重總結(jié)的良好習(xí)慣。一方面，對學(xué)生做錯(cuò)的題題進(jìn)行歸類，而后圍繞具體例題，為學(xué)生展示、分析錯(cuò)誤的解題過程，要求學(xué)生積極聯(lián)系所學(xué)，分析避免出錯(cuò)的解題方法和思想。另一方面，要求學(xué)生做好錯(cuò)誤習(xí)題的摘抄，建立專門的錯(cuò)題本，總結(jié)出錯(cuò)習(xí)題考查的知識(shí)點(diǎn)，詳細(xì)的寫出正確的解題過程，提醒其以后更好的解題，避免其犯下類似錯(cuò)誤的同時(shí)，方便以后復(fù)習(xí)。

已知{an}為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為21，公差為-4，求Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…|an|。

錯(cuò)解過程：根據(jù)題意an=25-4n，則當(dāng)an≥0時(shí)，n≤，則數(shù)列的前6項(xiàng)大于0，從第7項(xiàng)開始，以后各項(xiàng)均小于0。

Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…|an|=（a1+a2+a3+…+a6）-（a7+a8+…+ak）

=2（a1+a2+a3+…+a6）-（a1+a2+a3+…+a6+a7+a8+…+ak）=2S6-Sn=2n2-23n+132

錯(cuò)因分析：該計(jì)算過程僅考慮了n≥7時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)各項(xiàng)絕對值的和，漏掉了n≤6的情況。遇到該類問題應(yīng)注意分類討論。針對該題應(yīng)注意如下策略的應(yīng)用：

當(dāng)n≤m時(shí)，Sn=a1+a2+…+an=;當(dāng)n≥m，則Sn=a1+a2+…+am-（am+1+…+an）=2Sm-Sn。

正解過程：根據(jù)題意an=25-4n，則當(dāng)an≥0時(shí)，n≤，則數(shù)列的前6項(xiàng)大于0，從第7項(xiàng)開始，以后各項(xiàng)均小于0。

當(dāng)n≤6時(shí)，Sn=a1+a2+…+an=-2n2+23n;當(dāng)n≥7時(shí)，Sn=2S6-Sn=2n2-23n+132，綜上可知：Sn=。

四、借助錯(cuò)題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系，有助于其構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，更好的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，在解題中靈活、正確運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確的表達(dá)。教學(xué)中應(yīng)注重借助錯(cuò)題給學(xué)生帶來學(xué)習(xí)上的引導(dǎo)，使其更加深刻的把握數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與體系。一方面，與學(xué)生一起總結(jié)較為相近的數(shù)學(xué)知識(shí)，使其更好的把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的區(qū)別，使其準(zhǔn)確記憶，深入理解。另一方面，課堂上通過講解習(xí)題的錯(cuò)誤解答過程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到錯(cuò)在何處，給其留下深刻印象，在以后的解題中能夠正確的應(yīng)用。

以下五種關(guān)系：①0N;②{0};③0;④{}{0};⑤{0}。其中正確的關(guān)系有______。

錯(cuò)解過程：0不是自然數(shù)，因此，0N錯(cuò)誤，①錯(cuò);“”表示的是集合元素和集合的關(guān)系，和{0}是兩個(gè)集合，②錯(cuò)誤;空集中不含有任何元素，因此，0，③錯(cuò)誤;空集是任何非空集合的真子集，因此，④{}{0}、⑤{0}均正確，即正確的關(guān)系有④⑤。

錯(cuò)因分析：題目考查了集合元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。學(xué)生之所出錯(cuò)原因在于對集合中包含的元素認(rèn)識(shí)不清晰，將符號(hào)“”和“”、“”和“{}”搞混淆等，在使用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)張冠李戴。

正解過程：0是最小的自然數(shù)，因此，0N①正確;表示空集，不能使用“”表示集合之間的關(guān)系，{0}是不正確的;空集中不含有元素，0不對;{}、{0}表示兩個(gè)集合，{}中只含有一個(gè)元素，{0}只含有一個(gè)元素0，因此，{}{0}是錯(cuò)誤的;空集是任何非空集合的真子集，{0}正確。綜上正確的關(guān)系有：①⑤。

結(jié)束語

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方法多種多樣，應(yīng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際，制定系統(tǒng)、詳細(xì)的落實(shí)計(jì)劃，尤其應(yīng)借助錯(cuò)題落實(shí)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)培養(yǎng)工作。教學(xué)中通過該素養(yǎng)內(nèi)容的解讀以及錯(cuò)題資源的整合，進(jìn)一步澄清學(xué)生認(rèn)識(shí)，深化學(xué)生理解，使其牢固掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得以顯著提升。

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