陶磊

2021年是新高考“3+3”模式、“3+1+2”模式在全國(guó)大范圍實(shí)踐的第一年. 新高考模式下的高考數(shù)學(xué)試題將數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查融入平淡無(wú)奇的背景之中，不僅充分體現(xiàn)了命題人的命題智慧，也為廣大的一線教師研究數(shù)學(xué)教學(xué)提供了寶貴的材料，為今后的課堂數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向. 本文是筆者研讀高考試題的一些心得體會(huì).

一、重視基本概念，從課本中汲取營(yíng)養(yǎng)

例1. 有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球. 甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（? ?）

A. 甲與丙相互獨(dú)立

B. 甲與丁相互獨(dú)立

C. 乙與丙相互獨(dú)立

D. 丙與丁相互獨(dú)立

賞析：這道試題背景在課本中屢見不鮮，學(xué)生非常熟悉. 許多考生出考場(chǎng)后非常開心，都認(rèn)為第8題很簡(jiǎn)單，答案就是A. 因?yàn)槭录缀褪录g是否發(fā)生相互不受影響. 其實(shí)，這道試題的考點(diǎn)非常明確，就是考查事件的相互獨(dú)立性.

設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨(dú)立. 顯然，要正確解答這道試題，首先是要計(jì)算出甲、乙、丙、丁等相關(guān)事件的概率，然后再根據(jù)事件的相互獨(dú)立性的定義做出判斷. 因此，相關(guān)事件概率的計(jì)算才是本道試題考查的核心. 這么多個(gè)概率值，如何能迅速、準(zhǔn)確地計(jì)算出來(lái)？其實(shí)，課本上早已經(jīng)給出了最有效的計(jì)算方法——列表法. 如下表所示，豎列數(shù)字表示第一次取出的球的數(shù)字，橫排數(shù)字表示第二次取出的球的數(shù)字，以坐標(biāo)的形式表示隨機(jī)兩次取出的球的數(shù)字的所有情況. 從表中，我們可以很輕松地計(jì)算出甲、乙、丙、丁四個(gè)事件的概率分別是、、、. 由事件的相互獨(dú)立性的定義P（AB）=P（A）P（B）來(lái)判斷，只有答案B是正確的.

二、掌握基本方法，根據(jù)問(wèn)題融會(huì)貫通

例2. 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，

an+1=an+1，n為奇數(shù)

an+2，n為偶數(shù) .

（1）記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

（2）求{an}的前20項(xiàng)和.

賞析：本試題是利用分段函數(shù)的形式來(lái)給出數(shù)列{an}的遞推式，許多學(xué)生直接計(jì)算求出答案，這種解題方式缺少了“數(shù)學(xué)味”. 其實(shí)，我們將題目轉(zhuǎn)換成另一種表達(dá)方式就很容易看清題意.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，記n=2k-1（k∈N+），則a2k=a2k-1+1. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，記n=2k（k∈N+），則a2k+1=a2k+2. 由此，我們就很容易得出：a2k+1=a2k-1+3、a2k+2=a2k+3. 這也就是說(shuō)：在數(shù)列{an}中，a1，a3，a5，…構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)、3為公差的等差數(shù)列;a2，a4，a6，…，an構(gòu)成一個(gè)以2為首項(xiàng)、3為公差的等差數(shù)列. 看清了問(wèn)題的本質(zhì)，解答問(wèn)題就等心應(yīng)手了.

例3. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1（-，0），F(xiàn)2（，0）點(diǎn)M滿足MF1-MF2=2. 記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=上，過(guò)T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

賞析：第（1）問(wèn)是考查雙曲線的定義.根據(jù)雙曲線的定義，很容易求出軌跡C為雙曲線的右半支，其方程為x2-=1（x≥1）.

第（2）問(wèn)是本道試題考查的重點(diǎn)和難點(diǎn). 首先是如何利用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示TA·TB=TP·TQ;其次，就是計(jì)算問(wèn)題. 弦長(zhǎng)公式是高中學(xué)生最熟悉的公式之一，如弦長(zhǎng)AB==. 其實(shí)，弦長(zhǎng)公式就是由平面上兩點(diǎn)間的距離公式經(jīng)推導(dǎo)變形而來(lái)的. 也就是說(shuō)，TA·TB=TP·TQ也可以使用弦長(zhǎng)公式來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)換運(yùn)算.

如設(shè)點(diǎn)T（，n），直線AB的方程為：y-n=k1（x-），聯(lián)立y-n=k1（x-

），

x2

-=1，得（16-k12）x2+（k12-2k1n）x-k12-n2+k1n-16=0. 由韋達(dá)定理可以得到xA+xB=，xAxB=. 由于交點(diǎn)A、B均在直線x=的右側(cè)，所以TA=（xA-）、TB=（xB-），故TA·TB=（1+k12）（xA-）（xB-）=（1+k12）[xAxB-（xA+xB）+]. 同理也可以求出TP·TQ的表達(dá)式，再由TA·TB=TP·TQ得出等式，將所得到的等式化簡(jiǎn)、整理、計(jì)算，可以求出直線AB的斜率k1與直線PQ的斜率k2之和為0.

三、加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)思維分析問(wèn)題

例4. 某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折. 規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推. 則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為? ? ? ? ;如果對(duì)折n次，那么Sk=? ? ? ? ?dm2.

賞析：這道試題的背景平凡普通，是希望通過(guò)考查學(xué)生的具體實(shí)驗(yàn)操作，讓學(xué)生在思維層次上體驗(yàn)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的完美過(guò)程. 對(duì)稱折紙，在小學(xué)數(shù)學(xué)中就有這種實(shí)踐體驗(yàn)，但是在高考試題中出現(xiàn)，主要的目的還是考查學(xué)生的抽象思維能力. 由于長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形，沿對(duì)稱軸對(duì)折后得到的圖形依然是長(zhǎng)方形. 對(duì)折1次共可以得到兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240×（）1×2=240dm2;對(duì)折2次共可以得到三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=240×（）2×3=180dm2. 以此類推，對(duì)折n次共可以得到n+1種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Sn=240×（）n×（n+1）dm2. 顯然，計(jì)算Sk是考查數(shù)列求和的重要方法——錯(cuò)位相減法. 將重要的考點(diǎn)不動(dòng)聲色地藏于平凡普通的背景之中，這不能不讓人贊嘆命題人的命題智慧！這也真實(shí)、生動(dòng)地闡釋了“數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，但又高于現(xiàn)實(shí)”的內(nèi)涵.

當(dāng)然，讓學(xué)生在考場(chǎng)上做實(shí)驗(yàn)、慢慢地研究其中的規(guī)律并歸納總結(jié)，顯然難度是極大的. 高考試題與其是說(shuō)考查學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的能力，倒不如說(shuō)是考查學(xué)生“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界”的良好習(xí)慣.

責(zé)任編輯 羅 峰