朱小平

數(shù)學教學離不開習題。習題教學必須明方向、理思路、有邏輯、重思維，方能使學生擺脫思維之困，提升解題能力，發(fā)展學科素養(yǎng)。

人教版數(shù)學七年級上冊第130頁習題4.2第11題是一道拓展探索題。如圖1所示，一只螞蟻要從正方體的一個頂點A沿表面爬行到頂點B，怎樣爬行路線最短？如果要爬行到頂點C呢？說出你的理由。

一次聽課活動中，執(zhí)教教師是這樣處理的：學生以小組為單位邊觀察圖1邊討論如何解題，用時20多分鐘之后，教師讓學生分享討論結(jié)果，一共得到4種從點A到點C的最短路徑。這樣教學，不僅費時費力，而且效果不好。究其原因，教師在解決此題的過程中既沒拿實物演示，也沒有畫出相應(yīng)的展開圖進行直觀講解，更沒有深入地挖掘問題的本質(zhì)，探索出行之有效的解決問題的方法。

接下來，筆者分享自己對于此題的探究過程。

首先，每個小組準備正方體盒子若干，按圖2標注頂點A、B、C，并在六個面分別標注上、下、前、后、左、右字樣。

然后，先后出示5個問題。

問題1：從點A到點B如何走最近？理由是什么？（兩點之間，線段最短）

問題2：從點A到點C如何走最近？理由是什么？（從點A到點B再到點C）

問題3：上述答案對嗎？對要說明理由，不對則給出正確路徑并解釋。

通過學生的解答，筆者發(fā)現(xiàn)，學生有轉(zhuǎn)化問題的意識和實際拼接經(jīng)驗，但缺乏明晰的方向與有序的思考，只能借助直觀、動手操作、觀察發(fā)現(xiàn)獲取從點A到點C的最短路徑的部分方法，而不能將立體圖形快速展開，準確形成點A、點C的共面，不重不漏地找出所有的最短路徑?；诖耍P者繼續(xù)出示了問題4。

問題4：剛才我們通過把盒子的某些面拆拼到一起，得到了一些最短路徑，如果沒有紙盒供拆拼，我們怎樣才能迅速找到所有的最短路徑呢？

通過小組合作交流，學生認為沒有實物的情況下，只能借助圖形思考，想象點A、點C拼在同一平面的情形。顯然，學生只能從實踐操作到空間想象，不能到達邏輯推理的高度，缺乏用數(shù)學的思維思考、分析、解決問題的能力。于是，筆者追問：研究一個幾何對象，我們通常會從組成它的元素開始研究，那么正方體有哪些元素？（頂點、棱、面）從元素出發(fā)，這個問題又該怎樣研究呢？學生發(fā)現(xiàn)，從點A到點C的最短路徑必然與起點A和終點C這兩個頂點元素有關(guān)，螞蟻要從起點A沿正方體的表面爬行到終點C，一定會經(jīng)過含點A和點C的面，而點A、點C不共面，點A在“前”“上”“左”三面，點C在“后”“下”“右”三面，尋求從點A到點C的最短路徑，就是要將空間問題平面化，把含點A的面與含點C的面組合在同一平面（如圖3），即利用“兩點之間，線段最短”獲取路徑。

最后，為了更清楚、更有條理地表示這一過程，筆者用圖4、圖5、圖6依序說明：前后、上下、左右這些兩兩相對的面可看成是對稱的，若從前下、前右、上右組合的面可以找到最短路徑，則其對稱的組合上后、左后、左下也必然成立，只有相鄰面才能拼接，而相對面平行，無法拼接。

通過對問題4的探討，學生得出了找“直線爬行路徑”的一般方法。那么，這些路徑是否都是最短路徑呢？筆者出示問題5：將立體圖形展開成平面圖形后，一共有6種從點A到點C的直線爬行路徑，這些路徑的長度一樣嗎？都是最短的嗎？

學生通過比較路徑長度，發(fā)現(xiàn)它們都是由兩個相同大小的正方形組成的長方形的對角線的長度，故最短路徑有6種，分別經(jīng)過前下、前右、上后、上右、左后、左下這些面的展開圖。

此題解決的是“空間內(nèi)兩點間的最短距離”問題，學生受思維定式影響，給出了從點A到點B再到點C的錯誤的直覺判斷。此時，筆者讓學生借助實物操作，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，探索發(fā)現(xiàn)了正確結(jié)論。筆者引導學生從直觀走向抽象、從想象走向推理，由一道題的討論引申出一般思想方法的運用。

（作者單位：襄陽市襄州區(qū)教育教學研究中心）

責任編輯? 張敏