牛曼蘭
(安徽新華學(xué)院 通識教育部, 合肥 230088)
足球運動中的旋轉(zhuǎn)球指的是足球運動員運用不同的腳法,踢出球并使球在空中向前作弧線運行的過程[1]。根據(jù)腳法的不同,可以將足球旋轉(zhuǎn)分為內(nèi)旋球與外旋球。對不同旋轉(zhuǎn)球進(jìn)行力學(xué)分析,能夠為日常的足球訓(xùn)練提供科學(xué)的訓(xùn)練數(shù)據(jù),幫助足球運動員提高自身技術(shù)[2]。分析不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡,能夠科學(xué)規(guī)劃足球運動過程中旋轉(zhuǎn)球的方向,幫助足球運動員取得好成績,為此研究足球運動過程中不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學(xué)分析是很有必要的。
國外研究旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學(xué)分析起步較早,已經(jīng)形成成熟的分析研究體系,并已成熟地運用于足球運動員的日常訓(xùn)練中[3]。國內(nèi)針對該方面的研究起步較晚,各個專業(yè)研究機(jī)構(gòu)對于足球運動中旋轉(zhuǎn)球的研究成果及文獻(xiàn)資料較少,仍需不斷改進(jìn)學(xué)習(xí)。提出足球運動中不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡并對其進(jìn)行力學(xué)分析,建立旋轉(zhuǎn)球坐標(biāo)系分析旋轉(zhuǎn)球運動過程,對不同旋轉(zhuǎn)球進(jìn)行軌跡追蹤,通過非線性變換得到軌跡狀態(tài)向量,確定運動軌跡起始點,采集運動過程的軌跡狀態(tài)向量,得到旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡。
對旋轉(zhuǎn)球進(jìn)行受力分析時,首先定義足球的旋轉(zhuǎn)軸,以足球停滯在實際軌跡中的某個狀態(tài)為研究目標(biāo),結(jié)合空氣在足球旋轉(zhuǎn)過程中的流速[4],建立坐標(biāo)系如圖1所示。以旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的足球旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)系的Z軸,得到力坐標(biāo)系:
圖1 建立的旋轉(zhuǎn)球坐標(biāo)系
由旋轉(zhuǎn)球坐標(biāo)系可知,將旋轉(zhuǎn)球的流速方向作為x軸,旋轉(zhuǎn)球受到壓強(qiáng)的方向為y軸。根據(jù)坐標(biāo)系的方向分析可得到足球旋轉(zhuǎn)球在空氣中主要受到重力Fg,空氣阻力Fa以及馬格努斯力Fm的作用。定義上圖1旋轉(zhuǎn)球的時刻t下,旋轉(zhuǎn)球的運動速度為:
v(t)=[vx(t),vy(t),vz(t)]T,
(1)
式(1)中,T表示旋轉(zhuǎn)球的飛行時間,vx(t),vy(t),vz(t)分別表示不同軸向的運動速度。進(jìn)而計算得到旋轉(zhuǎn)球的旋轉(zhuǎn)角速度,計算公式為:
W=[ωx,ωy,ωz]T,
(2)
式(2)中,ωx,ωy,ωz分別表示旋轉(zhuǎn)球不同軸向的角速度。綜合上述角速度及旋轉(zhuǎn)速度的數(shù)值,計算得到該時刻旋轉(zhuǎn)球的重力、空氣阻力以及馬格努力的數(shù)值:
(3)
式(3)中,m為足球的重量,g表示重力加速度,Cd表示空氣阻力系數(shù),Cm表示馬格努斯力系數(shù),ρ表示標(biāo)準(zhǔn)氣壓下的空氣密度,A表示足球的橫截面積,r表示足球的半徑,其余參數(shù)含義不變。由上述計算公式可知,空氣阻力大小與旋轉(zhuǎn)球的飛行速度平方成正比。當(dāng)足球一側(cè)運動速度和旋轉(zhuǎn)速度方向不平行時,旋轉(zhuǎn)球的一側(cè)在空氣的作用下,飛行速度與旋轉(zhuǎn)速度疊加變大,旋轉(zhuǎn)球的另外一側(cè)速度與空氣作用相抵消,此時旋轉(zhuǎn)球兩側(cè)存在壓力差,形成旋轉(zhuǎn)球[5]。根據(jù)流體力學(xué)原理,該部分壓力差為馬格努斯力,綜合上述計算公式(3)中的力,得到旋轉(zhuǎn)球的運動過程,表達(dá)式為:
(4)
式(4)中,CD表示足球表面的粗糙程度,V(t)表示足球的加速度。根據(jù)計算出的數(shù)值,采用高速攝影機(jī)對足球旋轉(zhuǎn)運動過程進(jìn)行采樣[6],設(shè)置采樣幀率為120 fps,在一個采樣周期內(nèi),保持足球的加速度和速度不變,在一個旋轉(zhuǎn)狀態(tài)內(nèi),旋轉(zhuǎn)球的離散運動就可表示為:
(5)
式(5)中,k表示迭代周期,kd與km分別表示旋轉(zhuǎn)球的不同受力的迭代系數(shù)。其余參數(shù)含義保持不變。軌跡跟蹤上述受力分析得到的旋轉(zhuǎn)球的運動過程,最終完成對不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學(xué)分析。
在上述分析得到的旋轉(zhuǎn)球運動表達(dá)式下,定義旋轉(zhuǎn)球停止旋轉(zhuǎn)過程表示迭代過程結(jié)束,計算迭代過程產(chǎn)生的噪聲,計算公式為:
(6)
式(6)中,Cn表示升力系數(shù),D表示足球的直徑,其余參數(shù)含義不變。在上述噪聲值的影響下,預(yù)測旋轉(zhuǎn)球的狀態(tài)向量,將上述計算得到的噪聲值作為先驗估計值,狀態(tài)向量就可表示為;
(7)
式(7)中,X(k|k-1)表示旋轉(zhuǎn)球狀態(tài)變量的先驗估計值,P(k|k-1)表示狀態(tài)變量協(xié)方差的先驗估計值,Ak表示運動過程函數(shù)F對狀態(tài)變量的偏導(dǎo),Qk表示噪聲向量。根據(jù)上述狀態(tài)向量數(shù)值,劃分得到不同旋轉(zhuǎn)球的狀態(tài)數(shù)據(jù)數(shù)量,如表1所示。
表1 不同旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的數(shù)據(jù)矢量
追蹤表1三種旋轉(zhuǎn)球的旋轉(zhuǎn)屬性時,利用非線性變換處理上述三種旋轉(zhuǎn)屬性的輸出數(shù)據(jù)矢量,非線性變換過程如圖2所示。
圖2 非線性變化過程
由圖2所示的非線性變化過程可知,設(shè)定輸出數(shù)據(jù)矢量的采樣點,計算非線性變換后輸出數(shù)據(jù)采樣點的方差及權(quán)重,根據(jù)方差值的分布距離,確定變換過程中的比例系數(shù),完成對不同旋轉(zhuǎn)球的狀態(tài)追蹤,追蹤完畢后,形成旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡。
根據(jù)上述非線性變換過的軌跡狀態(tài)向量確定運動軌跡起始點,為了簡化軌跡跟蹤過程中的計算過程,將分布距離看作常數(shù),不同旋轉(zhuǎn)球的坐標(biāo)采樣點就可表示為:
(8)
式(8)中,κ(k)表示連續(xù)采樣運動過程中第k類的層級參數(shù)。根據(jù)上述采集點的追蹤結(jié)果,得到采樣點旋轉(zhuǎn)球的坐標(biāo),匯總采集點的坐標(biāo)數(shù)值,如表2所示。
表2 軌跡采集點坐標(biāo)
將表2所示的旋轉(zhuǎn)球在三項坐標(biāo)作為軌跡數(shù)據(jù)集,采用非線性濾波處理表2中坐標(biāo)數(shù)值,對旋轉(zhuǎn)球運動軌跡不斷更新,更新表達(dá)式如下:
(9)
式(9)中,Kn表示軌跡更新過程,n表示旋轉(zhuǎn)球的采集點,Qx,Qy,Qz分別表示三個軸向的數(shù)值,α表示旋轉(zhuǎn)球?qū)嶋H運動軌跡與三個軸的夾角,F(xiàn)n表示旋轉(zhuǎn)球的合力數(shù)值。根據(jù)上述整合形成的采樣點計算公式,在一個三維坐標(biāo)下模擬得到旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡,如圖3所示。
圖3 旋轉(zhuǎn)球飛行軌跡
由圖3所示的旋轉(zhuǎn)球飛行軌跡,最終在力學(xué)分析前提下,完成對足球運動中不同旋轉(zhuǎn)球運動軌跡的研究。
采用一個塑料顆粒模擬足球運動中的旋轉(zhuǎn)球,控制該塑料顆粒直徑為0.4 cm,密度為1 g/cm3,質(zhì)量為0.1 g。選用高速攝像機(jī)、秒表、水平尺作為實驗儀器。采用的高速攝像機(jī)和鏡頭的硬件參數(shù)如表3所示。
表3 實驗儀器硬件參數(shù)
采用如表3所示的各項參數(shù)控制下的實驗器材,選用三個形狀不同的內(nèi)筒作為塑料球的運動軌道,模擬不同旋轉(zhuǎn)球的軌跡情況。設(shè)定固體顆粒在內(nèi)筒內(nèi)的速度,如表4所示。
表4 設(shè)定的固體顆粒速度值
在表4所設(shè)定的速度值下進(jìn)行實驗,不同的轉(zhuǎn)速與角速度對應(yīng)著不同旋轉(zhuǎn)球的狀態(tài),分析小球在設(shè)定的內(nèi)筒內(nèi)的軌跡及受力情況。
基于上述實驗準(zhǔn)備,采用高速攝像機(jī)得到顆粒小球在不同轉(zhuǎn)速下的運動軌跡,如圖4所示。
圖4 不同轉(zhuǎn)速下小球的運行軌跡
由圖4所示的運行軌跡可知,在30 r/min轉(zhuǎn)速下,小球受到的離心力與差異性旋轉(zhuǎn)慣性力的作用方向相反,旋轉(zhuǎn)慣性力的數(shù)值大于其離心力的數(shù)值,小球做向心運動。在35 r/min轉(zhuǎn)速下,小球主要受到離心力與差異旋轉(zhuǎn)慣性力的作用,且該兩種力的方向相同,小球做離心運動。
保持上述實驗環(huán)境不變,以轉(zhuǎn)速為30 r/min的小球作為實驗對象。在實驗準(zhǔn)備的內(nèi)筒中灌入水,控制水流的速度為勻速,來模擬足球在旋轉(zhuǎn)運動過程中受到的空氣壓力,采用文中研究的力學(xué)分析方法進(jìn)行實驗。以水平尺顯示的刻度作為劃分對象,平均地將內(nèi)筒長度劃分為七個刻度,標(biāo)定內(nèi)筒七個測點,七個測點小球的基本參數(shù)如表5所示。
表5 小球經(jīng)過測點速度基本參數(shù)
在表5所示的參數(shù)控制下,考慮到小球在內(nèi)管中徑向受力數(shù)值的不同,分析得到該轉(zhuǎn)速的小球的受力情況如圖5所示。
圖5 小球的受力情況
由圖5所示的小球受力情況可知,在模擬過程中小球共受到4個作用力的影響,由不同作用力的數(shù)值可知,小球在內(nèi)筒中受到幾乎為零數(shù)值的離心力。隨著時間不斷增加,質(zhì)量力分量不斷增大且為正方向,質(zhì)量力分量隨著時間不斷增加,平均值保持在-0.2 N左右。而阻力分量表現(xiàn)不穩(wěn)定,在0.6 s到0.8 s之間與2.4 s時受到力的負(fù)方向1.7 N的力,表明在模擬的旋轉(zhuǎn)球環(huán)境中,在不同的軌跡點中,存在著多種阻力分量。
綜合上述實驗準(zhǔn)備及分析,完成對文中設(shè)計的運動軌跡及力學(xué)分析方法的驗證。實驗結(jié)果表明,在30 r/min轉(zhuǎn)速下,模擬旋轉(zhuǎn)球做向心運動,在35 r/min轉(zhuǎn)速下,小球做離心運動。小球受離心力、旋轉(zhuǎn)慣性力、質(zhì)量力分量及阻力分量4個力的共同作用,形成旋轉(zhuǎn)球。
足球運動一直是體育運動研究領(lǐng)域的重點,基于旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡較為復(fù)雜,國內(nèi)對其運動及受力研究較少,因此,提出不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學(xué)分析,并采用塑料顆粒模擬足球運動中的旋轉(zhuǎn)球,通過實際操作驗證了研究方法的有效性。
研究足球運動中不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學(xué)分析,能夠更加科學(xué)地掌握足球的旋轉(zhuǎn)過程及運動軌跡,為我國足球運動提供更加科學(xué)的訓(xùn)練方案,幫助我國足球運動不斷發(fā)展。