【摘 要】 問題情境是否合適的關(guān)鍵在于其設(shè)置是否有利于學(xué)生的學(xué)，以及如何讓學(xué)生會(huì)學(xué)，它既要能引領(lǐng)整個(gè)單元的學(xué)習(xí)，還要讓學(xué)生知道新知識(shí)的必要性，發(fā)生、發(fā)展的方向，探究方法等，教師在設(shè)置問題情境時(shí)，應(yīng)關(guān)注其能否在大單元教學(xué)中起到一以貫之的引領(lǐng)作用，能否揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，特別是概念的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，并關(guān)注在探究的過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 ?單元起始課;新知識(shí);來龍去脈

單元教學(xué)對(duì)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)有著重要的積極作用，我們?cè)陉P(guān)注如何全局把握、整體規(guī)劃單元教學(xué)時(shí)，更應(yīng)該關(guān)注如何上好單元起始課，關(guān)注單元起始課應(yīng)緊扣“知識(shí)從何而來”這一中心問題.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）》[1]指出：在教學(xué)實(shí)踐中，要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，不僅要重視如何教，更要重視如何學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.因此從落實(shí)如何學(xué)和如何會(huì)學(xué)這一目標(biāo)的角度，教師在教學(xué)實(shí)踐中更應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的必要性和緊要性，讓學(xué)生充分了解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，厘清數(shù)學(xué)概念的邏輯結(jié)構(gòu)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力，并促進(jìn)學(xué)生有條理的自主學(xué)習(xí)與探究.

那么，如何緊扣“知識(shí)從何而來”這一中心問題呢？知識(shí)當(dāng)然是從問題情境中來，更是從一個(gè)“合適”的問題情境中來.《課標(biāo)》[1]明確指出：基于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生的思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).何謂“合適”？本文以“隨機(jī)變量及其概率分布”（蘇教版選修2-3）的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)錄為例談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí).

1 教材分析與學(xué)情分析

1.1 單元教學(xué)目標(biāo)

在必修課程已經(jīng)學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)上，本單元將學(xué)習(xí)某些離散型隨機(jī)變量的分布列及其均值、方差等內(nèi)容，使學(xué)生初步學(xué)會(huì)利用離散型隨機(jī)變量思想描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象的方法，并能用所學(xué)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，進(jìn)一步體會(huì)概率模型的作用及運(yùn)用概率思考問題的特點(diǎn)，使學(xué)生初步形成用隨機(jī)觀念觀察、分析問題的意識(shí).

1.2 目標(biāo)分析解讀

通過本單元的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從定量的角度來刻畫離散型隨機(jī)變量，這是隨機(jī)觀念從定性到定量的一次提升，有助于學(xué)生思維的發(fā)展.在教學(xué)實(shí)踐中，通過對(duì)具體問題的分析，理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，認(rèn)識(shí)分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，通過實(shí)例理解超幾何分布及其推導(dǎo)過程，了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念等.

1.3 單元設(shè)計(jì)意圖

本單元以學(xué)生熟悉的實(shí)例為背景，按照“問題情境—數(shù)學(xué)活動(dòng)—意義建構(gòu)—數(shù)學(xué)理論—數(shù)學(xué)應(yīng)用—回顧反思”的順序結(jié)構(gòu)來展開.通過對(duì)實(shí)際問題的分析、歸納，激發(fā)學(xué)生開展活動(dòng)，促使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行思考，進(jìn)而作出理性判斷，使學(xué)生能夠更注重應(yīng)用數(shù)學(xué)的觀念、方法和語言去提煉、分析和解決問題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和理性思維的目的，同時(shí)拉近新知識(shí)與學(xué)生的距離，提高學(xué)生的興趣，降低學(xué)生的難度.

1.4 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)掌握了古典概型的相關(guān)知識(shí)，會(huì)求簡(jiǎn)單的概率問題，在上一單元里又系統(tǒng)學(xué)習(xí)了排列、組合、二項(xiàng)式定理的相關(guān)知識(shí)，從知識(shí)層面，如何將兩者融合對(duì)學(xué)生來說是陌生的;給出較為復(fù)雜的概率問題，學(xué)生受限于閱讀能力和分析問題能力，很難構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型解決問題;將問題數(shù)學(xué)化，并用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行抽象，特別是上升到變量描述問題，更是學(xué)生欠缺的能力.從能力層面，學(xué)生需要經(jīng)歷一個(gè)從抽象概括到數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)錄

2.1 教學(xué)目標(biāo)[2]

1）在對(duì)具體問題的分析中，了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的意義;

2）理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念與性質(zhì);

3）理解取離散型隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的概念;

4）認(rèn)識(shí)概率分布對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.

2.2 教學(xué)重難點(diǎn)

1）理解離散型隨機(jī)變量的意義;

2）理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念與性質(zhì).

2.3 教學(xué)過程

1）問題情境

問題1：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到許多較為復(fù)雜的概率問題.

（1）某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共N件，其中有M件不合格產(chǎn)品，在隨機(jī)取出的n件產(chǎn)品中，嘗試研究“取到不合格品數(shù)”的概率問題.

（2）語文老師要從10篇古文中隨機(jī)抽3篇不同的古文讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少背出其中兩篇才能過關(guān)，某位同學(xué)只能背誦出其中的6篇，他能過關(guān)的概率是多少？某同學(xué)想知道要會(huì)背誦幾篇“性價(jià)比”最高？

我們可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫這些復(fù)雜的概率問題？如何運(yùn)用這些數(shù)學(xué)模型解決問題？

設(shè)計(jì)意圖 提出較為復(fù)雜的概率問題，讓學(xué)生觀察、分析，在嘗試解決問題的過程中感到困難和知識(shí)的匱乏，激發(fā)新的求知欲望，提高學(xué)習(xí)動(dòng)力.問題設(shè)置具有單元引領(lǐng)作用，又有一定的梯度，讓學(xué)生在探究中獲得新知識(shí)，并有目的、有方向地進(jìn)行.

2）學(xué)生活動(dòng)

師：情境2雖然發(fā)生在我們身邊，但面對(duì)我們陌生的問題，很多同學(xué)甚至無法理解題意，情境1卻讓我們感到熟悉，因?yàn)樵诮M合的學(xué)習(xí)中，我們見過類似的例子，但是為什么大家還倍感困難呢？

生1：因?yàn)镹，M，n這些字母的值不能確定，甚至不合格品M與抽取產(chǎn)品件數(shù)n之間的大小關(guān)系也不知道，要分類討論吧？我沒有想清楚.

生2：可以特殊化，先解決簡(jiǎn)單的問題，如N=100，M=3，n=10，即：

某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格產(chǎn)品，在隨機(jī)取出的10件產(chǎn)品中，嘗試研究“取到不合格品數(shù)”的概率問題.

設(shè)計(jì)意圖 特殊化思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要的基本思想和方法，對(duì)于分析問題、解決問題等都有著很重要的作用.從一般到特殊，降低思維要求，尋求規(guī)律方法，再?gòu)奶厥獾揭话?，將所尋?guī)律方法升華.

師：你認(rèn)為解決這個(gè)問題最應(yīng)該關(guān)注什么？怎么處理？

生3：取到不合格品數(shù)會(huì)有變化，可能是0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)，所以要分四種情況分別計(jì)算.

記“抽取產(chǎn)品，取到0個(gè)不合格品”的事件為A;

“抽取產(chǎn)品，取到1個(gè)不合格品”的事件為B;

“抽取產(chǎn)品，取到2個(gè)不合格品”的事件為C;

“抽取產(chǎn)品，取到3個(gè)不合格品”的事件為D，再分別計(jì)算概率.

師：很好，計(jì)算我們暫時(shí)放后處理，先來反思以上的處理過程，通過特殊化，令N=100，M=3，n=10，當(dāng)然它還可以取其它值，如M=15怎么辦？

生4：需要記16個(gè)事件，記到字母P后再計(jì)算概率.

師：有危機(jī)感吧？26個(gè)字母用完了怎么辦？

生5：可以接著用希臘字母.（學(xué)生們?cè)陂_心的大笑后陷入思考）

生6：我發(fā)現(xiàn)，列出的事件只有不合格品數(shù)在改變，可以用數(shù)字0、1、2、3來表示事件.這樣即使事件再多也夠用了.（學(xué)生們表示贊許，有了成功的喜悅）

師：將隨機(jī)事件的結(jié)果與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)的做法非常有效的簡(jiǎn)化了事件的記法，同學(xué)們能否再進(jìn)一步，又可以用什么刻畫數(shù)的變化呢？

經(jīng)過一段思考后，多位學(xué)生說出字母，變量，其他人表示認(rèn)同.

教學(xué)過程如下圖所示.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生利用已有知識(shí)解決較為復(fù)雜的問題，會(huì)遇到無法克服的障礙，教師作為教學(xué)的引導(dǎo)者通過問題的設(shè)疑，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生經(jīng)歷兩個(gè)重要的抽象過程，一是從具體的問題情境抽象出數(shù)字，將事件結(jié)果與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，二是將實(shí)數(shù)抽象為字母，進(jìn)行變量化，從而構(gòu)建隨機(jī)變量模型.

3）建構(gòu)模型

定義：一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.隨機(jī)變量通常用大寫拉丁字母X，Y，Z表示.也通常用小寫拉丁字母ξ，η，ζ表示.

師：你能再舉出一些這樣的例子嗎？

生7：擲骰子，出現(xiàn)的結(jié)果可以與數(shù)字1，2，3，4，5，6一一對(duì)應(yīng)，也可以用隨機(jī)變量X表示，變量X可能取值是1，2，3，4，5，6.

生8：打靶，出現(xiàn)的結(jié)果可以與數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，…，10一一對(duì)應(yīng)，也可以用隨機(jī)變量Y表示，變量Y可能取值是0，1，2，…，10.

問題2：（1）隨機(jī)抽查新生嬰兒的性別，抽查的結(jié)果可能是男，也可能是女，出現(xiàn)的結(jié)果能否用隨機(jī)變量表示？若用隨機(jī)變量Z表示，則變量Z可能取值是什么？

（2） 隨機(jī)抽一副撲克牌中的一張，抽的結(jié)果可能是紅桃，也可能是黑桃、方片、梅花，出現(xiàn)的結(jié)果若用隨機(jī)變量ξ表示，則變量ξ可能取值是什么？

設(shè)計(jì)意圖 雖然建構(gòu)了隨機(jī)變量的模型，但學(xué)生的理解是狹隘的，認(rèn)為只有結(jié)果是數(shù)字才可以用隨機(jī)變量刻畫，教師及時(shí)利用兩個(gè)問題拓寬學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，即使結(jié)果沒有數(shù)字，也可以將樣本點(diǎn)實(shí)數(shù)化，進(jìn)而用隨機(jī)變量刻畫.

教學(xué)過程如圖所示.

2.隨機(jī)抽一副撲克牌中的一張，抽的結(jié)果可能是紅桃，也可能是黑桃、方片、梅花，出現(xiàn)的結(jié)果若用隨機(jī)變量ξ表示，則變量ξ可能取值是什么？

說明：P（{ξ=1}）可以簡(jiǎn)記為：P（ξ=1）

4）模型應(yīng)用

問題3：利用所學(xué)知識(shí)研究下列概率問題.

（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次;

（2）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次.

生9：設(shè)“拋擲硬幣一次出現(xiàn)正面向上”為事件1，“拋擲硬幣一次出現(xiàn)反面向上”為事件2，則隨機(jī)變量X可能取值是1，2.P（X=1）=1/2，P（X=2）=1/2.

師：好的，在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)變量X是否有實(shí)際意義？能否賦予隨機(jī)變量X確定的實(shí)際意義？

生10：用隨機(jī)變量X表示“拋擲硬幣一次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)”，則隨機(jī)變量X可能取值是1，2.P（X=1）=1/2，P（X=2）=1/2.

第（2）問教學(xué)過程略.

設(shè)計(jì)意圖 建構(gòu)了隨機(jī)變量的模型后，學(xué)生的理解依然還是狹隘的，會(huì)刻意將實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)數(shù)化，再刻意引入變量表示.實(shí)際上，隨機(jī)變量有著重要的實(shí)際意義，而不是簡(jiǎn)單地用字母表示數(shù)，理解隨機(jī)變量的實(shí)際意義有助于后續(xù)用數(shù)學(xué)工具研究概率問題的學(xué)習(xí).

5）形成概念

給出概率分布的概念和性質(zhì)，并給出兩點(diǎn)分布或0-1分布的概念.

概率分布的定義：

一般地，假定隨機(jī)變量X有n個(gè)不同的取值，它們分別是x1，x2， …，xn且P（X=xi）=pi，（i=1，2， …，n）則稱之為隨機(jī)變量X 的分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列，也可以用表格表示，

Xx1x2…xn

Pp1p2…pn

此表叫概率分布表，它和分布列都叫做隨機(jī)變量X 的概率分布.

性質(zhì)：（1）pi≥0（i=1，2，…，n）;

（2）p1+p2+ …+pn=1.

問題4：下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量？并說明理由.

（1） 2021年4月6日南京祿口機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中的旅客數(shù)量;

（2） 2021年4月6日北京至南京的航班數(shù)（正常情況下）;

（3）某乘客在機(jī)場(chǎng)游戲廳練習(xí)投籃，投中即停止，則他停止時(shí)已投籃的次數(shù);

（4） 2021年4月6日北京至南京CA1817次航班到達(dá)時(shí)間.

設(shè)計(jì)意圖 隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，而離散型隨機(jī)變量又可以分為取有限值的和取無限值的兩種情況，此處安排目的是讓學(xué)生作出正確的辨析.

6）課堂小結(jié)

（1）本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？學(xué)會(huì)了什么？有哪些新的認(rèn)識(shí)？談?wù)勀銓W(xué)習(xí)過程中的重要心得體會(huì).

（2）你認(rèn)為后續(xù)還會(huì)學(xué)習(xí)哪些知識(shí)？你認(rèn)為會(huì)怎樣開展研究？

設(shè)計(jì)意圖 在實(shí)際教學(xué)中，不僅老師要有大局觀，整體規(guī)劃，還要讓學(xué)生也具有這樣的意識(shí)，理解“知識(shí)從何處來”，又該“往何處去”，培養(yǎng)他們提出問題、分析問題、解決問題的能力和意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

3 結(jié) 語

問題情境是否合適的關(guān)鍵在于其設(shè)置是否有利于學(xué)生的學(xué)，以及如何讓學(xué)生會(huì)學(xué)，它既要能引領(lǐng)整個(gè)單元的學(xué)習(xí)，還要讓學(xué)生知道新知識(shí)的必要性，發(fā)生、發(fā)展的方向，如何延伸、如何探究？教師在設(shè)置時(shí)，不能僅從難度、梯度上考慮，更為重要的是設(shè)置的問題情境能否揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，特別是概念的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，要關(guān)注在探究的過程中怎樣提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020：80-81.

[2] 石志群.高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書（選修2-3）配蘇教版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2012：53.

作者簡(jiǎn)介 孫秉正（1973—），男，安徽淮北人，中學(xué)高級(jí)教師，教育碩士.2005年榮獲秦淮區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，2008年榮獲南京市優(yōu)秀青年教師，主要從事數(shù)學(xué)教育和教學(xué)研究，發(fā)表論文10余篇.