徐恭賢

（渤海大學 數(shù)學科學學院，遼寧 錦州121013）

0 引言

最優(yōu)化是一門應用相當廣泛的學科［1］，它研究在一定限制條件下，選取某種方案，以達到最優(yōu)目標.最優(yōu)化理論與方法廣泛應用于經(jīng)濟計劃、國防、工程設計、自動控制、交通運輸、通訊、生產(chǎn)管理等重要領域［1-4］.為了培養(yǎng)出能適應時代發(fā)展需要的應用型數(shù)學人才，目前各高校運籌學與控制論、應用數(shù)學、計算數(shù)學等研究生專業(yè)基本都開設了與最優(yōu)化理論、方法、計算和應用相關的數(shù)學課程，并且相關授課教師通過多種改革方法提高了最優(yōu)化研究生課程的教學效果［5］.

目前最優(yōu)化研究生課程教學中存在的主要問題是教學模式陳舊單一，多數(shù)教師采用的教學方式依舊是注重理論講解和算法實現(xiàn)的講授式教學.這種教學形式很難調(diào)動學生的學習熱情和興趣，多數(shù)學生只能課上被動接受知識，參與課堂教學的積極性不高，最終導致教學效果不是很理想.從學生自身來看，多數(shù)研究生之所以不能積極、主動地學習最優(yōu)化課程，主要原因有兩個，一個是他們沒有將提高科研創(chuàng)新能力作為課程學習的最終目標；另一個是他們沒有將課程學習與專業(yè)背景和研究方向相融合.因此，我們有必要對最優(yōu)化課程的傳統(tǒng)教學方法進行改革，構(gòu)建以研究生群體為主體、以研究生創(chuàng)新思維發(fā)展為導向的教學新模式.這種教學模式主要采取參與式和研討式的教學方式，通過理論方法啟發(fā)引導、實際應用問題的啟發(fā)式介紹、最優(yōu)化方法的編程實踐與應用、科研項目的參與等有力措施，切實調(diào)動學生的學習熱情和興趣，有利于學生自主學習、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、科學研究、科技創(chuàng)新等能力的提高，從而提升研究生人才培養(yǎng)效果.

鑒于此，結(jié)合《最優(yōu)化理論與方法》課程的特點，以及筆者多年來的研究生教學研究與實踐，本文就《最優(yōu)化理論與方法》課程的教學方法進行了深入分析與研究，提出了針對渤海大學數(shù)學科學學院運籌學與控制論、應用數(shù)學等專業(yè)研究生的教學改革方案，并給出了基于創(chuàng)新性思維的教學方法在本門課程中的教學與實踐模式.

1 《最優(yōu)化理論與方法》課程的教學改革思路和措施

本文將從以下幾個方面具體闡述《最優(yōu)化理論與方法》課程的教學改革思路和措施.

1.1 從單純講授式教學轉(zhuǎn)變到討論、啟發(fā)式教學

在《最優(yōu)化理論與方法》課程的教學中，教師應該改變過去陳舊單一的傳統(tǒng)講授式教學形式，在教學實踐中始終堅持以學生為主體的教學模式，并設計難易適當?shù)挠懻摵蛦l(fā)式問題，供學生思考和討論.通過討論和啟發(fā)式教學，可以激發(fā)學生學習《最優(yōu)化理論與方法》課程的主動性，從而有益于學生獨立思考能力的鍛煉和創(chuàng)新思維的激發(fā).比如在學習如何將不等式約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為與其等價的等式約束優(yōu)化問題時，教師可以讓學生分組討論如下問題：

例1：將不等式約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為與其等價的等式約束優(yōu)化問題.其中，x∈Rn，f，gi：Rn→R1為連續(xù)可微函數(shù).

考慮到不等式約束gi（x）≤0（i=1，2，…，m）的左邊小于等于右邊，A組同學認為可以在不等式gi（x）≤0的左邊加上非負變量yi∈R1，使其變?yōu)榈仁郊s束gi(x)+yi=0，從而得到如下等式約束優(yōu)化問題：

B組同學對A組同學的上述解答提出了質(zhì)疑.B組同學認為問題（2）與原問題不等價，因為問題（2）漏掉了非負約束yi≥0.B組同學將問題（2）重新表示為：

C組同學認為問題（3）不是等式約束優(yōu)化問題，因為新引入的下界約束yi≥0（i=1，2，…，m）仍然是不等式約束.C組同學認為A組同學在不等式gi(x)≤0的左邊加上非負項的想法是正確的，但要保證加上非負項后不能再引入額外的不等式約束.事實上，這種非負項并不唯一，比如y2i，y4i和y6i等.考慮到問題表示形式應盡可能簡化，C組同學在問題（1）中引入了非負項y2i，給出了如下與問題（1）等價的等式約束優(yōu)化問題：

C組同學給出的問題（4）是正確的.本以為學生的討論會到此結(jié)束，沒想到C組同學話音剛落，D組同學就給出問題（1）的另一個等價約束優(yōu)化問題形式.該問題可表示為：

聽了C組和D組同學的回答之后，E組同學提出了一個新問題，即問題（4）和問題（5）都是問題（1）的等價約束優(yōu)化問題形式，那么它們中哪一個應用起來更方便呢？對于這個問題，E組同學指出問題（4）具有更好的數(shù)學表示形式，因為二次函數(shù)y2i在R1上處處連續(xù)可導，而絕對值函數(shù)||yi在R1上雖是處處連續(xù)，但不是處處可導.

通過引入這種以學生為中心的參與式、討論式教學方法，不僅加深了學生對最優(yōu)化基本知識和方法的理解，而且拓展了學生主動探索和研究問題的思路，提高了學生研究問題和解決問題的能力.

1.2 構(gòu)建最優(yōu)化知識框架

改變長期以來教師按照章節(jié)講授研究生課程的狀況，在《最優(yōu)化理論與方法》課程教學過程中引導學生建立最優(yōu)化概念、理論和方法間的脈絡和聯(lián)系，構(gòu)建起最優(yōu)化知識間相互關系的框架結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)課程內(nèi)部相關知識點的融會貫通.設計性的課程教學環(huán)節(jié)要讓研究生也參與進來.比如在講無約束最優(yōu)化問題

的最速下降法、牛頓法、擬牛頓法、共軛方向法和共軛梯度法等求解方法時，我們知道這些優(yōu)化算法都是在如下基本迭代下降算法的框架下給出的.

算法1：（基本迭代下降算法）

1.給定初始點x(0)∈Rn，解精度ε>0，令迭代次數(shù)k=0.

2.如果迭代點x(k)滿足算法的終止條件（與ε有關），則停止迭代；否則轉(zhuǎn)步3.

3.計算下降方向d(k)∈Rn.

4.確定步長α(k)>0，使得f(x(k)+α(k)d(k))

5.令x(k+1)=x(k)+α(k)d(k)，k=k+1，轉(zhuǎn)步2.

在上述基本迭代下降算法中，給定下降方向d(k)∈Rn就可以得到一個無約束最優(yōu)化算法.比如令d(k)為最速下降方向-?f(x(k))，即可得最速下降算法的計算流程.表1給出了當d(k)取不同下降方向時的無約束最優(yōu)化方法.

表1 基本迭代下降算法框架下的無約束最優(yōu)化方法

構(gòu)建這種知識框架結(jié)構(gòu)，有利于學生進一步理解和掌握最優(yōu)化理論與方法.

1.3 多學科的知識交叉和拓展

《最優(yōu)化理論與方法》課程與數(shù)學建模、數(shù)學分析、高等代數(shù)、計算方法、計算機軟件等課程關系密切，并且《最優(yōu)化理論與方法》可以應用到生物、化工、經(jīng)濟、管理、人工智能等很多學科中，因此在課程教學中，結(jié)合教學內(nèi)容開展《最優(yōu)化理論與方法》課程到多學科的知識交叉和拓展是非常必要的.通過這種多學科之間的知識交叉和拓展，可以使研究生得到不同學科知識間自然融會的綜合性教學訓練.例如在給學生講授“線性規(guī)劃解的概念”時，教師可以設計如下問題供學生討論.

例2［6］：為什么可以

為例敘述線性規(guī)劃解的概念？其中，x∈Rn，c∈Rn，A∈Rm×n，b∈Rm，b≥0.

例3［6］：不失一般性，是否可以假設A行滿秩，即rank(A)=m？

例4［6］：如果rank(A)=m，是否可以假設A的前m列線性無關？

例2很簡單，因為任意形式的線性規(guī)劃問題均可以表示成如問題（6）所示的標準形式.

對于例3，由高等代數(shù)知識可知，若rank(A)=r，且r

對于例4，令A=(a1，a2，…，an)，aj∈Rm（j=1，2，…，n）.由高等代數(shù)知識可知，如果rank(A)=m，那么在A的列向量中一定能找到m個ajk，k=1，2，…，m，jk∈I，I=｛1，2，…，n｝，使得aj1，aj2，…，ajm線性無關.令A中余下的列向量為ajl，l=m+1，m+2，…，n，jl∈I，jl≠jk.記

容易證明，Cy=b與Ax=b同解，所以原問題（6）等價于如下標準線性規(guī)劃問題：

因為rank（C）=rank（A）=m，且C的前m列線性無關，故不失一般性，可以假設A的前m列線性無關.

1.4 布置數(shù)學實驗類大作業(yè)，實現(xiàn)理論學習到實踐能力的轉(zhuǎn)化

教師在《最優(yōu)化理論與方法》研究生課程中應該引入用計算機軟件求解最優(yōu)化問題的教學.具體做法是，教師先講授用計算機軟件求解最優(yōu)化問題的使用方法，然后向?qū)W生布置一定數(shù)量的數(shù)學實驗類大作業(yè).通過實際編程求解，學生不僅學會了計算機軟件的使用方法，還提高了創(chuàng)新實踐能力.筆者在《最優(yōu)化理論與方法》研究生課程教學中主要講授如何應用MATLAB軟件求解最優(yōu)化問題.比如應用MATLAB可以求解如下兩個問題.

例5：用MATLAB求解問題［7］：

例5的程序代碼如圖1所示.

圖1 例5的程序代碼截圖

運行程序可以得到例5的最優(yōu)解為x*=(19.785，0，3.32，11.385，2.57)T，f*=89.575.

例6：用MATLAB求解問題：

例6的程序代碼如圖2所示.

圖2 例6的程序代碼截圖

運行程序可以得到例6的最優(yōu)解為x*=(0.7079，-0.0354)T，f*=-867.5519.

1.5 鼓勵研究生從單純的課程學習向有創(chuàng)新性的探索轉(zhuǎn)變

在《最優(yōu)化理論與方法》研究生課程教學中，教師應該鼓勵學生主動進行一些專題研究，選題可以是某些最優(yōu)化理論與方法的優(yōu)缺點，也可以是學生自己感興趣的問題.學生選題后會查閱相關文獻資料，并提出自己的想法開展最優(yōu)化理論與應用研究，以總結(jié)報告或撰寫論文的形式匯報自己的研究成果，從而鍛煉了研究生提出問題、探索問題和解決問題的能力.比如在學習完最速下降法和牛頓法以后，有的同學發(fā)現(xiàn)最速下降法具有對初始點無特別要求、后期收斂緩慢等特點，而牛頓法則收斂速度快，但對初始點的要求比較高，于是基于最速下降法和牛頓法提出了一種混合優(yōu)化算法.再比如有的同學將約束優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件和罰函數(shù)法的思想應用于雙層規(guī)劃問題的求解.這些探索研究性工作不僅加深了學生對最優(yōu)化理論與方法的學習和理解，還具有一定的創(chuàng)新性，有利于提高研究生的創(chuàng)新性思維.

1.6 開展應用案例教學，實現(xiàn)理論學習到實際應用的轉(zhuǎn)化

案例教學是激勵應用數(shù)學、運籌學與控制論專業(yè)研究生采用最優(yōu)化理論和方法解決應用問題的重要途徑.這就要求教師在教學中除講授經(jīng)典的最優(yōu)化理論和方法外，還應該不斷提高業(yè)務素質(zhì)，以適應新時代應用中對最優(yōu)化技術迫切需求的教學工作要求.教師在《最優(yōu)化理論與方法》教學中，應該引入一些應用最優(yōu)化方法解決實際問題的案例，從而提高學生解決實際問題的能力.以下為筆者在《最優(yōu)化理論與方法》教學中所采用的應用優(yōu)化案例.

例7：生物化學系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化［8-11］.針對生物化學系統(tǒng)

構(gòu)建如下穩(wěn)態(tài)優(yōu)化問題：

其中，X∈Rn（X>0）為代謝物濃度向量，Y∈Rm（Y>0）為參數(shù)向量，P為產(chǎn)物產(chǎn)率，F(xiàn)∈Rn，XL∈Rn（XL>0），XU∈Rn，YL∈Rm（YL>0），YU∈Rm，G∈Rp.

應用如下迭代線性優(yōu)化算法［8-10］可以求解非線性問題（8），具體算法推導及符號意義可以參見文獻［8-10］.

算法2：（迭代線性優(yōu)化算法）

2.對給定的Y(r)，由式（7）求出X(r)（IOM解）；將式（7）和P(X，Y)化為S-系統(tǒng)形式.

3.對S-系統(tǒng)進行質(zhì)量評估.若S-系統(tǒng)穩(wěn)定且魯棒，則轉(zhuǎn)步4；否則轉(zhuǎn)步2修正Y(r).

4.對w=w(r)，c=c(r)和λ(w,c)=λ(w(r),c(r))，求解問題（9）.

5.若同時成立

則停止迭代；否則轉(zhuǎn)步6.

6.更新Y，η1，η2和η3：

令r=r+1，轉(zhuǎn)步2.

將算法2應用于色氨酸生物合成系統(tǒng)［8-10］中，最優(yōu)色氨酸產(chǎn)率計算結(jié)果如圖3所示.

圖3 最優(yōu)色氨酸產(chǎn)率迭代計算結(jié)果

2 結(jié)論

通過以上創(chuàng)新性思維在《最優(yōu)化理論與方法》課程教學中的教學方法改革與實踐，調(diào)動了研究生自主學習、掌握最優(yōu)化基本理論與方法的學習熱情和興趣，有利于學生自主學習、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、科學研究、科技創(chuàng)新等能力的提高，從而提升研究生人才培養(yǎng)效果.因此，基于創(chuàng)新性思維的《最優(yōu)化理論與方法》課程教學改革與實踐對研究生教學質(zhì)量和效果的提高具有重要的意義.