摘 要：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中任意三角形面積的計(jì)算，利用割補(bǔ)法進(jìn)行巧妙、創(chuàng)造性的構(gòu)造，通過圖形形狀的轉(zhuǎn)換使得三角形面積的計(jì)算變得簡(jiǎn)捷、容易.文中的幾種構(gòu)造思路開闊了眼界，為傳統(tǒng)解法注入了新的活力.

關(guān)鍵詞：拋物線;三角形面積;割補(bǔ)法

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2021）26-0030-02

收稿日期：2021-06-15

作者簡(jiǎn)介：徐新賢（1962-），男，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

拋物線內(nèi)接三角形的面積計(jì)算問題是中考中的?？碱}型，由于其綜合性較強(qiáng)，給一些同學(xué)帶來了一定的困惑.通常一道質(zhì)量較高的考試題，其解法大都不會(huì)是單一的，其對(duì)優(yōu)秀學(xué)生與普通學(xué)生的區(qū)分往往體現(xiàn)在對(duì)解題方法的選擇上.而把握題目特點(diǎn)并尋求較簡(jiǎn)潔的解法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生們發(fā)散性思維及模型歸納能力有一定幫助.本文以2017年湖北孝感市的中考?jí)狠S題第24題為例提出多種解法，以啟發(fā)中考復(fù)習(xí)課堂高效復(fù)習(xí)的思路.例 （簡(jiǎn)化版）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，規(guī)定：拋物線y=a（x-h）2+k的伴隨直線為y=a（x-h）+k.如圖1所示，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線y=mx-12-4m與其伴隨直線相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸交于點(diǎn)C、D.如果點(diǎn)P（x，y）是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PBC的面積記為S，當(dāng)S取得最大值27/4時(shí)，求m的值.

此題的解題思路是這樣的：先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后寫出△PBC的面積表達(dá)式，從而得出m的值.

首先應(yīng)該明確題目中的一個(gè)隱含條件，即圖1給出的拋物線開口向下，意即m<0.（為了敘述方便，下面分五個(gè)步驟進(jìn)行求解）

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo).

∵拋物線的解析式為y=m（x-1）2-4m，

∴其伴隨直線方程為y=mx-1-4m=mx-5m，

聯(lián)立以上兩式得mx-1（x-2）=0，即得x=1或x=2，把x值代入拋物線的伴隨直線方程得y=-4m或y=-3m，∴A1，-4m，B（2，-3m）.∵m<0，∴A、B兩點(diǎn)均在第一象限內(nèi).

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo).

把y=0代入拋物線方程可得x-1=2，即x=-1或x=3，∴C-1，0，D（3，0）.

（3）畫出△PBC.

先描出B、C兩點(diǎn)，連接BC，然后在BC上方的拋物線上任意取一點(diǎn)P（x，m（x-1）2-4m），連接PB、PC得到△PBC，如圖2所示.

（4）寫出△PBC的面積表達(dá)式.

注意到此題的實(shí)質(zhì)是求平面直角坐標(biāo)系中任意三角形的面積，常用的方法是在原圖形的基礎(chǔ)上通過添加與坐標(biāo)軸平行（垂直）的輔助線，構(gòu)造出（我們常說的割補(bǔ)法）容易計(jì)算面積的規(guī)則幾何圖形，從而算出任意△PBC的面積.常見有以下幾種處理方法.

方法1 補(bǔ)成直角梯形

如圖2所示，過P、B、C三點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，補(bǔ)成直角梯形CQEB，則

S△PBC=S梯形CQEB-S△CQP-S△PEB=12（yP+yP-yB）xB-xC-12yPxP-xC

-12xB-xP（yP-yB）

=3m2x2-x-2=3m2（x-12）2-27m8

方法2 補(bǔ)成矩形

如圖3所示，過P、B、C三點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，補(bǔ)成矩形CQEF，

則

S△PBC=S矩形CQEF-S△CQP-S△PEB-S△CBF

=3m2x2-x-2

方法3 補(bǔ)、割成兩個(gè)三角形（a）如圖4所示，先過點(diǎn)B作x軸的垂線BF，補(bǔ)成四邊形CPBF;再連接P、F把四邊形割成兩個(gè)三角形△CPF和△PBF，則

S△PBC=S四邊形CPBF-S△CBF

=S△CPF+S△PBF-S△CBF

=3m2x2-x-2

方法4 補(bǔ)、割成兩個(gè)三角形（b）

如圖5所示，先過點(diǎn)P作x軸的垂線PE，然后連接BE補(bǔ)成四邊形CPBE;則線段PE把四邊形割成兩個(gè)三角形△CPE和△PBE，

則

S△PBC=S四邊形CPBE-S△CBE=S△CPE+S△PBE-S△CBE

=3m2x2-x-2

方法5 補(bǔ)、割成一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形

如圖6所示，先過點(diǎn)B作x軸的垂線BF，補(bǔ)成四邊形CPBF;再過點(diǎn)P作x軸的垂線PE，就把四邊形割成一個(gè)直角三角形△CPE和一個(gè)直角梯形PBFE，

則

S△PBC=S四邊形CPBF-S△CBF=S△CPE+S梯形PBFE-S△CBF

=3m2x2-x-2

方法6 過點(diǎn)P割成兩個(gè)三角形

如圖7所示，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線CB于點(diǎn)Q，則線段PQ把△PBC割成兩個(gè)小三角形△CPQ和△PBQ，則

S△PBC=S△CPQ+S△PBQ

=12（yP-yQ）xP-xC+12（yP-yQ）xB-xP

=12（yP-yQ）xB-xC

這就是我們常說的“水平寬、鉛垂高”法（是參考答案），此方法需要求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo).

設(shè)直線CB的解析式為y=kx+b，∵B（2，-3m），C（-1，0），∴2k+b=-3m-k+b=0，∴k=-mb=-m，∴直線CB的解析式為y=-mx-m，如圖7所示，∵P（x，m（x-1）2-4m），而點(diǎn)Q與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同，∴Q（x，-mx-m），∴yP-yQ=m（x-1）2-4m+mx+m=m（x2-x-2），∴S△PBC=12（yP-yQ）xB-xC=3m2x2-x-2）.

方法7 過點(diǎn)P及直線CB的延長(zhǎng)線構(gòu)造成一個(gè)大三角形

如圖8所示，過點(diǎn)P作x軸的平行線與直線CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，構(gòu)造成一個(gè)大△CPQ，

則

S△PBC=S△CPQ-S△PQB

=12xQ-xPyP-12xQ-xP（yP-yB）

=12xQ-xPyB

此方法需要求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo).

易得直線CB的解析式為y=-mx-m，

如圖8所示，

∵P（x，m（x-1）2-4m），而點(diǎn)Q與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相同，∴Q（xQ，m（x-1）2-4m），

把點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)值代入直線CB的解析式，可得xQ=-x2+2x+2，

∴xQ-xP=-x2+x+2，

∴S△PBC=12xQ-xPyB=3m2x2-x-2）

同樣的道理，我們也可以過點(diǎn)B割成兩個(gè)小三角形或構(gòu)造一個(gè)大三角形;當(dāng)然也可以過點(diǎn)C構(gòu)造兩個(gè)大三角形，方法同上，不再贅述.

（5）求出m的值.

由方法一知△PBC的面積為S△PBC=3m2（x-12）2-27m8，

即當(dāng)x=12時(shí)面積取最大值為-27m8，

由題意即得-27m8=274，解得m=-2.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社.義務(wù)教育教科書-數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2013（6）.

[2]袁蘇春.“割”、“補(bǔ)”法求二次函數(shù)圖象中面積最大值[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2008（12）：20-23.

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