石允龍，呂毅斌，王櫻子，伍 康

（1.昆明理工大學(xué) 理學(xué)院；2.昆明理工大學(xué) 計算中心，云南 昆明 650500）

0 引言

保角變換是研究復(fù)變函數(shù)的重要方法之一，在物理學(xué)和工學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，如流體力學(xué)、光學(xué)、空氣動力學(xué)、圖像處理等很多領(lǐng)域的實際問題中都有保角變換的身影［1-2］。1952 年，Nehari［3］給出了5 種狹縫域作為多連通域保角變換的重要規(guī)范域，分別是平行狹縫域、弧形狹縫域、徑向狹縫域、帶有弧形狹縫的圓盤域及帶有弧形狹縫的圓環(huán)域，任何多連通域都可映射到這5 種規(guī)范域上；20 世紀80 年代，日本學(xué)者Amano 對模擬電荷法和數(shù)值保角變換作了大量研究，提出基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換計算法（Amano 法）［4-6］；2007 年，Nasser 將求解保角變換問題轉(zhuǎn)化為黎曼希爾伯特問題，并用帶有廣義Neumann kernel 的邊界積分方程求解該問題［7-8］。國外研究學(xué)者們提出了許多保角變換的數(shù)值方法，但針對提高數(shù)值保角變換精度的研究較少。

目前國內(nèi)許多學(xué)者針對不同類型問題域的數(shù)值保角變換，提出一些提高模擬電荷法計算精度的方法［9-11］，但針對提高有界多連通區(qū)域數(shù)值保角變換精度的研究很少。因此，本文通過基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換法將有界多連通區(qū)域映射到有相同圓心的帶有弧形狹縫的圓環(huán)，并給出提高該問題域數(shù)值保角變換計算精度的算法。

本文首先介紹基于模擬電荷法的有界多連通區(qū)域數(shù)值保角變換算法，由于該方法產(chǎn)生的約束方程組有很強的病態(tài)性，因此根據(jù)預(yù)處理思想［12］，采用1-范數(shù)均衡法處理約束方程組，使矩陣所有行或列有相同的模，降低矩陣的條件數(shù)，從而改善矩陣的病態(tài)性［13］；然后，通過基于雙共軛梯度的廣義乘積型算法（GPBi-CG）［14］求解預(yù)處理后的約束方程組，得到更高精度的方程組數(shù)值解，即保角變換的模擬電荷與變換半徑，進而得到近似保角變換函數(shù)；最后，通過數(shù)值實驗驗證了本文提出的數(shù)值保角變換新算法的優(yōu)越性。

1 相關(guān)研究

1.1 有界多連通區(qū)域保角變換函數(shù)

本節(jié)主要闡述基于模擬電荷法的有界多連通區(qū)域的數(shù)值保角變換計算法［15-16］。圖1 是多連通域保角變換的重要規(guī)范域之一，即將有界多連通區(qū)域D映射到帶有弧形狹縫的圓環(huán)域E上。其中，問題域D由z平面上的閉合Jordan曲線C1,C2,…,Cn構(gòu)成，且閉合曲線C2,…,Cn被閉合曲線C1包圍；目標域E由w平面上的單位圓S1、同心圓S2以及與圓環(huán)有相同圓心的弧形狹縫S3,…,Sn構(gòu)成，即帶有圓弧狹縫的單位圓環(huán)。

Fig.1 Numerical conformal mappings of bounded multiply connected domains by the charge simulated method（“+”denoted the position of charge points）圖1 基于模擬電荷法的有界多連通區(qū)域數(shù)值保角變換（“+”表示模擬電荷點位置）

由Riemann 映射定理可知，在滿足正則化條件f(u)=0,f(v)=1，u和v為正則化點，且點u在閉合曲線C2內(nèi)部，點v是曲線C1上的點時，從多連通域D到規(guī)范狹縫域E存在唯一的保角映射函數(shù)w=f(z)，將曲線C1,C2,…,Cn分別映射成圓或圓弧狹縫S1,S2,…,Sn。

根據(jù)保角變換的幾何性質(zhì)，可得到邊界約束條件：

其中，r1,r2,…,rn是圓與圓弧狹縫的半徑，且r1=1。

在不失一般性的情況下，不防令z=0 在曲線C2內(nèi)部，且f(0)=0，利用調(diào)和函數(shù)g(z)及其共軛調(diào)和函數(shù)h(z)，將有界多連通區(qū)域D映射到典型狹縫域E的保角變換函數(shù)表示為：

再根據(jù)正則化條件中f(v)=1，得：

由邊界約束條件，得：

根據(jù)保角變換函數(shù)存在的唯一性，本文將求解映射函數(shù)f(z)問題轉(zhuǎn)化為求解調(diào)和函數(shù)g(z)與h(z)的問題。

1.2 基于模擬電荷法的有界多連通區(qū)域數(shù)值保角變換

模擬電荷法通過復(fù)對數(shù)函數(shù)的線性組合近似調(diào)和函數(shù)g(z)與h(z)，即：

其中，Q0為復(fù)常數(shù)，Qli為未知電荷。如圖1 所示，模擬電荷點ζli在區(qū)域D外部，即N1個模擬電荷點分布在邊界C1外部，剩余的N2,…,Nn個模擬電荷點分別分布在邊界C2,…,Cn內(nèi) 部。

因為G(z)、H(z)分別是g(z)與h(z)的近似映射函數(shù)，所以由式（3）、式（4）可知：

其中，Ri是ri的近似，zmk是邊界曲線Cm上的約束點。通過式（7）計算出Q0并代入式（5），得：

聯(lián)立式（6）與式（8），有：

由于保角變換函數(shù)具有單值性與伸縮率不變性［17-18］，近似映射函數(shù)也應(yīng)滿足相應(yīng)性質(zhì)，從而有：

通過解式（9）、（10）與（11）聯(lián)立所得的N1+N2+…+Nn+n階大型線性方程組，得到電荷Qli,l=1,…,n,i=1,…,Nl和變換半徑Rm,m=1,…,n的值，從而求得保角變換近似函數(shù)：

2 本文方法

2.1 1-范數(shù)均衡法

將由式（9）、（10）與（11）聯(lián)立所得的N(=N1+N2+…+Nn+n)階大型線性方程組寫成Ax=b的形式。因為該方程為非對稱病態(tài)方程，所以本文首先基于1-范數(shù)均衡法降低方程組的條件數(shù)，再采用GPBi-CG 迭代算法求解預(yù)處理后的線性方程組。

對線性方程組Ax=b兩邊同乘以矩陣U，且令x=Bx*，得：

式中，U、B為對角矩陣，且矩陣U的對角元素為uii=,i=1,2,…,N，矩陣B的對角元素為bjj=,j=1,2,…,N，其中S與T為任意常數(shù)。矩陣A左乘U后可使每行的1-范數(shù)相同，矩陣UA再右乘B后每列的1-范數(shù)相同。行列的1-范數(shù)均衡可連續(xù)重復(fù)下去，一般經(jīng)過幾次重復(fù)后，系數(shù)矩陣的條件數(shù)則不再改變，方程的病態(tài)性也不再得到改善，此時可停止重復(fù)，得到最后經(jīng)過預(yù)處理的線性方程：

2.2 基于預(yù)處理的GPBi-CG 算法

將式（14）改寫為：

其中，A*=Uk…U2U1AB1B2…Bk,b*=Uk…U2U1b。

利用GPBi-CG 算法求解得到x*，再由x=B1B2…Bk x*得到原方程組的解x，該方法稱為基于預(yù)處理的GPBi-CG算法。GPBi-CG 算法不僅避免了雙共軛梯度法（Bi-CG）中使用轉(zhuǎn)置矩陣生成Krylov 子空間，從而需要進行的轉(zhuǎn)置矩陣與向量乘法運算，而且提高了收斂速度。

根據(jù)文獻［19］、［20］，可得到求解線性方程組的Bi-CG算法。算法具體步驟如下：

根據(jù)文獻［14］可知，GPBi-CG 算法是在Bi-CG 算法基礎(chǔ)上，通過使用Bi-CG 算法的殘差多項式Rn與其它具有標準三項遞推關(guān)系的多項式Hn乘積，定義新算法的殘差多項式，并且由Rn的三項遞推關(guān)系：

給出Hn的三項遞推關(guān)系：

其中，參數(shù)ηn與參數(shù)ζn可由殘差的最小二范數(shù)來確定，即：

由這兩組多項式的乘積得到相應(yīng)的多項式遞推關(guān)系，從而得到新算法，即GPBi-CG 算法的遞推公式。

最后本文參考文獻［21］的思想，將1-范數(shù)均衡預(yù)處理與GPBi-CG 算法相結(jié)合，建立求解模擬電荷與變換半徑的預(yù)處理GPBi-CG 算法。算法具體步驟如下：

3 數(shù)值實驗

本文通過以下兩個基于模擬電荷法的有界多連通區(qū)域保角變換數(shù)值實驗檢驗本文方法，即基于預(yù)處理的GP?Bi-CG 算法相比Gauss-Seidle 法［22-23］與Amano 法的優(yōu)越性，并使用MATLAB 軟件編寫程序。

基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換根據(jù)拉普拉斯方程最大值原理在邊界上進行誤差評價，誤差計算公式為：

例1：多連通區(qū)域D以正方形C1為外邊界，以正方形C2、C3為內(nèi)邊界，其邊界曲線方程為：

約束點為：

模擬電荷點為：

剩余約束點與模擬電荷點按照軸對稱配置即可。

圖2 為當Nl=56(l=1,2,3)時問題域邊界及模擬電荷點位置圖，圖3 是圖2 基于本文方法的保角變換圖。

表1 給出了取不同數(shù)量（32、56、80、104、120）的模擬電荷點時，本文方法與Gauss-Seidel 法及Amano 法的對比，包括誤差、迭代次數(shù)及條件數(shù)情況。從表1 可以看出，本文方法經(jīng)過預(yù)處理后，方程組的條件數(shù)降低到傳統(tǒng)方法條件數(shù)的左右。對于內(nèi)、外邊界Cl，本文方法的誤差明顯小于Gauss-Seidel 法，且迭代次數(shù)遠少于Gauss-Seidel 法；對于外邊界C1，本文方法的誤差明顯小于Amano 法，充分驗證了本文方法的優(yōu)越性。

Fig.2 Boundary and position of charge points（example 1）圖2 邊界及模擬電荷點位置（例1）

Fig.3 Fig.2 Transformation diagram based on the proposed method（example 1）圖3 圖2 基于本文方法的保角變換圖（例1）

Table 1 Numerical conformal mapping error，iterations and condi?tion number（example 1）表1 數(shù)值保角變換誤差、迭代次數(shù)與條件數(shù)（例1）

圖4 給出了3 種方法更直觀的誤差曲線圖。結(jié)合表1與圖4 可以看出，當各邊界模擬電荷點數(shù)N=104 時，邊界曲線C1基于本文方法的誤差為E1=2.90 × 10-4，迭代次數(shù)為1 694 次；Gauss-Seidel 法的誤差為E1=1.38 × 10-2，迭代次數(shù)為2 963 次；Amano 法的誤差為E1=6.40 × 10-3，且本文算法隨著模擬電荷點的增加，誤差穩(wěn)定下降。

Fig.4 Error curve of conformal mapping（example 1）圖4 保角變換誤差曲線（例1）

為了進一步驗證本文算法的有效性，下面以菱形為外邊界的有界多連通區(qū)域的保角變換情況為例進行說明。

例2：多連通區(qū)域D以菱形C1為外邊界，以正方形C2和C3為內(nèi)邊界的邊界曲線方程為：

約束點位置為：

模擬電荷點位置為：

內(nèi)邊界C2、C3剩余約束點與模擬電荷點同樣按照軸對稱配置即可。

同樣的，圖5 為當Nl=56(l=1,2,3)時問題域邊界及模擬電荷點分布圖，圖6 是圖5 基于本文方法的保角變換圖。

表2 同樣給出了取不同數(shù)量（32、56、80、104、120）的模擬電荷點時，本文方法與Gauss-Seidel 法及Amano 法的對比，包括誤差、迭代次數(shù)與方程組條件數(shù)情況。由表2 可知，本文方法經(jīng)過預(yù)處理后，方程組的條件數(shù)降低到傳統(tǒng)方法條件數(shù)的左右，且對于內(nèi)、外邊界Cl，本文方法的誤差明顯小于Gauss-Seidel 法，且迭代次數(shù)遠少于Gauss-Seidel 法；對于外邊界C1，本文方法的誤差明顯小于Amano法，再次驗證了本文方法的優(yōu)越性。

Fig.5 Boundary and position of charge points（example 2）圖5 邊界及模擬電荷點位置（例2）

Fig.6 Fig.5 Transformation diagram based on the proposed method（example 2）圖6 圖5 基于本文方法的保角變換圖（例2）

Table 2 Numerical conformal mapping error，iterations and condi?tion number（example 2）表2 數(shù)值保角變換誤差、迭代次數(shù)與條件數(shù)（例2）

同樣的，本文通過圖7 給出了3 種方法更直觀的誤差曲線圖。結(jié)合表2 與圖7 可以看出，當各邊界模擬電荷點數(shù)N=104 時，邊界曲線C1基于本文算法的誤差為E1=8.50×10-4，迭代次數(shù)為44 次；Gauss-Seidel 法的誤差為E1=4.50×10-2，迭代次數(shù) 為3 300 次；Amano 法的 誤差為E1=3.31×10-2，且本文算法隨著模擬電荷點的增加，誤差穩(wěn)定下降，再次驗證了本文算法的優(yōu)越性。

Fig.7 Error curve of conformal mapping（example 2）圖7 保角變換誤差曲線（例2）

4 結(jié)語

本文提出基于1-范數(shù)均衡預(yù)處理GPBi-CG 算法的有界多連通區(qū)域數(shù)值保角變換計算法，并通過多個數(shù)值實驗驗證了該方法在算法精度、穩(wěn)定性與迭代次數(shù)上都有較好表現(xiàn)，對于求解該類型問題域的近似保角變換函數(shù)具有明顯的優(yōu)越性。保角變換在圖像處理中有著廣泛應(yīng)用，未來可進行一些具體應(yīng)用的研究，比如本文研究結(jié)果可應(yīng)用于將不規(guī)則或破損圖片映射形成環(huán)形，并進一步將這些圖片信息刻錄到光學(xué)媒介、CD 或DVD 上長久保存下來。但不足的是，本文算法在剩余的4 種規(guī)范域、單連通域和雙連通域等數(shù)值保角變換問題中的應(yīng)用效果還有待驗證，且本文是根據(jù)經(jīng)驗選取模擬電荷點，在未來研究中也可考慮給出更科學(xué)的選取方法。