劉 磊,張 巖

(1.包頭鋼鐵職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系,內(nèi)蒙古 包頭 014010;2.河北科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,河北 石家莊 050018)

0 引 言

在機(jī)器人系統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)中,常利用減速器來改變執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能,最典型的應(yīng)用就是跳躍機(jī)器人。一般情況下,由于傳動(dòng)比是一個(gè)常量,機(jī)器人會(huì)根據(jù)運(yùn)動(dòng)和任務(wù)選擇合適的傳動(dòng)比[1,2],例如當(dāng)需要較大扭矩時(shí),通過犧牲角速度來選擇較小的傳動(dòng)比。但是,實(shí)際情況中,許多任務(wù)同時(shí)需要大扭矩輸出和高速來實(shí)現(xiàn)[3,4],例如搬運(yùn)重物等。針對(duì)這些任務(wù),變傳動(dòng)比在連續(xù)運(yùn)動(dòng)方面是有效的,且不需要更換齒輪。

到目前為止,已有許多關(guān)于跳躍機(jī)器人的研究。ASILOPOULOS V等[5]提出了足部關(guān)節(jié)處的力多邊形,根據(jù)每個(gè)關(guān)節(jié)上的力控制器來研究著陸特性。VERSTRATEN T等[6]提出了一種串聯(lián)彈性雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)的跳躍機(jī)器人。

但是,上述這些方法集中在穩(wěn)定跳躍的控制上,無法實(shí)現(xiàn)大扭矩輸出和高速度變化。因此,變傳動(dòng)比成為了目前研究的熱門方向。BHATTI J等[7]提出了適用于敏捷跳躍機(jī)器人的自適應(yīng)高度控制器。BAI L等[8]提出了仿生間歇跳躍機(jī)器人設(shè)計(jì),并對(duì)其變傳動(dòng)比機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。

在上述這些機(jī)構(gòu)中,機(jī)器人通過彈簧或慣性力積累的能量來實(shí)現(xiàn)更高的跳躍,但并非所有的能量都可用于跳躍,可能會(huì)消耗執(zhí)行器大量能量,而降低電機(jī)運(yùn)行效率。

因此,本文以有效利用電機(jī)功率為目標(biāo),提出一種跳躍運(yùn)動(dòng)最優(yōu)變傳動(dòng)比的設(shè)計(jì)方法,并通過異形齒輪實(shí)現(xiàn)所獲得的變傳動(dòng)比;同時(shí),提出一種異形齒輪的齒形(節(jié)曲線)設(shè)計(jì)方法,并通過原型對(duì)該設(shè)計(jì)方法的有效性進(jìn)行評(píng)價(jià);此外還研究跳躍高度隨機(jī)器人參數(shù)和初始姿態(tài)擾動(dòng)的變化。

1 跳躍機(jī)器人與最佳傳動(dòng)比

1.1 傳動(dòng)比的優(yōu)化

首先,需要推導(dǎo)出使地面作用力最大的最佳傳動(dòng)比。跳躍機(jī)器人機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)示意如圖1所示。

(a)跳躍機(jī)器人的機(jī)構(gòu)

φm—電機(jī)的旋轉(zhuǎn)角度;τm—電機(jī)的輸出扭矩;EZC—電機(jī)供電的恒定電壓;i—電機(jī)電流;imax—電機(jī)電流的最大值;φ1—腿部連桿的旋轉(zhuǎn)角度;G—傳動(dòng)比;y—主體高度;F—垂直于地面的作用力

如圖1(a)所示,直流電機(jī)安裝在機(jī)器人主體上。

φm與φ1之間的關(guān)系如下:

(1)

本部分不考慮腿部機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu),但假定其φ1與主體高度y之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系為:

(2)

此外,由于運(yùn)動(dòng)學(xué)上的限制,機(jī)器人主體的運(yùn)動(dòng)被限制在垂直于踝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)中心的垂直線上,如圖1(b)所示,這表明機(jī)器人具有一個(gè)自由度。

電機(jī)扭矩τm產(chǎn)生垂直地面的力F,考慮最大化F來設(shè)計(jì)最佳傳動(dòng)比。

機(jī)器人的動(dòng)能e表示為:

(3)

式中:yoff—機(jī)器人起跳時(shí)的主體高度。

機(jī)器人在F<0時(shí)起跳。F越大,則跳躍越高。

根據(jù)電機(jī)端子之間的電壓關(guān)系[9],可推導(dǎo)出以下等式:

(4)

式中:R—電機(jī)電阻;L—電機(jī)電感;Ka—扭矩常數(shù)。

假設(shè)L可以忽略不計(jì),則i表示為:

(5)

且τm可表示為:

(6)

另一方面,根據(jù)式(1,2)和虛功原理,F可表示為:

F=(GJ)-1τm

(7)

將式(2)和式(6)代入式(7),得到:

(8)

(9)

另一方面,電機(jī)功率P可表示為:

(10)

1.2 基于正向動(dòng)力學(xué)分析的節(jié)圓半徑設(shè)計(jì)

步驟1:機(jī)器人動(dòng)力學(xué)由下式表示:

(11)

式中:Mm—慣性;Cm—離心項(xiàng);Km—重力項(xiàng)。

(12)

由式(1)對(duì)時(shí)間的微分可得:

(13)

由式(13)的二階積分計(jì)算得到φl。

?G/?φm的近似值為:

(14)

式中:ΔG—當(dāng)前迭代與前一次迭代之間的G差值;Δφm—當(dāng)前迭代與前一次迭代的φm差值。

步驟4:根據(jù)式(8),使用式(2)計(jì)算F。當(dāng)F>0時(shí),轉(zhuǎn)到步驟2,重復(fù)相同的過程;當(dāng)F≤0時(shí),停止迭代。

通過上述過程,可以得到的φm和G如圖2所示。

圖2 得到的φm和G

φm和G的時(shí)間變化如圖2(a)所示,且得到了φm和G的關(guān)系G=G(φm)如圖2(b)所示。

將輸入和輸出異形齒輪中心之間的距離定義為d,輸入齒輪rin的節(jié)圓半徑可通過以下公式獲得:

(15)

輸入齒輪的節(jié)圓半徑如圖3所示。

圖3 輸入齒輪的節(jié)圓半徑

輸出齒輪rout的節(jié)圓半徑也采用同樣的方法得到。

2 跳躍機(jī)構(gòu)與異形齒輪的設(shè)計(jì)

2.1 跳躍機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

在這一部分中,筆者為跳躍機(jī)器人設(shè)計(jì)了一個(gè)非圓形齒輪。跳躍機(jī)器人的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 跳躍機(jī)器人的結(jié)構(gòu)

圖4中:齒輪1、2和3的傳動(dòng)比分別為G1、G2和G3,其中,G1較小以增加扭矩,G2為由異形齒輪實(shí)現(xiàn)的變傳動(dòng)比,而G3大于1,以擴(kuò)大異形齒輪的有效區(qū)域,因?yàn)橥刃D(zhuǎn)角度小于90°。對(duì)于該跳躍機(jī)構(gòu),圖1(a)中的G由G=G1G2G3表示。主體的運(yùn)動(dòng)由線性滑塊限制在垂直方向。大腿和小腿由正時(shí)帶輪連接。正時(shí)帶輪的傳動(dòng)比為2。

將大腿和小腿的長(zhǎng)度設(shè)置為l,式(2)中的J由下式表示:

J=2lcos(φl+φI0)

(16)

最佳傳動(dòng)比G2由下式給出:

(17)

式中:φl0—φl的初始值。

2.2 異形齒輪的齒形設(shè)計(jì)

基于所提齒形設(shè)計(jì)方法,筆者設(shè)計(jì)了一種異形齒輪。異形齒輪不能實(shí)現(xiàn)零傳動(dòng)比,即具有最小傳動(dòng)比G2min。

G2min為0.1和1時(shí)的仿真結(jié)果對(duì)比如圖5所示。

圖5 G2min為0.1和1時(shí)的仿真結(jié)果對(duì)比

由圖5可知:

(1)G2min為0.1時(shí),傳動(dòng)比在運(yùn)動(dòng)開始時(shí)受到G2min的限制。如圖5(a)中虛線所示:0.051 s之后,G2的變化較大,它的變化過大導(dǎo)致主體速度和地面力的變化很大,還產(chǎn)生了較大的輪齒壓力角。

根據(jù)圖5(b)中虛線所示,起跳時(shí)的主體速度為1.69 m/s,產(chǎn)生了0.124 m的跳躍高度。跳躍高度的定義如圖6所示。

圖6 跳躍高度的定義

由于受輪齒壓力角的限制,異形齒輪無法實(shí)現(xiàn)所獲得的傳動(dòng)比,因?yàn)镚2min為0.1太小了;

(2)G2min為1時(shí),機(jī)器人在0.221 s時(shí)起跳,主體速度為1.64 m/s,跳躍高度為0.117 m(僅比G2min為0.1時(shí)低5.6%)。

異形齒輪的齒形(節(jié)曲線)如圖7所示。

圖7 異形齒輪的齒形(節(jié)曲線)

輪齒壓力角如圖8所示。

圖8 輪齒壓力角

壓力角α的定義如圖9所示。

圖9 壓力角α的定義

輸入和輸出齒輪中心之間的距離為0.056 m。從圖9可以看出,通過設(shè)置G2min為1,輪齒壓力角的變化小于50°[14-16]。

2.3 與圓形齒輪的比較

為了說明異形齒輪的有效性,筆者計(jì)算了采用圓形齒輪的最佳恒定傳動(dòng)比。恒定傳動(dòng)比與跳躍高度的關(guān)系如圖10所示。

圖10 恒定傳動(dòng)比與跳躍高度的關(guān)系

圖10中,將G2設(shè)定為常量,通過仿真計(jì)算跳躍高度。在灰色區(qū)域(i)中,機(jī)器人由于傳動(dòng)比小(主體速度小)而無法跳躍;在區(qū)域(ii)中,機(jī)器人由于傳動(dòng)比大、扭矩小而不能站立。

可以看出:G2為3.2時(shí)機(jī)器人的最大跳躍高度為0.047 4 m,遠(yuǎn)小于使用異形齒輪時(shí)的跳躍高度(0.117 m,G2min為1)。

為了研究其原因,筆者對(duì)電機(jī)功率和功耗進(jìn)行了計(jì)算。電機(jī)功率對(duì)比如圖11所示。

圖11 電機(jī)功率對(duì)比

電機(jī)功對(duì)比如12所示。

圖12 電機(jī)功對(duì)比

2.4 跳躍高度對(duì)參數(shù)擾動(dòng)的敏感性

圖7中,異形齒輪是基于正向動(dòng)力學(xué)分析為指定的機(jī)器人和指定的初始位置設(shè)計(jì)的(M為1.65 kg,φ10為10°),有必要評(píng)估跳躍高度相對(duì)于參數(shù)擾動(dòng)的變化。因此,筆者根據(jù)重量擾動(dòng)ΔM和角度擾動(dòng)Δφ10計(jì)算了跳躍高度的變化。

相對(duì)于重量擾動(dòng)的跳躍高度變化如圖13所示。

圖13 相對(duì)于重量擾動(dòng)的跳躍高度變化

相對(duì)于角度擾動(dòng)的跳躍高度變化如圖14所示。

圖14 相對(duì)于角度擾動(dòng)的跳躍高度變化

從動(dòng)力學(xué)的角度來看,不管使用圓形齒輪還是異形齒輪,即使是較輕的重量和較小的初始角度也會(huì)產(chǎn)生較高的跳躍高度。然而,在參數(shù)擾動(dòng)的所有情況中,異形齒輪均獲得了比圓形齒輪更高的跳躍高度。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 原型機(jī)

筆者設(shè)計(jì)并制造了一個(gè)跳躍機(jī)構(gòu)的原型,重量M為1.65 kg,l為0.15 m,G1為1/28,G3為1/5。采用了MAXON公司的4.90W-DC電機(jī),其電阻R為2.07 Ω,扭矩常數(shù)Ka為52.5×10-3Nm/A,E為48 V,限流imax為12 A,φ10為10°。

跳躍機(jī)構(gòu)的原型如圖15所示。

(a)三維CAD模型

根據(jù)圖7中的節(jié)曲線,筆者制作了一個(gè)異形齒輪的原型。由于圖7中的俯仰曲線有一個(gè)不可微分點(diǎn)，此處采用樣條插值,以便獲得光滑的曲線。

異形齒輪的厚度為10 mm,模數(shù)為1.5,制造材料為合金工具鋼(SKD11)。異形齒輪的原型如圖16所示。

圖16 異形齒輪的原型

3.2 跳躍實(shí)驗(yàn)

筆者利用異形齒輪(G2min為1)和圓形齒輪進(jìn)行了跳躍實(shí)驗(yàn),跳躍實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖17所示。

(a)異形齒輪,0.0 s

圖18 實(shí)驗(yàn)和仿真的比較

相對(duì)于初始姿態(tài)擾動(dòng)的跳躍高度變化如圖19所示。

圖19 相對(duì)于初始姿態(tài)擾動(dòng)的跳躍高度變化

圖19與仿真結(jié)果(圖14)相同,采用異形齒輪時(shí),在初始姿態(tài)擾動(dòng)的所有情況中,其跳躍高度都大于圓形齒輪。

4 結(jié)束語

本文提出了一種適用于跳躍機(jī)構(gòu)的齒輪最優(yōu)變傳動(dòng)比設(shè)計(jì)方法,并采用異形齒輪對(duì)其進(jìn)行了具體實(shí)現(xiàn),有效地提高了電機(jī)效率;通過變傳動(dòng)比跳躍機(jī)構(gòu)原型的實(shí)驗(yàn)測(cè)試,得出了如下結(jié)論:

(1)采用異形齒輪的跳躍高度為0.135 m,為圓形齒輪的1.68倍,說明采用異形齒輪的電機(jī)功率比采用圓形齒輪的電機(jī)功率要大得多;

(2)由于所提出的方法是基于正向動(dòng)力學(xué)分析的,結(jié)果依賴于機(jī)器人物理參數(shù)的擾動(dòng)。然而,在參數(shù)擾動(dòng)的所有情況中,異形齒輪均獲得了比圓形齒輪更高的跳躍高度。

在后續(xù)的研究中,筆者將在無支撐連桿條件下,對(duì)異形齒輪進(jìn)行跳躍測(cè)試,以便針對(duì)其穩(wěn)定性開展進(jìn)一步的分析。