羅智孫,吳國(guó)新*,何小妹,何學(xué)軍,朱春梅

(1.北京信息科技大學(xué) 現(xiàn)代測(cè)控技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100192;2.中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán) 北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所,北京 100095)

0 引 言

非完整小圓弧指的是圓弧輪廓對(duì)應(yīng)中心角度小于120°的、曲率半徑范圍為0～25 mm的弧線或弧面[1]。非完整小圓弧輪廓性能特殊,在國(guó)防科技工業(yè)和精密制造業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用,例如:航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的前后緣輪廓對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的氣動(dòng)性能和葉片的疲勞性能產(chǎn)生直接影響;數(shù)控機(jī)床刀具的刀尖部分直接決定其加工精度;一些精密零部件的邊緣倒角用于去除加工毛刺,改善零部件應(yīng)力集中的情況。

曲率半徑參數(shù)作為小圓弧輪廓的核心參數(shù),其精度對(duì)工件的生產(chǎn)制造性能極為重要,存在精確測(cè)量及評(píng)定的迫切需要[2]。然而,其非完整性和圓弧半徑范圍小的特點(diǎn)導(dǎo)致測(cè)量及評(píng)價(jià)難度大,因此,對(duì)曲率半徑參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性一直存在著爭(zhēng)議。

通過(guò)已有文獻(xiàn)對(duì)非完整小圓弧評(píng)價(jià)方法的研究,基本確定了影響曲率半徑評(píng)價(jià)結(jié)果的主要圓弧參數(shù),以及各參數(shù)對(duì)評(píng)價(jià)過(guò)程影響的大致趨勢(shì)[3]。影響評(píng)價(jià)精度的主要圓弧參數(shù)有圓弧的理論半徑、圓弧輪廓點(diǎn)集所對(duì)中心角,以及圓弧輪廓點(diǎn)集的輪廓度誤差[4]。在通常情況下,圓弧的理論半徑越小,評(píng)價(jià)的難度及誤差就越大;圓弧輪廓所對(duì)中心角度越小,曲率半徑評(píng)價(jià)的準(zhǔn)確性也越差;輪廓點(diǎn)集的輪廓度誤差越大,評(píng)價(jià)精度也隨之下降[5]。

在上述3個(gè)影響因素中,圓弧半徑是要求取的目標(biāo)值,無(wú)法對(duì)其進(jìn)行調(diào)節(jié)。因此,學(xué)者們普遍從圓弧輪廓點(diǎn)集所對(duì)中心角,以及圓弧輪廓點(diǎn)集的輪廓度誤差上著手,通過(guò)減小輪廓度誤差的影響或者增大中心角度的方法,以此來(lái)提高其評(píng)價(jià)的精度。

GUEVARA I等[6]提出了一種基于平均絕對(duì)誤差來(lái)擬合一組點(diǎn)的魯棒幾何方法,該方法通過(guò)最小化到數(shù)據(jù)點(diǎn)的幾何距離之和,基于梯度或二階導(dǎo)數(shù)的快速迭代算法,以左、右導(dǎo)數(shù)確定迭代新方向,將數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合成圓弧,繼而求取半徑;該算法在計(jì)算效率上可作為常規(guī)算法的替代方法,原理上降低了輪廓度誤差對(duì)評(píng)價(jià)過(guò)程的影響,增強(qiáng)了算法的魯棒性,使其對(duì)異常值和數(shù)據(jù)噪聲不敏感,進(jìn)而提升了評(píng)價(jià)精度。FEI Zhi-gen等[7]從非完整小圓弧所對(duì)中心角度著手,采用了一種基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)的雙向預(yù)測(cè)方法,將觀測(cè)數(shù)據(jù)視為時(shí)間序列,并對(duì)其進(jìn)行了雙向延伸,再進(jìn)行了插值,通過(guò)增大圓弧長(zhǎng)度進(jìn)而增大圓弧輪廓所對(duì)中心角度,經(jīng)過(guò)大量數(shù)據(jù)的訓(xùn)練學(xué)習(xí),最終證實(shí)該方法擬合的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性遠(yuǎn)勝于預(yù)測(cè)之前。

在一些特定領(lǐng)域及工況條件下,以上方法具有很好的應(yīng)用效果,但都具有一定的局限性。如基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)的雙向預(yù)測(cè)法,所需圓弧輪廓數(shù)據(jù)樣本量巨大,實(shí)際工程中可供用于訓(xùn)練學(xué)習(xí)的圓弧數(shù)據(jù)樣本數(shù)量基本難以達(dá)到要求,其應(yīng)用的普適性不高。不過(guò),此種試圖在一定時(shí)間跨度內(nèi)通過(guò)預(yù)測(cè)延長(zhǎng)圓弧長(zhǎng)度的方法亦是一種可行手段。

基于這種啟發(fā),筆者提出一種基于自適應(yīng)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型的方法,對(duì)已有的圓弧輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)集進(jìn)行預(yù)測(cè)延伸,針對(duì)傳統(tǒng)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)中平滑系數(shù)難以確定的問(wèn)題,在其基礎(chǔ)上添加自適應(yīng)算法,進(jìn)行優(yōu)化。

1 小圓弧輪廓所對(duì)中心角對(duì)曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)的影響

非完整小圓弧曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)的難點(diǎn)之一在于其非完整性,即輪廓中心角占總圓或球面的比例[8]。圓弧輪廓所對(duì)中心角度越小,說(shuō)明這段圓弧的完整性也越差;完整性差意味著該段圓弧所缺失的信息較多[9],直接導(dǎo)致擬合過(guò)程中的不確定因素增多。

因此,在完整性較差的圓弧的擬合過(guò)程中,不僅采用不同擬合方法情況下擬合的結(jié)果相差很大;采用同種方法對(duì)同一圓弧數(shù)據(jù)擬合,每次的擬合結(jié)果也不盡相同。非完整小圓弧曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)的難點(diǎn)主要在于擬合的穩(wěn)定性及重復(fù)性差,直接導(dǎo)致曲率半徑估計(jì)的準(zhǔn)確性也存在爭(zhēng)議。

在利用某光學(xué)三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x測(cè)量一件圓心角為10°左右的非完整小圓弧標(biāo)準(zhǔn)件時(shí),經(jīng)處理后得到輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)集,再使用測(cè)量?jī)x自帶軟件將其擬合成圓;由于圓弧數(shù)據(jù)所對(duì)中心角過(guò)小,缺失信息太多,每次擬合圓的圓心位置與曲率半徑參數(shù)的結(jié)果差異性很大,重復(fù)性比較差,難以判定哪次擬合的結(jié)果才是準(zhǔn)確的。

其擬合效果如圖1所示。

圖1 非完整小圓弧曲率半徑評(píng)價(jià)的難點(diǎn)

在非完整圓弧的擬合評(píng)價(jià)過(guò)程中,影響圓弧輪廓數(shù)據(jù)的曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)精度的因素有:理論半徑R、輪廓所對(duì)中心角θ和輪廓度誤差f等。

為了能對(duì)輪廓中心角參數(shù)進(jìn)行更準(zhǔn)確地分析,在仿真分析過(guò)程中,需控制其他的影響因素不變,即在對(duì)一組小圓弧輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)集進(jìn)行分析時(shí),應(yīng)保持半徑與輪廓度誤差不發(fā)生改變,調(diào)整中心角度慢慢增大,觀察圓弧輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)集所對(duì)應(yīng)中心角度對(duì)曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響趨勢(shì)。

筆者采用3組理論半徑分別為0.05 mm,1 mm以及25 mm的圓弧數(shù)據(jù)點(diǎn)集,輪廓度誤差均為理論半徑值的14%左右,使用最小二乘法擬合,得出不同半徑的小圓弧輪廓數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)誤差隨中心角度增大的變化趨勢(shì),如圖2所示。

圖2 小圓弧中心角度對(duì)評(píng)價(jià)影響的趨勢(shì)圖

由圖2可知:在非完整圓弧的評(píng)價(jià)過(guò)程中,不同半徑圓弧數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)誤差變化趨勢(shì)基本一致,都隨著輪廓所對(duì)中心角度的增大而減小,評(píng)價(jià)誤差的變化率均呈現(xiàn)出先增大再減小的趨勢(shì);

當(dāng)圓弧中心輪廓角度小于10°或者大于60°時(shí),曲線較平穩(wěn),通過(guò)增大中心角減小評(píng)價(jià)誤差的方法效果不太明顯;反觀約15°～60°之間的圓弧,隨著中心角度的增大,誤差曲線下降的速率快,評(píng)價(jià)精度提升的效果最為明顯。

基于以上仿真分析的結(jié)果可知:針對(duì)輪廓中心角為60°以下的非完整小圓弧曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)上的難點(diǎn),可利用一種增大圓弧所對(duì)中心角度的方法,來(lái)降低曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)過(guò)程中的誤差。

在所有能增加圓弧長(zhǎng)度的方法中,時(shí)間序列預(yù)測(cè)法作為一種常用外延方法而被廣泛應(yīng)用[10]。

2 三次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)模型

時(shí)間序列預(yù)測(cè)就是通過(guò)分析其歷史數(shù)據(jù)的規(guī)律性,來(lái)研究其未來(lái)的變化趨勢(shì)。一般來(lái)說(shuō),歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)值的影響是隨時(shí)間間隔的增長(zhǎng)而遞減的,所以,更切合實(shí)際的方法是對(duì)各期數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)平均求取預(yù)測(cè)值[11]。

簡(jiǎn)單加權(quán)平均法用的是算術(shù)平均數(shù),近期數(shù)據(jù)的權(quán)值比遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)的權(quán)值大,即越近的數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)值的影響越大[12]。

指數(shù)平滑法是一種特殊的加權(quán)平均法,其原理是將權(quán)值按照指數(shù)遞減的規(guī)律分配。根據(jù)平滑的次數(shù)不同,分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法;每個(gè)算法都是在之前的算法基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次平滑運(yùn)算處理得到的。一次指數(shù)平滑法適用于無(wú)趨勢(shì)效應(yīng)、平滑序列的預(yù)測(cè);二次指數(shù)平滑法適用于線性時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè);三次指數(shù)平滑法適用于非線性變化、規(guī)律性較差的數(shù)據(jù)[13]。

在本文的研究中,筆者將圓弧輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)集根據(jù)其空間位置順序視為時(shí)間序列,其大體趨勢(shì)呈線性變化。但從精密測(cè)量的角度分析,由于圓弧表面粗糙度及測(cè)量過(guò)程中存在誤差,實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的規(guī)律性并不高,采用三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)的精度更高。

筆者將實(shí)際測(cè)量所得的小圓弧輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)集按照空間坐標(biāo)位置排序,并將序數(shù)視為時(shí)間序列的期數(shù),對(duì)之進(jìn)行三次指數(shù)平滑。其數(shù)學(xué)模型如下:

已知圓弧采樣點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)集X=[x1，x2，x3，…，xn]，Y=[y1，y2，y3，…，y…n]，三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型為：

(1)

(2)

同理,對(duì)Y進(jìn)行三次指數(shù)平滑處理。

利用式(2)可求得:

(3)

at2,bt2,ct2的求解同理。

將求出的at1,bt1,ct1和at2,bt2,ct2代入式(1)中,設(shè)定好預(yù)測(cè)的期數(shù)m,即可得到后期的預(yù)測(cè)值。

在三次平滑過(guò)程中,為增強(qiáng)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性,各個(gè)參數(shù)的選取需要依照一定的要求。接下來(lái)對(duì)主要參數(shù)及其選取標(biāo)準(zhǔn)分別進(jìn)行分析。

2.1 平滑初值的選取

在平滑過(guò)程中,若歷史數(shù)據(jù)樣本較小,初始值對(duì)預(yù)測(cè)值影響較大,則取前3或前5組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為平滑的初值;若樣本量大,初始值對(duì)預(yù)測(cè)值影響較小,則取第一組數(shù)據(jù)作為平滑初值[14]。

2.2 平滑系數(shù)的選取

在指數(shù)平滑過(guò)程中,選擇合適的平滑系數(shù)α是提高預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵[15]。α值越大,加權(quán)系數(shù)序列的衰減速度越快,所以α值實(shí)際起著控制參加平均的歷史數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)值影響的作用,α值愈大意味著歷史數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)值影響越強(qiáng)。

在平滑系數(shù)選取過(guò)程中往往遵循以下準(zhǔn)則:

(1)若序列的基本趨勢(shì)較平穩(wěn),預(yù)測(cè)偏差由隨機(jī)因素造成,則α應(yīng)取小一些,以減小修正幅度,使預(yù)測(cè)模型能包含更多歷史數(shù)據(jù)的信息[16];

(2)若預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)已經(jīng)發(fā)生系統(tǒng)的變化,則α應(yīng)取大一些,以偏重新數(shù)據(jù)對(duì)原模型進(jìn)行大幅度修正,使預(yù)測(cè)模型適應(yīng)預(yù)測(cè)新目標(biāo)的變化[17]。

在實(shí)際應(yīng)用中,α的取值范圍一般在0.1～0.3為宜。

2.3 預(yù)測(cè)步數(shù)的選取

在三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)過(guò)程中,可采用一步預(yù)測(cè)或者多步預(yù)測(cè),一步預(yù)測(cè)即是固定式(1)中的m值為1,每次預(yù)測(cè)只得到一個(gè)預(yù)測(cè)點(diǎn),預(yù)測(cè)后將該預(yù)測(cè)點(diǎn)并入點(diǎn)集重新進(jìn)行下一期數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè);多步預(yù)測(cè)的m不為1,即可通過(guò)一次預(yù)測(cè)獲得多期的預(yù)測(cè)點(diǎn)。

在兩種預(yù)測(cè)方案的選擇上,多步預(yù)測(cè)雖然能減少迭代計(jì)算的次數(shù),提升計(jì)算效率,但是由于預(yù)測(cè)的過(guò)程中對(duì)于趨勢(shì)變化的反應(yīng)速度不如一步預(yù)測(cè),導(dǎo)致后期預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性不如前期預(yù)測(cè)數(shù)據(jù);隨著預(yù)測(cè)期數(shù)增加,誤差累加導(dǎo)致后期預(yù)測(cè)點(diǎn)容易產(chǎn)生偏離,無(wú)法進(jìn)行長(zhǎng)期的精確預(yù)測(cè)[18]。

而用一步預(yù)測(cè)時(shí),每預(yù)測(cè)一期數(shù)據(jù)后便將該數(shù)據(jù)納入數(shù)據(jù)點(diǎn)集,雖然迭代次數(shù)增多,計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng),但一定程度上減緩了誤差累積的速率,使預(yù)測(cè)點(diǎn)在多次預(yù)測(cè)后依然保持較高的準(zhǔn)確性,能夠?qū)A弧外延的角度進(jìn)一步增大,對(duì)于曲率半徑評(píng)價(jià)精度提高更有幫助。

因此,在精度要求較高的小圓弧輪廓數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)上,一步預(yù)測(cè)的性能上要優(yōu)于多步預(yù)測(cè)。

此處筆者采用三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型,對(duì)一組輪廓對(duì)應(yīng)中心角為15°左右的圓弧數(shù)據(jù)點(diǎn)集進(jìn)行預(yù)測(cè),其結(jié)果如圖3所示。

圖3 三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)發(fā)散圖像

由圖3可知:對(duì)比使用Hough變換法擬合的該組數(shù)據(jù)的圓弧曲線,可觀察到雖然前期的預(yù)測(cè)點(diǎn)具備一定準(zhǔn)確度;但隨著預(yù)測(cè)期數(shù)的增加,后期的預(yù)測(cè)點(diǎn)相對(duì)于擬合的標(biāo)準(zhǔn)圓弧發(fā)生了較明顯的偏移,并且偏移量逐漸增大。

在對(duì)圖3進(jìn)行分析時(shí),將預(yù)測(cè)點(diǎn)出現(xiàn)偏離的原因鎖定在平滑系數(shù)的確定上,僅憑借實(shí)際運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)確定的平滑系數(shù)顯然具有一定的局限性;并且,由于每次迭代計(jì)算后都會(huì)將預(yù)測(cè)點(diǎn)并入點(diǎn)集,使得預(yù)測(cè)的樣本量逐漸增大,預(yù)測(cè)趨勢(shì)發(fā)生細(xì)微改變,平滑系數(shù)卻依然是第一次預(yù)測(cè)前使用的值。

因此,針對(duì)如何提高預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確性的問(wèn)題,最佳平滑系數(shù)的確定策略亟待優(yōu)化。

3 自適應(yīng)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型

在三次指數(shù)平滑的過(guò)程中,平滑系數(shù)的選取常常帶有較強(qiáng)的主觀性,由于沒(méi)有實(shí)際值與預(yù)測(cè)值比較,無(wú)法確定其是否為最優(yōu)系數(shù)。

另外,在傳統(tǒng)三次指數(shù)平滑模型中,平滑系數(shù)一旦確定便無(wú)法再進(jìn)行調(diào)整,對(duì)于樣本環(huán)境波動(dòng)的適應(yīng)能力差,僅適用于一次預(yù)測(cè)。當(dāng)一次預(yù)測(cè)結(jié)束后,新產(chǎn)生的預(yù)測(cè)點(diǎn)再并入數(shù)據(jù)點(diǎn)集中進(jìn)行下一輪預(yù)測(cè),樣本的數(shù)量發(fā)生改變,再使用該平滑系數(shù)進(jìn)行計(jì)算就可能不太適用了。

并且,由于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)集數(shù)量過(guò)大,預(yù)測(cè)一個(gè)點(diǎn)需要點(diǎn)集所有的點(diǎn)都代入進(jìn)行迭代計(jì)算,增加了許多不必要的繁瑣計(jì)算;根據(jù)時(shí)間序列預(yù)測(cè)的原理,越是靠前的歷史數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)值的影響越小,遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)的影響幾乎可以忽略不計(jì)。

為解決以上兩個(gè)問(wèn)題,筆者提出了自適應(yīng)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型,即在原來(lái)傳統(tǒng)三次指數(shù)模型的基礎(chǔ)上添加自適應(yīng)算法進(jìn)行優(yōu)化。

自適應(yīng)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型并不是像傳統(tǒng)的三次指數(shù)平滑法一樣,將所有點(diǎn)全部代入直接預(yù)測(cè),而是根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)點(diǎn)集,從第一期數(shù)據(jù)開(kāi)始,只截取其中部分點(diǎn)進(jìn)行三次指數(shù)平滑;計(jì)算出這一期的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)后,就往后移動(dòng)一步計(jì)算,每次移動(dòng)都將最先一期的數(shù)據(jù)剔除,并加入后一期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。

同時(shí),遍歷平滑系數(shù)α的取值空間,進(jìn)行定步距計(jì)算,得出一系列預(yù)測(cè)點(diǎn),將所有預(yù)測(cè)點(diǎn)與當(dāng)期的實(shí)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行比較,根據(jù)誤差平方和最小化原則,得出誤差最小的預(yù)測(cè)點(diǎn),反推出預(yù)測(cè)該點(diǎn)的平滑系數(shù)值,即為實(shí)時(shí)最佳平滑預(yù)測(cè)值。

經(jīng)過(guò)前期歷史數(shù)據(jù)的訓(xùn)練,可擬合出平滑系數(shù)α的變化趨勢(shì)曲線。在點(diǎn)集外進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí),由于缺少實(shí)測(cè)值的比較,則需要根據(jù)α的擬合曲線方程計(jì)算后期平滑系數(shù)值,直接利用該平滑系數(shù)參與計(jì)算預(yù)測(cè)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)集外的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

自適應(yīng)三次指數(shù)平滑算法流程如下:

(1)利用現(xiàn)有實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)橫縱坐標(biāo)點(diǎn)集X和Y,實(shí)測(cè)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為n,假定每次預(yù)測(cè)固定采用k期(k

(2)去掉第1期數(shù)據(jù),采用第2期至第k+1期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),重復(fù)(1)中步驟,得到最佳平滑系數(shù)α2,以此類(lèi)推,總共能得到n-k個(gè)α值;

(3)使用MATLAB的polyfit函數(shù),將α1到αn-k擬合,得到擬合曲線與擬合公式,計(jì)算αn-k+1,αn-k+2,…αn-k+m(其中：m—數(shù)據(jù)點(diǎn)集外預(yù)測(cè)的期數(shù));

(4)當(dāng)計(jì)算移動(dòng)至使用第n-k期到第n期數(shù)據(jù)計(jì)算第n+1期預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí),將平滑系數(shù)αn-k+1代入進(jìn)行(2)中三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè),每次預(yù)測(cè)后均將預(yù)測(cè)點(diǎn)并入點(diǎn)集,并剔除最早一期的數(shù)據(jù);以此類(lèi)推,使用第n+m-k-1期到n+m-1期數(shù)據(jù),代入αn-k+m計(jì)算第n+m期預(yù)測(cè)值;

(5)將數(shù)據(jù)點(diǎn)集按逆序排列,即第1期數(shù)據(jù)變?yōu)榈趎期,第n期變?yōu)榈?期,重復(fù)步驟(1)～(4);

(6)將原數(shù)據(jù)點(diǎn)集與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)集合并形成新數(shù)據(jù)點(diǎn)集,利用評(píng)價(jià)方法進(jìn)行曲率參數(shù)評(píng)價(jià)。

自適應(yīng)三次指數(shù)平滑法固定樣本移動(dòng)計(jì)算示意圖如圖4所示。

圖4 自適應(yīng)三次指數(shù)平滑固定樣本移動(dòng)計(jì)算示意圖

相比于傳統(tǒng)三次平滑系數(shù)α的確定,自適應(yīng)三次指數(shù)平滑模型的優(yōu)點(diǎn)在于,能根據(jù)時(shí)間序列自身的變化來(lái)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)并調(diào)整α的值,每次迭代過(guò)程在取值空間內(nèi)尋找平滑系數(shù)最優(yōu)解;并且在迭代過(guò)程中移動(dòng)計(jì)算,固定了時(shí)間序列樣本的數(shù)量,規(guī)避了由于預(yù)測(cè)的樣本量改變而產(chǎn)生的影響,更有助于客觀觀察α的變化趨勢(shì),以及用于后期點(diǎn)集外平滑系數(shù)的確定。

每次用于計(jì)算的樣本點(diǎn)數(shù)量k的取值同樣會(huì)影響預(yù)測(cè)的結(jié)果。樣本點(diǎn)過(guò)多則導(dǎo)致迭代的次數(shù)減少,得到平滑系數(shù)的個(gè)數(shù)不夠,不利于其擬合以及觀測(cè)其變化趨勢(shì);樣本點(diǎn)過(guò)少則容易受輪廓點(diǎn)集數(shù)據(jù)的偶然誤差影響,導(dǎo)致平滑系數(shù)的波動(dòng)較大,可能出現(xiàn)偏離較大的點(diǎn),同樣不利于平滑系數(shù)α的擬合。

因此,在每次預(yù)測(cè)樣本k值的選取上,一般取總數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)的40%～50%左右。至于樣本外預(yù)測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)m的確定,則需要經(jīng)多次實(shí)驗(yàn),分析不同圓弧數(shù)據(jù)下預(yù)測(cè)的最佳期數(shù)。

4 實(shí)例計(jì)算及精度分析

4.1 不同圓弧數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)前后評(píng)價(jià)結(jié)果比較

筆者使用9組理論半徑分別為0.05 mm、1 mm、25 mm,輪廓對(duì)應(yīng)中心角梯度分別為15°、30°和45°的數(shù)據(jù)點(diǎn)集,點(diǎn)集的輪廓度誤差均在理論半徑值的2.6%左右,點(diǎn)集個(gè)數(shù)均為50個(gè);利用自適應(yīng)三次指數(shù)平滑法進(jìn)行數(shù)據(jù)的雙向預(yù)測(cè),再用最小二乘法評(píng)價(jià)曲率半徑,與直接使用最小二乘法進(jìn)行比較,分析兩種情況下的曲率半徑評(píng)價(jià)精度的變化情況。

此法的原理即是利用前期數(shù)據(jù)來(lái)分析出平滑系數(shù)的變化趨勢(shì),再通過(guò)該趨勢(shì)調(diào)整后期平滑系數(shù),利用得到的平滑系數(shù),進(jìn)行實(shí)測(cè)輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)集外的數(shù)據(jù)點(diǎn)預(yù)測(cè)。在前期每一次迭代遍歷搜索最佳平滑系數(shù)的過(guò)程中,將步長(zhǎng)設(shè)定為0.001,α的取值空間為(0,1)。為提高迭代速度,減少不必要的計(jì)算,可根據(jù)實(shí)際情況縮小α的取值范圍;固定每次用于預(yù)測(cè)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)k值為20。

因此,在整個(gè)移動(dòng)迭代過(guò)程中,由50個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)集數(shù)據(jù)可得到30個(gè)α值,觀察α值的變化趨勢(shì),通過(guò)對(duì)之?dāng)M合得到變化曲線及變化公式,利用變化公式,即可求取后期用于點(diǎn)集外數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的平滑系數(shù),利用得到的α值,繼續(xù)進(jìn)行固定樣本數(shù)移動(dòng)計(jì)算,就能到準(zhǔn)確的輪廓點(diǎn)集外預(yù)測(cè)點(diǎn)。

平滑系數(shù)α的變化趨勢(shì)及擬合如圖5所示。

圖5 自適應(yīng)三次指數(shù)平滑系數(shù)擬合圖及后期推導(dǎo)值

在平滑系數(shù)擬合的過(guò)程中,筆者使用MATLAB的polyfit函數(shù)對(duì)其進(jìn)行擬合,不同擬合次數(shù)后期的α變化趨勢(shì)具有一定差異性。經(jīng)多組數(shù)據(jù)綜合分析可知,在二次擬合、三次擬合和四次擬合中,選擇三次擬合具有更高的擬合優(yōu)度。

使用與圖3中同一組輪廓對(duì)應(yīng)中心角為15°左右的圓弧數(shù)據(jù)點(diǎn)集,筆者進(jìn)行自適應(yīng)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)。

預(yù)測(cè)后的擬合結(jié)果如圖6所示。

圖6 自適應(yīng)三次指數(shù)平滑法雙向預(yù)測(cè)擬合效果圖

由圖6可知:對(duì)比圖3中單獨(dú)使用三次指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)結(jié)果,添加自適應(yīng)優(yōu)化后預(yù)測(cè)的誤差明顯減小,大大延緩了誤差累積的速度,使后期預(yù)測(cè)點(diǎn)相對(duì)于理想圓的偏移量減小了許多;預(yù)測(cè)的角度增大,使圓弧外延的長(zhǎng)度得以增加。

筆者采用不同角度的圓弧數(shù)據(jù),進(jìn)行預(yù)測(cè)后的誤差比較,其結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同角度下的預(yù)測(cè)誤差比較

經(jīng)過(guò)以上數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)分析結(jié)果,驗(yàn)證了自適應(yīng)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)方法應(yīng)用在非完整小圓弧曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)上的可行性。

經(jīng)初步驗(yàn)證,在使用最小二乘法評(píng)價(jià)曲率半徑參數(shù)時(shí),使用自適應(yīng)三次指數(shù)平滑法處理輪廓對(duì)應(yīng)中心角小于60°的圓弧后,具有提高評(píng)價(jià)精度的作用;并且,隨著預(yù)測(cè)次數(shù)的增加,評(píng)價(jià)誤差呈現(xiàn)先減小再增大的趨勢(shì),即存在最佳預(yù)測(cè)期數(shù)的問(wèn)題。

經(jīng)過(guò)對(duì)評(píng)價(jià)誤差變化趨勢(shì)的原因分析可知,短期內(nèi)預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)比較精準(zhǔn),可提高曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)的精度;但隨著預(yù)測(cè)期數(shù)的增加,中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的誤差會(huì)慢慢增大。

從上述實(shí)驗(yàn)中可觀察到:對(duì)于15°的小圓弧,雙向預(yù)測(cè)的期數(shù)m取8期時(shí)最佳,評(píng)價(jià)的誤差最小;對(duì)于30°的小圓弧,預(yù)測(cè)期數(shù)m取4期時(shí)最佳;對(duì)于45°的小圓弧,預(yù)測(cè)期數(shù)m取3期時(shí)最佳。用各數(shù)據(jù)點(diǎn)集相鄰兩點(diǎn)的夾角乘以對(duì)應(yīng)最佳期數(shù),可求出各組不同角度圓弧數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的最佳角度。

經(jīng)計(jì)算可知,各組圓弧數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的最佳角度均在5°左右波動(dòng),此時(shí),評(píng)價(jià)誤差減至最小,對(duì)評(píng)價(jià)精度的提升效果最佳。

4.2 不同評(píng)價(jià)方法預(yù)測(cè)前后評(píng)價(jià)結(jié)果比較

在上文中,為方便計(jì)算均使用最小二乘進(jìn)行曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià),在不同中心角度輪廓數(shù)據(jù)下,筆者分析了采用該方法對(duì)評(píng)價(jià)的影響。

為驗(yàn)證自適應(yīng)三次指數(shù)平滑法應(yīng)用的普適性,即在使用其他評(píng)價(jià)方法時(shí),對(duì)非完整小圓弧的評(píng)價(jià)精度依然具有提高的效果,筆者以一組理論半徑為1 mm,圓心角為30°,輪廓度誤差為0.026 4的數(shù)據(jù)點(diǎn)集為例,并根據(jù)上節(jié)的結(jié)果,取預(yù)測(cè)期數(shù)m為4,對(duì)其進(jìn)行自適應(yīng)三次平滑處理,再分別使用代數(shù)逼近法、最小二乘法和Hough變換法,評(píng)價(jià)曲率半徑參數(shù)值;并將其與原來(lái)未使用自適應(yīng)三次指數(shù)平滑處理前的曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行比較,預(yù)測(cè)前后的評(píng)價(jià)誤差分析。

不同評(píng)價(jià)方法在預(yù)測(cè)前后評(píng)價(jià)誤差分析如表1所示。

表1 不同評(píng)價(jià)方法在預(yù)測(cè)前后評(píng)價(jià)誤差分析(單位：mm)

經(jīng)過(guò)以上不同評(píng)價(jià)方法下的分析可知,對(duì)比使用不同評(píng)價(jià)方法,自適應(yīng)三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)處理均有不同程度的提高;對(duì)于最小二乘法及代數(shù)逼近法這種代數(shù)和最小化原理的參數(shù)評(píng)價(jià)方法,比之Hough變換法這種參數(shù)空間內(nèi)尋優(yōu)的評(píng)價(jià)方法,經(jīng)預(yù)測(cè)后的精度提升效果更明顯。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:相比于未處理直接評(píng)價(jià)的方法,使用自適應(yīng)三次指數(shù)平滑法對(duì)圓弧輪廓數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后,再利用評(píng)價(jià)方法進(jìn)行曲率半徑評(píng)價(jià)的方法,曲率半徑的評(píng)價(jià)精度得到了提升;并且,該方法對(duì)于60°以下的非完整小圓弧的評(píng)價(jià)精度提升效果較為明顯;角度越小,評(píng)價(jià)精度的提升就越大。

在使用該方法時(shí)預(yù)測(cè)圓弧點(diǎn)集數(shù)據(jù)時(shí),將圓弧對(duì)應(yīng)中心角度增加5°左右最佳,此法對(duì)于不同評(píng)價(jià)方法均能提升評(píng)價(jià)的精度,具備一定的普適性。

5 結(jié)束語(yǔ)

在研究非完整小圓弧曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)方法中,筆者基于仿真分析的方法,計(jì)算了一定輪廓度誤差下輪廓所對(duì)中心角度對(duì)評(píng)價(jià)過(guò)程的影響趨勢(shì);然后,根據(jù)仿真結(jié)果分析,針對(duì)解決60°以下完整性較差的圓弧在曲率半徑參數(shù)的評(píng)價(jià)上存在的難點(diǎn),提出了一種基于自適應(yīng)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型的方法,增大了圓弧輪廓中心角度,進(jìn)而提升了曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)的精度。

筆者通過(guò)采用不同圓弧數(shù)據(jù)進(jìn)行了多組對(duì)照組實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)及研究結(jié)果表明:

(1)使用該方法處理60°以下的非完整小圓弧輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)集后,再對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià),評(píng)價(jià)精度得到了進(jìn)一步提升。并且,利用此方法將圓弧輪廓增大5°左右,對(duì)評(píng)價(jià)的精度的提升效果最佳;

(2)該方法具有一定的普適性,可作為一種前期的數(shù)據(jù)外延方法,配合各種評(píng)價(jià)方法對(duì)小圓弧曲率半徑參數(shù)進(jìn)行精確評(píng)價(jià),為提高非完整小圓弧曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性提供了一種有效解決方案。

在下一步的研究工作中,筆者將配合各類(lèi)不同原理評(píng)價(jià)方法的使用,進(jìn)一步研究曲率半徑參數(shù)評(píng)價(jià)精度的具體提升效果及其內(nèi)在聯(lián)系。