孔繁晶

(江蘇省徐州高等師范學(xué)校 221116)

平面向量是高中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，具有集數(shù)形為一身的特征.同時(shí)又有著廣泛的學(xué)科內(nèi)及跨學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值.向量的數(shù)量積運(yùn)算具有明顯的幾何意義，并且是類比、遷移等數(shù)學(xué)常用思維方法的良好載體，亦是歷年各地高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一.

分析本題考查向量數(shù)量積問(wèn)題，但用基底法和坐標(biāo)法似乎都不易解答.但通過(guò)幾何意義的分析，我們會(huì)有不一樣的發(fā)現(xiàn).

反思過(guò)程中最關(guān)鍵的解題步驟就是第一步，利用該結(jié)論是突破此問(wèn)題的關(guān)鍵.該結(jié)論被稱為極化恒等式.追溯其身世，出自高等數(shù)學(xué)泛函分析的內(nèi)積空間.

接著，我們來(lái)談一談利用極化恒等式巧解平面向量的數(shù)量積問(wèn)題.

一、利用極化恒等式求向量的數(shù)量積

求解向量數(shù)量積是考查向量運(yùn)算的常見(jiàn)題型，常規(guī)思路為利用定義法、坐標(biāo)法、線性表示法.但有時(shí)以上條件不具備時(shí)，需要我們另辟蹊徑，解決問(wèn)題.

例1如圖2，在ABCD中，已知?jiǎng)t則的值為_(kāi)___.

練習(xí)1 如圖3，在ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA=3，OC=5．若則的值是____．

小結(jié)解決共起點(diǎn)或是可以轉(zhuǎn)化成共起點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題，可以借助極化恒等式轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度條件，再利用平面幾何中平行四邊形或是三角形的相關(guān)知識(shí)加以求解.

二、利用極化恒等式求向量數(shù)量積的最值或范圍

向量數(shù)量積運(yùn)算作為重要考點(diǎn)，還會(huì)結(jié)合函數(shù)、不等式考查其最值或取值范圍的問(wèn)題.

小結(jié)解決此類求數(shù)量積最值或是范圍問(wèn)題，常常先利用極化恒等式轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度條件，再利用平面幾何知識(shí)找到臨界位置進(jìn)而確定最值或是范圍.