李小妮

(陜西國際商貿(mào)學(xué)院 通識(shí)學(xué)院，陜西 西安 712046)

流行病的傳播和暴發(fā)對(duì)人類的健康、社會(huì)發(fā)展等各方面造成巨大影響.及時(shí)有效的防控措施能在很大程度上降低流行病對(duì)社會(huì)的沖擊，而研究流行病的傳播規(guī)律可以為相關(guān)部門制定有效的防控政策提供理論依據(jù)[1].近年來許多學(xué)者利用數(shù)學(xué)工具對(duì)傳染病傳播規(guī)律進(jìn)行了研究[2-5].在疾病暴發(fā)初期，由于藥物治療措施的缺乏，信息干預(yù)(消息傳播、教育、隔離等措施)就變成一種及時(shí)且低成本的防控措施[4-6].Xiao[4]的研究表明信息干預(yù)可以降低流行病峰值，延緩疾病暴發(fā).因此，在流行病的防控中,信息干預(yù)是一種不可或缺的控制措施.

另一方面，藥物控制措施是一種更直接有效的控制措施.疫苗接種是最常用的防控措施之一，可以有效降低易感人群的發(fā)病率和感染人群的死亡率[7].因此，在消除傳染病方面，疫苗接種等治療措施是重要手段之一,可以最大限度地控制疾病的傳播[8-9].

在流行病防控的過程中，過量的宣傳報(bào)道和藥物治療不僅給群眾心理和生活產(chǎn)生負(fù)面影響，也增加了流行病防治的成本.對(duì)相關(guān)部門來說，制定合適的宣傳和疫苗接種策略也可以在很大程度上節(jié)約社會(huì)資源、降低人力物力成本.將控制策略在數(shù)學(xué)模型中作為決策變量建立最優(yōu)控制模型，可以求得控制策略的最優(yōu)使用量.因此，許多作者將治療、疫苗接種等作為控制變量，建立并求解最優(yōu)控制問題[10-12].例如，Kumar[12]將信息干預(yù)和治療措施作為控制變量求解了最優(yōu)控制問題.在流行病的傳播過程中，時(shí)滯也是不可避免的因素之一.將時(shí)滯引入到數(shù)學(xué)模型中,可以使模型更加符合實(shí)際.因此，近年來有許多學(xué)者研究時(shí)滯流行病模型[13-14].流行病通常具有一定時(shí)間的潛伏期，這可以通過在模型中引入時(shí)滯來描述.

因此，本文將信息干預(yù)和治療強(qiáng)度作為控制變量，來研究時(shí)滯SIRS傳染病模型混合最優(yōu)控制問題，從而在控制疾病暴發(fā)的前提下，得出最優(yōu)的信息干預(yù)量和疫苗接種率.目前只有少量的文獻(xiàn)研究時(shí)滯模型最優(yōu)控制問題.所以對(duì)時(shí)滯模型來研究最優(yōu)信息干預(yù)和治療強(qiáng)度是很有必要的.

1 模型的建立

為了描述信息干預(yù)與疫苗接種對(duì)傳染病的影響，文獻(xiàn)[15]提出了如下帶信息干預(yù)和疫苗接種的SIRS傳染病模型

(1)

其中S,I,R,Z分別代表易感者、感染者、恢復(fù)者、信息密度且模型 (1)中所有參數(shù)都是非負(fù)的.模型(1)中的生物學(xué)意義為:b,μ,c,β,α,γ分別表示出生率、自然死亡率、因病死亡率、感染系數(shù)、恢復(fù)率、感染者的恢復(fù)率；p表示疫苗接種率(0≤p≤1)；φ是正函數(shù)其中φ(0)=1且φ′(I)≥0；m,u1,a,a1,a0分別表示信息干預(yù)率、信息強(qiáng)度、信息增長率、飽和常數(shù)和信息自然消亡率.

由于教育等信息干預(yù)措施和治療措施對(duì)流行病的防控具有重要作用，將信息干預(yù)和治療強(qiáng)度作為控制變量引入模型(1)，得到新的基于信息干預(yù)和疫苗接種的SIRS傳染病最優(yōu)控制模型

(2)

其中，u1(t)表示信息干預(yù)措施的強(qiáng)度，u2(t)為治療措施的強(qiáng)度；α1,α2,α3為飽和常數(shù).

本文的目標(biāo)為尋找最優(yōu)控制函數(shù)(u1(t),u2(t))，達(dá)到降低感染者數(shù)量.為此，定義最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)：

其中，[0,T]代表加入控制策略之后整體時(shí)間區(qū)間，正常數(shù)Ai,Bi,Ci(i=1,2)為相應(yīng)的權(quán)重值，使得目標(biāo)函數(shù)J達(dá)到最優(yōu).

2 最優(yōu)控制的存在性及其刻畫

首先證明最優(yōu)控制的存在性，然后通過構(gòu)造Hamilton函數(shù)對(duì)最優(yōu)控制問題進(jìn)行求解，以達(dá)到設(shè)定的控制目標(biāo).

2.1 最優(yōu)控制的存在性

最優(yōu)控制的存在性是求解最優(yōu)控制問題的基礎(chǔ)，所以給出最優(yōu)控制存在性的結(jié)果.

(3)

其中，u為凸緊集.

證明為證明最優(yōu)控制的存在性，應(yīng)用文獻(xiàn)[16]的結(jié)果.在此最優(yōu)問題中，目標(biāo)函數(shù)(3)是凸函數(shù)，且最優(yōu)控制變量(u1,u2)與控制狀態(tài)變量非負(fù).由控制集的定義可知，U為凸緊集.同時(shí)，最優(yōu)系統(tǒng)是有界的.L(A1,A2,A3,u1,u2) 在U中是凸函數(shù).存在常數(shù)C1,C2使得

2.2 最優(yōu)控制的刻畫

通過構(gòu)建 Hamiton 函數(shù)，使用 Pontryagins 最大值原理解決系統(tǒng)(2)的最優(yōu)控制問題.為方便起見，χ[a,b](t)表示區(qū)間[a,b]上的示性函數(shù).下面給出最優(yōu)控制問題的一階必要條件.

(4)

其中，λi(T)=0(i=1,2,3).相應(yīng)的最優(yōu)控制為

(5)

其中

證明為了簡便，令X=(S,I,R,Z)T,u(t)=(u1,u2)T且λ(t)=(λ1,λ2,λ3,λ4)T,χτ(t)=X(t-τ).Hamiton 函數(shù)為

(6)

(7)

于是由Hamiton 函數(shù)的表達(dá)式可得

(8)

化簡方程(8)可得

由控制變量ui(t)(i=1,2)的有界性，可得方程(5)成立.

(iii)伴隨方程為

將(6)代入上式得到

其中，λi(T)=0(i=1,2)為橫截條件.證畢.

3 數(shù)值模擬

表1 最優(yōu)控制實(shí)現(xiàn)算法

模型(2)的參數(shù)取值如下

T=200,Δ=0.01,τ=10,p=0.8,b=5,μ=0.03,β=0.04,α1=0.06,α2=0.04,

γ=0.045,m=0.43,c=0.11,α=0.37,α3=0.012,a=0.045,a1=0.15,a0=0.06.

權(quán)重為A1=0.5,A2=0.3,B1=3×10-4,B2=5×10-4,C1=200,C2=7×103.模型(2)的初始值為S(0)=10000,I(0)=100,R(0)=1,Z(0)=10.

數(shù)值模擬的結(jié)果如圖1所示.圖 1(a) 給出了無控制措施和有兩種控制措施時(shí)感染群體的時(shí)間序列圖，從圖1中可以看出，在實(shí)施控制措施之后，I(t)的值大幅下降，在時(shí)間段40≤t≤60之間下降速度最快.由此可以斷定，流行病暴發(fā)之后采取教育和治療措施對(duì)疫情的防控具有重要意義.圖1(b) 給出了兩種控制措施u1和u2的取值.為了了解單一控制措施的作用，令u2=0和u1=0來考察u1和u2對(duì)感染人數(shù)的影響，其結(jié)果如圖1(c) 所示.由圖1可知，當(dāng)只采用教育措施 (u1) 時(shí)，在初始時(shí)刻附近對(duì)感染人數(shù)I(t)幾乎沒有影響，但在后期可以讓感染人數(shù)大幅下降.這可能是宣傳教育對(duì)流行病控制的滯后作用造成的，雖然在流行病暴發(fā)的初期就會(huì)采取教育措施，但人們對(duì)疾病的認(rèn)識(shí)和自身行為的改變需要較長時(shí)間，所以教育措施的作用在后期比較明顯.對(duì)于僅采取治療措施的情形，在初始時(shí)刻附近就出現(xiàn)感染人數(shù)下降的現(xiàn)象，在后期雖然感染者數(shù)量也在不斷下降，但下降幅度較小，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是：治療措施直接針對(duì)的是感染者，能快速顯現(xiàn)其效果，但無法像教育措施那樣切斷感染源，所以在中后期治療措施的效果不明顯.綜合以上結(jié)果可知，采取多種綜合措施比采取單一控制措施對(duì)抑制流行病的暴發(fā)具有更明顯的效果.

圖1 最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)控制

4 結(jié)論

流行病的傳播和暴發(fā)給人類健康造成極大的威脅，宣傳教育和治療是控制傳播的重要措施.因此，本文研究了基于信息干預(yù)的SIRS傳染病模型的最優(yōu)控制，將信息干預(yù)和治療措施作為控制變量，給出了最優(yōu)控制存在的一階必要條件.通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了文中得到的理論結(jié)果，也揭示了信息干預(yù)和治療措施對(duì)流行病具有不同的影響.相比于采取單一措施，同時(shí)采取兩種措施對(duì)流行病的防控具有更好的效果.