于俊濤，鄧衛(wèi)，王巨，張哲?

（1.中國(guó)核電工程有限公司 鄭州分公司，河南 鄭州 450052；2.湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙 410082；3.東風(fēng)汽車有限公司東風(fēng)日產(chǎn)乘用車公司，廣東 廣州 510800）

不確定性廣泛存在于工程實(shí)際問(wèn)題之中，其來(lái)源通常與結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)、外部載荷、仿真模型等因素相關(guān).不確定性主要分為隨機(jī)不確定性與認(rèn)知不確定性.隨機(jī)不確定性源于結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)內(nèi)在的物理性質(zhì)，通常使用概率模型進(jìn)行度量與分析，已經(jīng)發(fā)展了一系列成熟的可靠性分析與設(shè)計(jì)方法[1-4].認(rèn)知不確定性源于對(duì)結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)信息的缺乏，主要通過(guò)證據(jù)理論（或Dempster-Shafer 理論）[5-9]、可能性理論[10-11]、模糊理論[12]和凸模型理論[13-15]等進(jìn)行度量與分析.不確定性的耦合與傳播容易導(dǎo)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)發(fā)生較大波動(dòng)甚至失效，因此，對(duì)不確定性的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)（Reliability-Based Design Optimization，RBDO）具有重要意義[16-18].

證據(jù)理論具有較強(qiáng)的認(rèn)知不確定性處理能力.近年來(lái)，研究人員提出了一系列基于證據(jù)理論的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化方法（Evidence-Theory-Based Design Optimization，EBDO）.Mourelatos 和Zhou[19]提出了一種求解證據(jù)理論可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題的方法，該方法主要包括兩部分：第一部分是構(gòu)造等效的概率可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題近似求解原EBDO 問(wèn)題；第二部分是引入DIRECT 算法開展約束的證據(jù)可靠性分析.Srivastava 等[20]提出了一種求解EBDO 問(wèn)題的雙目標(biāo)遺傳算法，該算法不需要求解梯度信息，適應(yīng)證據(jù)變量不連續(xù)的特征.Alyanak 等[21]提出了一種針對(duì)證據(jù)變量的近似梯度計(jì)算方法，并發(fā)展了相應(yīng)的EBDO算法.Agarwal 等[22]采用代理模型技術(shù)構(gòu)造了近似的可信度函數(shù)使其連續(xù)化，在此基礎(chǔ)上提出了基于序列近似優(yōu)化的EBDO 求解算法.Yao 等[23]提出了一種同時(shí)處理隨機(jī)與認(rèn)知不確定性的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法.Salehghaffari 等[24]將EBDO 算法應(yīng)用于實(shí)際加強(qiáng)圓管的設(shè)計(jì)優(yōu)化.Huang 等[25-26]提出了一種針對(duì)EBDO 問(wèn)題的解耦策略，并將其應(yīng)用于考慮變量相關(guān)性的結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化.蘇瑜等[27]基于證據(jù)理論提出了一種考慮認(rèn)知不確定性的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)算法.李曉斌等[28]將EBDO 算法應(yīng)用于固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的不確定性設(shè)計(jì)中.Hu 等[29]發(fā)展了基于證據(jù)理論的魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)算法.唐和生等[30]結(jié)合證據(jù)理論與微分演化提出了一種高效的EBDO 求解方法.

盡管EBDO 研究已經(jīng)取得重要進(jìn)展，但依舊存在諸多挑戰(zhàn).EBDO 問(wèn)題的求解屬于雙層嵌套優(yōu)化問(wèn)題，外層為確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)，內(nèi)層為基于證據(jù)理論的可靠性分析，通常計(jì)算效率低，嚴(yán)重限制了其在實(shí)際工程問(wèn)題中的應(yīng)用.本文提出一種基于近似移動(dòng)矢量的證據(jù)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，將傳統(tǒng)的雙層嵌套優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行解耦，從而有效提高EBDO 的求解效率.

1 證據(jù)理論基本概念

證據(jù)理論由Dempster 和Shafer 提出和發(fā)展，也稱Dempster-Shafer 理論.基本概念包括：

1）識(shí)別框架（Frame of Discernment，F(xiàn)D）：FD 是人們對(duì)一個(gè)認(rèn)知不確定性問(wèn)題已經(jīng)獲知的所有可能結(jié)果的集合，由有限個(gè)兩兩互不相容的基本元素組成，類似于概率理論中的樣本空間.例如，F(xiàn)D 由Θ={x1，x2}定義，其中x1和x2是兩個(gè)獨(dú)立的基本元素.但是，證據(jù)理論中x1和x2都是集合，而非具體的樣本點(diǎn).

2）基本可信度分配（Basic Probability Assignment，BPA）：BPA 是對(duì)命題的信任程度的定量描述.如果識(shí)別框架Θ 的冪集2Θ與區(qū)間[0，1]的函數(shù)關(guān)系m：2Θ→[0，1]滿足以下條件：

則m（A）是A（?A∈2Θ）的基本可信度分配函數(shù).特別地，如果m（A）＞0，則將A 稱為m 的焦元.基本可信度類似于概率論中的概率密度函數(shù)，可以描述對(duì)Θ 中的元素屬于A 這個(gè)命題的支持程度.

3）可信度（Belief，Bel）和似真度（Pausibility，PI）：由于存在認(rèn)知不確定性，證據(jù)理論使用可信度與似真度構(gòu)成的概率區(qū)間[Bel（A），Pl（A）]共同描述命題A 的可靠度.對(duì)于命題A，其Bel 和Pl 定義為：

式中：所有完全支持A 的焦元可信度相加等于Bel（A）；所有不否定的焦元可信度相加等于Pl（A）.

2 算法構(gòu)造

基于證據(jù)理論的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化模型如下：

式中：f 是目標(biāo)函數(shù)；gj是約束的功能函數(shù)；d 是確定性設(shè)計(jì)向量；X 是隨機(jī)設(shè)計(jì)向量；P 是隨機(jī)參數(shù)向量；XN和PN分別是X 和P 的名義值向量；L 和U 表示下邊界和上邊界；Bel{·}代表可信度計(jì)算，是目標(biāo)可靠度.

傳統(tǒng)的EBDO 求解是雙層嵌套優(yōu)化問(wèn)題，內(nèi)層進(jìn)行證據(jù)可靠性分析，外層開展確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)，求解效率非常低；此外，由于證據(jù)理論可信度函數(shù)的離散特性，無(wú)法直接使用基于梯度的優(yōu)化算法，進(jìn)一步增加了EBDO 問(wèn)題的求解難度.針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種基于近似移動(dòng)矢量的EBDO 方法，以有效降低EBDO 的計(jì)算成本.首先，利用等面積法將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為概率變量，構(gòu)建等效的RBDO 問(wèn)題求解近似設(shè)計(jì)點(diǎn)；然后，基于證據(jù)理論開展約束的可靠性分析，構(gòu)建近似移動(dòng)矢量與確定性優(yōu)化模型，求解獲得新的設(shè)計(jì)點(diǎn)；最后，重復(fù)求解上述過(guò)程直到優(yōu)化過(guò)程收斂.

2.1 等效概率可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化模型的構(gòu)造與求解

首先引入等面積法將證據(jù)變量X 轉(zhuǎn)變成隨機(jī)變量Z.證據(jù)變量X 的第i 個(gè)焦元Ai=[Li，Ui]，對(duì)應(yīng)的BPA 為m（Ai）.等面積法要求滿足兩個(gè)條件：1）焦元Ai的BPA m（Ai）等于隨機(jī)變量Z 在區(qū)間[Li，Ui]的累計(jì)概率.2）Z 的概率密度函數(shù)在整個(gè)不確定域內(nèi)連續(xù).如圖1 所示，對(duì)于焦元[L1，U1]，左端點(diǎn)L1的概率密度值為：

圖1 證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為隨機(jī)變量Fig.1 Transformation from an evidence variable to a random variable

右端點(diǎn)U1的概率密度值為：

由于L2=U1，f（Z=L2）=f（Z=U1）.重復(fù)上述步驟可得隨機(jī)變量Z 的概率密度函數(shù)f（Z）.

將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為隨機(jī)變量后，原EBDO 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等效的RBDO 問(wèn)題，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為：

式中：Pr{·}表示計(jì)算可靠度；μX，μP是X，P 的均值向量.

使用序列優(yōu)化與可靠性分析方法（Sequential Optimization and Reliability Assessment，SORA）[16]求解上述RBDO 問(wèn)題.SORA 通過(guò)構(gòu)造移動(dòng)矢量將RBDO 的求解轉(zhuǎn)化為可靠性分析與確定性優(yōu)化的序列迭代求解過(guò)程，具有較好的計(jì)算效率和收斂性.為方便描述，令Z=[X，P]代表所有隨機(jī)設(shè)計(jì)變量和參數(shù)向量，SORA 的數(shù)學(xué)模型如下：

移動(dòng)矢量計(jì)算公式為：

MPP 可采用一階可靠性方法（First order Reliability Method，F(xiàn)ORM）計(jì)算，等概率變換將Z 變換到由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量Ui（i=1，2，…，n）構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)空間，Ui組成向量U，以下將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間簡(jiǎn)稱為U 空間.

式中：Ui是Zi變換到空間U 后的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量.

2.2 證據(jù)理論可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化模型的求解

以上獲得的設(shè)計(jì)點(diǎn)X=[d，μZ]可能不滿足證據(jù)理論的可信度，但是該設(shè)計(jì)點(diǎn)已經(jīng)逼近EBDO 的最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn).因此，以當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)為初始點(diǎn)開展EBDO的求解，能夠有效提高尋優(yōu)速度.假設(shè)第k-1 步時(shí)完成RBDO 求解，接著在第k 步開始求解EBDO，如果此時(shí)繼續(xù)將等效確定性約束向可靠域移動(dòng)：先計(jì)算增量移動(dòng)矢量，然后將沿著移動(dòng)，則第k 步移動(dòng)矢量為：

在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建如式（10）的確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題.在該模型中，當(dāng)前迭代步的移動(dòng)矢量是上一步移動(dòng)矢量的調(diào)整，調(diào)整幅度為增量移動(dòng)矢量.

首先在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間中考慮移動(dòng)矢量增量幾何關(guān)系.如圖2 所示，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間中，||U||=βt是以原點(diǎn)為圓心，目標(biāo)可靠性指標(biāo)為半徑的圓.當(dāng)Gj（d，U）=0 與圓相交，表示第k 步的可靠性指標(biāo)小于，不滿足可靠性要求.在下一次迭代，如果將約束邊界接著移向可靠域，則可以使得約束函數(shù)的可靠度增加，最終達(dá)到目標(biāo)可靠度.為了提高效率，選擇沿著可靠度在處的梯度方向（可靠度增長(zhǎng)最快）移動(dòng)，將可靠度差值=-作為移動(dòng)距離.新的移動(dòng)過(guò)程稱為增量移動(dòng)矢量，可表示為：

圖2 計(jì)算移動(dòng)矢量增量示意圖Fig.2 Schematic diagram of the incremental shifting vector

約束函數(shù)的可靠度可采用FORM 計(jì)算.求得可靠度在U 空間原點(diǎn)處的梯度后，即可計(jì)算U 空間的移動(dòng)矢量增量，再逆變換到原空間，得到移動(dòng)矢量增量，再根據(jù)式（14）計(jì)算移動(dòng)矢量.獲得新的移動(dòng)矢量后，按2.1 節(jié)所述方法重新構(gòu)造近似的RBDO 模型，將新的移動(dòng)矢量代入式（10）并求解.得到新的設(shè)計(jì)點(diǎn)后，按照2.3 節(jié)所述方法驗(yàn)證約束的可信度，如果約束滿足可信度要求，則增量移動(dòng)矢量；否則再次更新增量移動(dòng)矢量，直到滿足收斂條件.

2.3 基于非概率指標(biāo)的證據(jù)理論可靠性分析

本文采用基于非概率可靠性指標(biāo)的焦元縮減方法[31]對(duì)每個(gè)約束開展證據(jù)理論可靠性分析.對(duì)于n維證據(jù)變量Xi，i=1，2，…，n 的功能函數(shù)g（X），首先將證據(jù)變量Xi的FD歸一化：

式中：I 表示區(qū)間；L，R 表示區(qū)間的下界和上界；c 和w 是區(qū)間的中點(diǎn)和半徑.

用標(biāo)準(zhǔn)化變量δi∈[-1，1]對(duì)Xi進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：

不確定域Cδ={δ|δi∈[-1，1]，i=1，2，…，n}是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)多維正方體，標(biāo)準(zhǔn)化變量δi，i=1，2，…，n 組成向量δ，其組成的坐標(biāo)空間稱為δ 空間.

將式（19）代入功能函數(shù)g 得到一個(gè)δ 空間中的新功能函數(shù)g′：

非概率可靠性指標(biāo)η 是在δ 空間用無(wú)窮范數(shù)計(jì)算的原點(diǎn)與g′=0 之間的距離，計(jì)算公式為：

其中：||·||∞為無(wú)窮范數(shù)符號(hào).

式（21）可用序列二次規(guī)劃方法（SQP）求解，其最優(yōu)點(diǎn)δ*稱為設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn).

基于非概率可靠性指標(biāo)的焦元縮減方法可以根據(jù)指標(biāo)η 和g（Xc）=g′（0）的值判斷不確定域和極限狀態(tài)面的位置關(guān)系，從而僅需要計(jì)算部分焦元的功能函數(shù)極值便可獲得Bel（G）和Pl（G），有效提高了證據(jù)理論可靠性分析的計(jì)算效率，具體過(guò)程參考文獻(xiàn)[31].

2.4 計(jì)算步驟

本文方法計(jì)算流程總結(jié)如下，如圖3 所示.

圖3 算法流程圖Fig.3 The flowchart of the proposed method

步驟1：根據(jù)實(shí)際工程問(wèn)題，建立EBDO 模型.

步驟2：用等面積法將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為概率變量，設(shè)置初始點(diǎn)，迭代步k=0，將移動(dòng)矢量設(shè)置為零向量，即.

步驟3：將EBDO 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為近似RBDO 模型，使用SORA 求解，得到最優(yōu)解，作為求解EBDO問(wèn)題的起點(diǎn).

步驟4：驗(yàn)算近似RBDO 模型的最優(yōu)點(diǎn)的可信度，若滿足目標(biāo)要求，則；否則使用式（14）～式（16）計(jì)算新的增量移動(dòng)矢量和移動(dòng)矢量，直到滿足以下收斂條件，其中ε 為給定誤差限.

步驟5：結(jié)束，輸出最優(yōu)解[d*].

3 算例分析

3.1 算例一

考慮如下EBDO 問(wèn)題：

該算例僅有兩個(gè)證據(jù)設(shè)計(jì)變量X1和X2，名義值為μX1和μX2，BPA 結(jié)構(gòu)如表1 所示.

表2 列出了確定性設(shè)計(jì)，RBDO 和本文方法的計(jì)算結(jié)果.可以看到，確定性設(shè)計(jì)結(jié)果的實(shí)際可信度Bel 遠(yuǎn)低于目標(biāo)可信度0.998 65，可見(jiàn)，確定性設(shè)計(jì)結(jié)果通常難以滿足可靠度要求.RBDO 模型是將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為隨機(jī)變量得到，其中第1 個(gè)約束的實(shí)際可信度Bel為0.996 8，小于0.998 65.可見(jiàn)，直接求解等效RBDO 的結(jié)果依舊不能滿足目標(biāo)可信度.本文方法經(jīng)過(guò)6 次迭代后收斂，所有約束均達(dá)到目標(biāo)可信度，最小目標(biāo)函數(shù)值為6.851 8.為了直觀理解，圖4 繪制了RBDO 結(jié)果和EBDO 結(jié)果在同一個(gè)坐標(biāo)系中的位置.可以看到，RBDO 和EBDO 的最優(yōu)解位置很近.為了提高計(jì)算效率，本文方法將先求解RBDO，并將其最優(yōu)解作為EBDO 的初始點(diǎn).這種策略用較少的功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)能快速搜索到距離EBDO 最優(yōu)解較近的位置，從而避免EBDO 的中間迭代過(guò)程，提高了計(jì)算效率.

3.2 算例二

某懸臂梁如圖5 所示，梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，橫截面寬度為w，高度為t，在自由端施加兩個(gè)集中剪力Px和Py.設(shè)計(jì)目標(biāo)是截面面積S 最小，設(shè)計(jì)約束有兩個(gè)：1）固定端應(yīng)力小于許用應(yīng)力y 的可信度為0.998 65；2）自由端位移不超過(guò)許用位移D0的可信度為0.998 65.EBDO 模型如下：

式中：D0=2.5 inch；L=100 inch.

目標(biāo)函數(shù)僅包含確定設(shè)計(jì)向量d=[w，t]，不確定性參數(shù)向量P=[Px，Py，y，E]包含4 個(gè)證據(jù)變量，其中y 為屈服強(qiáng)度，E 為楊氏模量.證據(jù)隨機(jī)參數(shù)的BPA結(jié)構(gòu)如表3 所示.

表3 算例二證據(jù)變量/參數(shù)的BPA 結(jié)構(gòu)Tab.3 BPA structure of evident variables/parameters for example 2

表4 為確定性設(shè)計(jì)、RBDO 方法、DIRECT 方法、EA-EBDO 方法和本文方法針對(duì)該問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果.首先，確定性設(shè)計(jì)和RBDO 的結(jié)果沒(méi)有達(dá)到目標(biāo)可信度，本文方法、DIRECT 和EA-EBDO 采用證據(jù)理論的思想求解該問(wèn)題，均達(dá)到目標(biāo)可信度.其次，EA-EBDO 方法具有最高的精度，最小目標(biāo)函數(shù)值比DIRECT 和本文方法更小，特別地，本文方法僅比EA-EBDO 的最小目標(biāo)函數(shù)值大6.5%.最后，對(duì)比幾種方法的優(yōu)化迭代次數(shù)和約束函數(shù)計(jì)算次數(shù)，本文方法計(jì)算效率高于DIRECT 算法，計(jì)算量不到它的40%.EA-EBDO 算法效率最低，計(jì)算量是本文方法的20 多倍.通過(guò)比較DIRECT 算法、EA-EBDO 算法和本文方法，可以確定本文方法能夠兼顧精度和效率的平衡.

表4 算例二不同優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Tab.4 The computational results of example 2

3.3 算例三

汽車正面碰撞是交通事故中導(dǎo)致乘員死亡的最主要因素.汽車發(fā)生正面碰撞時(shí)影響駕駛員及乘客安全的主要因素是防撞梁、吸能盒和前縱梁等部件的性能.目前，汽車行業(yè)評(píng)價(jià)汽車碰撞性能的主要指標(biāo)包括前圍板變形量、車門變形量、乘員加速度等.本算例進(jìn)行正面碰撞安全的輕量化設(shè)計(jì)，約束包括B 柱加速度、圍板侵入量和車門變形量.

圖6 所示為某型轎車的正面有限元模型.設(shè)計(jì)向量X=[X1，X2，X3，X4，X5]代表保險(xiǎn)杠、吸能盒內(nèi)、外板和前縱梁內(nèi)、外板的厚度.設(shè)計(jì)變量在汽車結(jié)構(gòu)中的位置如圖6 所示.

圖6 汽車正面碰撞有限元模型與設(shè)計(jì)變量Fig.6 Finite element model and design variables of vehicle crashworthiness

根據(jù)汽車正面碰撞標(biāo)準(zhǔn)，取最大加速度峰值45g，最大前圍板侵入量220 mm，車門變形量20 mm.EBDO 模型構(gòu)造如下：

式中：M（μX）為五個(gè)碰撞關(guān)鍵件的總質(zhì)量；a（X）為B柱下端加速度；I1（X）為前圍板侵入量；I2（X）為車門變形量；Rt為目標(biāo)可靠度；μX是X 的名義值向量，其BPA 結(jié)構(gòu)如表5 所示.

表5 算例三證據(jù)變量/參數(shù)的BPA 結(jié)構(gòu)Tab.5 BPA structure of evidence variables/parameters X1～X5 for example 3

由于汽車正面碰撞有限元仿真十分耗時(shí)，為實(shí)現(xiàn)參數(shù)化和計(jì)算方便，本算例將結(jié)合拉丁超立方抽樣法，利用Kriging 模型分別構(gòu)建關(guān)鍵件總質(zhì)量M（μX）、B 柱下端加速度峰值a（X）、前圍板侵入量I1（X）和車門變形量I2（X）的代理模型.對(duì)有限元模型進(jìn)行36 次采樣，其中30 組樣本用于構(gòu)建Kriging模型，6 組樣本點(diǎn)用以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途?代理模型的精度檢驗(yàn)結(jié)果如表6 所示，最大誤差分別為0.82%，7.2%，11%，8.8%，在可接受范圍.

表6 Kriging 精度檢驗(yàn)結(jié)果Tab.6 The accuracy test results of the Kriging surrogate models

本算例針對(duì)目標(biāo)可靠度為90%和95%兩種情況，分別進(jìn)行證據(jù)理論可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化，結(jié)果如表7 所示.可見(jiàn)，當(dāng)目標(biāo)可靠度從90%變?yōu)?5%時(shí)，EBDO 的優(yōu)化結(jié)果的設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)值也相應(yīng)地變大，表明隨著實(shí)際可靠度的提高，各碰撞關(guān)鍵件厚度尺寸變大.與初始設(shè)計(jì)對(duì)比，當(dāng)Rt=90%，采用本文方法使整車質(zhì)量減少9.76%；當(dāng)Rt=95%，整車質(zhì)量減少5.93%.

表7 算例三設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化結(jié)果Tab.7 The computational results of example 3

4 結(jié)論

基于證據(jù)理論的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題的求解是雙層嵌套優(yōu)化問(wèn)題，通常導(dǎo)致其在實(shí)際工程中應(yīng)用需要大規(guī)模的計(jì)算量，限制了證據(jù)理論可靠性設(shè)計(jì)方法的工程應(yīng)用.針對(duì)該問(wèn)題，本文提出了一種證據(jù)理論可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化（EBDO）方法.該方法首先將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換成概率變量，構(gòu)建等效的概率可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化（RBDO）模型，并使用SORA 方法實(shí)現(xiàn)快速穩(wěn)定的求解；然后，基于證據(jù)理論的可靠性分析求解約束的可信度，構(gòu)建近似移動(dòng)矢量和確定性優(yōu)化模型，并求解新的設(shè)計(jì)點(diǎn)；最終，將EBDO 的嵌套優(yōu)化轉(zhuǎn)換成由近似RBDO 求解與證據(jù)理論可靠性分析組成的序列迭代過(guò)程，從而高效地求解基于證據(jù)理論的設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題.數(shù)值算例及工程應(yīng)用驗(yàn)證了該方法能夠?qū)崿F(xiàn)計(jì)算效率與計(jì)算精度的較好平衡.后續(xù)研究中，我們將進(jìn)一步改進(jìn)此可靠性設(shè)計(jì)方法，并將其推廣到含高維變量、較強(qiáng)相關(guān)性和較強(qiáng)非線性等特征的復(fù)雜工程問(wèn)題.