譚順成，陳中華，于洪波

(1.海軍航空大學(xué) 信息融合研究所，山東 煙臺(tái) 264001；2.南京電子技術(shù)研究所，江蘇 南京 210039)

0 引言

雷達(dá)組網(wǎng)信息位置層的航跡關(guān)聯(lián)，是對來自多個(gè)雷達(dá)的航跡是否對應(yīng)同一目標(biāo)做出判決，以保證融合中心航跡數(shù)據(jù)的同一性和完整性。目前，國內(nèi)外已有許多學(xué)者對航跡關(guān)聯(lián)算法進(jìn)行了大量的研究，取得了大量的研究成果[1-14]，建立和發(fā)展了基于統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)[1-2]、證據(jù)理論[3]、模糊聚類[4-5]、灰色理論[6-8]以及拓?fù)淅碚揫9]等航跡關(guān)聯(lián)算法體系。但是，由于2D雷達(dá)不能提供目標(biāo)的高度或俯仰信息，上述航跡關(guān)聯(lián)算法難以直接應(yīng)用于2D雷達(dá)網(wǎng)，而實(shí)際的雷達(dá)網(wǎng)仍采用著大量的2D雷達(dá)，因此如何實(shí)現(xiàn)2D雷達(dá)網(wǎng)對空中目標(biāo)的航跡關(guān)聯(lián)是一個(gè)亟待解決的難點(diǎn)問題。

目前，對2D雷達(dá)網(wǎng)的研究主要集中在對空間目標(biāo)的高度估計(jì)上[15-18]，并形成了2種比較常用的方法：幾何法[16]和極大似然法[17-18]。幾何法計(jì)算簡單，但估計(jì)目標(biāo)高度的離散性很大，經(jīng)常找不到實(shí)數(shù)解；極大似然法理論上講是最優(yōu)的，但在具體求解時(shí)，面臨著初值選擇、是否收斂到全局極小點(diǎn)以及收斂速度等問題。文獻(xiàn)[19]研究了基于分布式兩坐標(biāo)雷達(dá)網(wǎng)的目標(biāo)3維跟蹤方法，在濾波的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)高度的估計(jì)。但是據(jù)作者所能查閱的文獻(xiàn)，目前尚未見到關(guān)于直接利用2D雷達(dá)網(wǎng)對空中多目標(biāo)進(jìn)行航跡關(guān)聯(lián)的報(bào)道。

本文從雷達(dá)網(wǎng)與目標(biāo)的空間結(jié)構(gòu)出發(fā)，提出一種基于空間幾何的航跡關(guān)聯(lián)算法，解決分布式2D雷達(dá)網(wǎng)對空中目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)問題。算法從分析兩雷達(dá)航跡對應(yīng)于同一目標(biāo)時(shí)的幾何關(guān)系出發(fā)，建立航跡關(guān)聯(lián)函數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行航跡粗關(guān)聯(lián)和航跡精關(guān)聯(lián)。在關(guān)聯(lián)過程中，算法可根據(jù)雷達(dá)本身的特性自適應(yīng)調(diào)整關(guān)聯(lián)函數(shù)的門限值，因此算法具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。

1 系統(tǒng)建模

1.1 雷達(dá)量測模型

考慮異地配置的2部2D雷達(dá)，令s=a,b分別表示雷達(dá)a和雷達(dá)b。假設(shè)不考慮雷達(dá)系統(tǒng)偏差以及地球曲率的影響，只考慮雷達(dá)隨機(jī)量測誤差的影響。在雷達(dá)組網(wǎng)系統(tǒng)中，雷達(dá)的觀測坐標(biāo)系采用本地極坐標(biāo)系，在具體的某一時(shí)刻k，編號(hào)為s的雷達(dá)對目標(biāo)的距離、方位角的觀測值分別為r′s(k),θ′s(k)。雷達(dá)的量測值為真值與隨機(jī)量測誤差之和，其表達(dá)式如下

(1)

1.2 航跡關(guān)聯(lián)模型

假設(shè)異地配置的2部2D雷達(dá)和目標(biāo)的空間位置結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中，ra和rb分別表示目標(biāo)相對于雷達(dá)a和雷達(dá)b的距離，d表示雷達(dá)a和雷達(dá)b之間的距離，h表示目標(biāo)的高度。在兩雷達(dá)和目標(biāo)組成的三角形中，βa表示雷達(dá)a和雷達(dá)b連線與雷達(dá)a和目標(biāo)連線的夾角，βb表示雷達(dá)b和雷達(dá)a連線與雷達(dá)b和目標(biāo)連線的夾角。在由雷達(dá)和目標(biāo)在平面投影所組成的三角形中，θa,t表示目標(biāo)和雷達(dá)b相對于雷達(dá)a的方位夾角，θb,t表示目標(biāo)和雷達(dá)a相對于雷達(dá)b的方位夾角。且目標(biāo)和雷達(dá)的方位夾角可表示為

圖1 雷達(dá)網(wǎng)和目標(biāo)的空間位置圖Fig.1 Space structure of radar network and target

(2)

式中:θa表示目標(biāo)相對于雷達(dá)a的方位角;θb表示目標(biāo)相對于雷達(dá)b的方位角;θa,b表示雷達(dá)b相對于雷達(dá)a的方位角;θb,a表示雷達(dá)a相對于雷達(dá)b的方位角。

如圖1所示，在由雷達(dá)和目標(biāo)所組成的三角形中，根據(jù)余弦定理有

(3)

在雷達(dá)a和雷達(dá)b處，由立體幾何的相關(guān)知識(shí)可以推導(dǎo)出

(4)

由于2D雷達(dá)不能測得目標(biāo)的高度或俯仰信息，致使不能夠采取有效的濾波方法消除雷達(dá)量測誤差而不引進(jìn)新的誤差，這就使得在建立航跡關(guān)聯(lián)模型時(shí)需要充分考慮雷達(dá)量測誤差對關(guān)聯(lián)的影響。目標(biāo)的俯仰角可表示為

(5)

式中：φa為目標(biāo)相對于雷達(dá)a的俯仰角；φb為目標(biāo)相對于雷達(dá)b的俯仰角；h為目標(biāo)高度。

對式(4)變形，得

(6)

式(6)表明，在沒有系統(tǒng)偏差和雷達(dá)隨機(jī)量測誤差的影響下，當(dāng)2部雷達(dá)觀測的航跡對應(yīng)于同一目標(biāo)時(shí)，雷達(dá)和目標(biāo)的空間位置唯一確定，可據(jù)此建立航跡關(guān)聯(lián)模型

(7)

式中：i=1,…,Na表示雷達(dá)a的第i條航跡；j=1,…,Nb表示雷達(dá)b的第j條航跡；Ns表示雷達(dá)s所產(chǎn)生的航跡數(shù)目。顯然，關(guān)聯(lián)函數(shù)fa,ij(k)和函數(shù)fb,ij(k)具有相同的物理意義。

2 雷達(dá)量測噪聲對關(guān)聯(lián)函數(shù)的影響

將式(1)～(3)代入式(7)，有

(8)

(9)

對航跡關(guān)聯(lián)函數(shù)ga,ij(k)在雷達(dá)量測誤差為零點(diǎn)進(jìn)行一階泰勒展開，有

(10)

若雷達(dá)a的航跡i和雷達(dá)b的航跡j對應(yīng)于同一目標(biāo)，則

(11)

式(10)可化簡為

ga,ij(k)≈cosφa,isin(θa,b-θa,i(k))ξaθ+

(12)

很顯然，在式(12)中g(shù)a,ij(k)是各隨機(jī)變量的線性組合，而各隨機(jī)變量服從零均值高斯分布，所以ga,ij(k)也服從零均值高斯分布。

同理，式(9)可以簡化為

gb,ij(k)≈-cosφb,jsin(θb,j(k)-θb,a)ξaθ+

(13)

且gb,ij(k)也服從零均值高斯分布。

3 目標(biāo)高度估計(jì)模型

2D雷達(dá)雖不能測得目標(biāo)的高度，但依據(jù)實(shí)際情況(如利用雷達(dá)垂直面內(nèi)的波束形狀和雷達(dá)探測的目標(biāo)距離)，可以估計(jì)出目標(biāo)出現(xiàn)的最大可能高度hmax和最低可能高度hmin，即目標(biāo)高度h應(yīng)滿足條件hmin≤h≤hmax。

將式(5)的代入式(12)，有

ga,ij(k)≈cosβa,isin(θa,b-θa,i(k))ξaθ+

(14)

若兩航跡對應(yīng)于同一目標(biāo)，其關(guān)聯(lián)函數(shù)值應(yīng)在零附近且絕對值為最小。因此，將此時(shí)的航跡距離和方位信息代入式(14)，可得

(15)

(16)

4 航跡關(guān)聯(lián)

4.1 航跡粗關(guān)聯(lián)

雷達(dá)的量測誤差是服從零均值的高斯分布，根據(jù)高斯分布性質(zhì)，雷達(dá)a的距離和方位量測誤差置信水平為99.7%的置信區(qū)間分別是(-3σar,3σar]和(-3σaθ,3σaθ]。即表示在雷達(dá)a置信水平為99.7%情況下雷達(dá)的距離和方位量測誤差應(yīng)滿足式(17)，即

(17)

同理，對雷達(dá)b置信水平為99.7%的情況下，雷達(dá)的距離和方位量測誤差應(yīng)滿足式(18)，即

(18)

根據(jù)實(shí)際情況，雷達(dá)觀測目標(biāo)的俯仰信息應(yīng)該滿足0

|ga,ij(k)|≤3cosφa,isin(θa,b-θa,i(k))σaθ+

(19)

若雷達(dá)a的航跡i和雷達(dá)b的航跡j對應(yīng)于同一目標(biāo)，則函數(shù)值ga,ij(k)應(yīng)滿足式(20)，即

|ga,ij(k)|≤ga,ij(k)max.

(20)

同理對式(13)有

|gb,ij(k)|≤gb,ij(k)max,

(21)

且

gb,ij(k)max=3sin(θb,j(k)-θb,a)σbθ+

(22)

只有當(dāng)ga,ij(k)和gb,ij(k)同時(shí)滿足式(20)和式(21)，才能判定兩航跡在k時(shí)刻粗關(guān)聯(lián)成功，否則判定兩航跡在k時(shí)刻粗關(guān)聯(lián)失敗。

4.2 基于歷史信息的關(guān)聯(lián)代價(jià)

定義從L時(shí)刻開始，若雷達(dá)a的航跡i和雷達(dá)b的航跡j在連續(xù)的M個(gè)周期內(nèi)都粗關(guān)聯(lián)成功，則定義在L+M時(shí)刻兩航跡的關(guān)聯(lián)代價(jià)為

(23)

若雷達(dá)a的航跡i和雷達(dá)b的航跡j在連續(xù)的M個(gè)周期內(nèi)不能都粗關(guān)聯(lián)成功，則定義在M個(gè)周期內(nèi)兩航跡的關(guān)聯(lián)代價(jià)為cij=+∞，表示兩航跡不可能是對應(yīng)于同一目標(biāo)。其中，αa為函數(shù)ga,ij(k)對應(yīng)的權(quán)重，αb為函數(shù)gb,ij(k)對應(yīng)的權(quán)重，且有

αa+αb=1.

(24)

由上文分析知ga,ij(k)和gb,ij(k)具有相同的物理意義，所以取αa=αb=0.5。在融合中心對雷達(dá)a的Na條航跡和雷達(dá)b的Nb條航跡在連續(xù)的M個(gè)周期進(jìn)行航跡粗關(guān)聯(lián)，可得到關(guān)聯(lián)代價(jià)矩陣CNa×Nb。

4.3 航跡精關(guān)聯(lián)

假定各雷達(dá)所觀測的航跡不存在航跡分岔，即每個(gè)目標(biāo)在雷達(dá)中都只產(chǎn)生一條航跡，雷達(dá)的每條航跡最多只對應(yīng)于一個(gè)目標(biāo)，對應(yīng)的分配原如下：

(1)矩陣的每一行最多有一個(gè)元素被分配；

(2)矩陣的每一列最多有一個(gè)元素被分配；

(3)所有被分配的元素的值的總和最小。

航跡關(guān)聯(lián)可以描述為如下的二維分配問題

(25)

且約束條件為

(26)

式中：ζ(i,j)=1表示雷達(dá)a的航跡i和雷達(dá)b的航跡j被分配為同一目標(biāo)；ζ(i,j)=0表示不是同一目標(biāo)不被關(guān)聯(lián)。對于該分配問題，本文采用匈牙利算法進(jìn)行求解。

5 仿真分析

設(shè)異地配置2部2D雷達(dá)，其大地坐標(biāo)分別為(44°,108°,100 m)和(44°,109°,100 m)，2部雷達(dá)的采樣周期均為5 s，且仿真持續(xù)時(shí)間是200 s。雷達(dá)的距離和方位量測誤差都是服從零均值高斯分布，距離方差的取值范圍為(100～300)m，方位方差的取值范圍(0.3°～1°)。對本文算法進(jìn)行仿真分析，以Ec，Ee和El分別表示航跡正確關(guān)聯(lián)概率、錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)概率以及漏關(guān)聯(lián)概率，則有Ec+Ee+El=1。

圖2和圖3分別為30批和60批編隊(duì)目標(biāo)真運(yùn)動(dòng)圖。圖2中有2個(gè)編隊(duì)，每個(gè)編隊(duì)都有10個(gè)目標(biāo)在作編隊(duì)飛行，其余10個(gè)目標(biāo)作雜散運(yùn)動(dòng)。圖3有2個(gè)編隊(duì)，每個(gè)編隊(duì)都有20個(gè)目標(biāo)在作編隊(duì)飛行，其余20個(gè)目標(biāo)作雜散運(yùn)動(dòng)。2種情況下編隊(duì)飛行目標(biāo)的速度是200 m/s，編隊(duì)的間隔可以為500 m和1 000 m，其雜散運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的速度在(100～200)m/s內(nèi)均勻分布，航向在(0°～360°)內(nèi)均勻分布。運(yùn)用Matlab進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)，表1和表2分別給出了粗關(guān)聯(lián)周期數(shù)M=5和10時(shí)的仿真結(jié)果。

圖2 30批編隊(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)真實(shí)軌跡圖Fig.2 30 batches of formation targets with true tracks

圖3 60批編隊(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)真實(shí)軌跡Fig.3 60 batches of formation targets with true tracks

由以上仿真結(jié)果可知：

(1)在雷達(dá)量測誤差較小時(shí)，本文提出的關(guān)聯(lián)算法的關(guān)聯(lián)效果在各種環(huán)境下的關(guān)聯(lián)效果相差不大，正確關(guān)聯(lián)概率都比較高，錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)概率比較低。

(2)由于沒有對雷達(dá)航跡數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，直接利用雷達(dá)的量測值進(jìn)行航跡關(guān)聯(lián)，在雷達(dá)的量測誤差增大時(shí)，航跡正確關(guān)聯(lián)概率下降明顯，錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)概率增加。

(3)縮小編隊(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)內(nèi)部的編隊(duì)間隔，航跡正確關(guān)聯(lián)概率下降明顯，且當(dāng)編隊(duì)間隔較小時(shí)，隨著雷達(dá)量測誤差的增大，錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)概率明顯增加。

(4)由表1和表2的對比可知，M=5時(shí)的算法性能優(yōu)于M=10時(shí)的算法性能，其原因在于受量測誤差的影響，算法很難在一個(gè)較大的周期數(shù)M內(nèi)總能將兩雷達(dá)測得的同一目標(biāo)完全正確關(guān)聯(lián)起來，因此并不是關(guān)聯(lián)周期數(shù)越大算法性能越好，必須依據(jù)實(shí)際情況選取合適的關(guān)聯(lián)周期數(shù)。

表1 M=5時(shí)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果Table 1 Simulation results for formation targets with M=5

表2 M=10時(shí)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果Table 2 Simulation results for formation targets with M=10

6 結(jié)論

本文從雷達(dá)網(wǎng)與目標(biāo)的空間幾何結(jié)構(gòu)出發(fā)，針對沒有系統(tǒng)差情況下異地配置的2部2D雷達(dá)，提出了一種基于空間幾何的航跡關(guān)聯(lián)算法，解決了2D雷達(dá)網(wǎng)對空中目標(biāo)的航跡關(guān)聯(lián)問題，主要包括以下內(nèi)容：

(1)在空間幾何的性質(zhì)下，給出了2部2D雷達(dá)的航跡關(guān)聯(lián)模型，該模型不需要兩雷達(dá)航跡實(shí)現(xiàn)空間對準(zhǔn)，避免了由于缺乏高度給坐標(biāo)轉(zhuǎn)換帶來的誤差。

(2)結(jié)合雷達(dá)量測誤差的置信區(qū)間和關(guān)聯(lián)函數(shù)的高斯特性給出了航跡關(guān)聯(lián)的粗關(guān)聯(lián)門限。

(3)基于歷史信息給出了兩航跡關(guān)聯(lián)的關(guān)聯(lián)代價(jià)，并利用航跡最優(yōu)分配實(shí)現(xiàn)航跡的配對。

從仿真結(jié)論來看，以空間幾何模型為基礎(chǔ)，利用空間幾何的相關(guān)性質(zhì)建立航跡關(guān)聯(lián)函數(shù)，在雷達(dá)不存在系統(tǒng)偏差，只有雷達(dá)量測噪聲影響的情況下，本文提出的關(guān)聯(lián)算法能夠有效地實(shí)現(xiàn)兩2D雷達(dá)的航跡關(guān)聯(lián)，因此具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。