張亞超，謝仕煒

（福州大學電氣工程與自動化學院，福建省福州市 350108）

0 引言

近年來，由極端災害（如暴雨、臺風等）引發(fā)的大規(guī)模停電事故愈發(fā)頻繁，造成了巨大經(jīng)濟損失［1］。如何提高電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行能力，盡可能降低極端事件造成的危害，發(fā)展彈性電力系統(tǒng)已成為能源轉(zhuǎn)型背景下智能電網(wǎng)發(fā)展的必然趨勢［2-3］。

目前，國內(nèi)外學者對于彈性配電網(wǎng)恢復力的提升策略開展了一系列研究工作［4-5］。文獻［6］在防御-攻擊-防御優(yōu)化框架下提出線路走廊清障和線路桿塔加固的預防策略。文獻［7］以配電網(wǎng)失負荷損失最小為目標，提出遠動開關(guān)魯棒優(yōu)化配置模型。上述研究均通過采取投資策略增加冗余性以提高系統(tǒng)彈性，其效果好但成本高，屬于事前預防策略，制定時無法獲取準確故障信息而存在其局限性。因此，制定故障發(fā)生后配電網(wǎng)恢復力的提升策略尤為重要。文獻［8-9］在事故發(fā)生后利用分布式電源（distributed generator，DG）形成微電網(wǎng)以確保對關(guān)鍵負荷的供電。文獻［10］針對極端災害下與交通網(wǎng)耦合的配電網(wǎng)，提出一種可移動緊急資源和DG的優(yōu)化調(diào)度策略實現(xiàn)動態(tài)負荷恢復。文獻［11］構(gòu)建了故障元件恢復、網(wǎng)絡重構(gòu)及DG調(diào)度等措施協(xié)調(diào)優(yōu)化的彈性提升策略。文獻［12］提出一種故障恢復、移動式電動汽車與智能軟開關(guān)聯(lián)合響應的配電網(wǎng)事故處置全過程協(xié)同提升彈性的策略。其中，文獻［8-10］利用各種彈性資源或網(wǎng)絡重構(gòu)等方法實現(xiàn)配電網(wǎng)的暫時功能恢復，時間尺度較短。除了以上短時間尺度的恢復力提升策略以外，文獻［11-12］還考慮了時間尺度更長的電力基礎(chǔ)設施恢復策略，針對故障檢修人員調(diào)度建立車輛路徑問題（vehicle routing problem，VRP）。然而，上述研究均未考慮檢修路程時間、極端災害時交通路況等因素的影響。此外，文獻［13］針對三相不平衡配電網(wǎng)絡提出一種基于序列化復電框架的恢復決策模型，并轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃（mixed-integer linear program，MILP）問題求解。

1 面向彈性提升的配電網(wǎng)協(xié)同優(yōu)化策略

配電網(wǎng)彈性是指在極端災害條件下系統(tǒng)的供電恢復能力。配電網(wǎng)彈性提升策略可按照時序劃分為事前預防策略（如線路加固）、事中響應策略（如網(wǎng)絡重構(gòu)）和事后恢復策略。本文將事中和事后策略作為整體，提出極端災害下面向彈性提升的配電網(wǎng)多時間尺度恢復策略協(xié)調(diào)優(yōu)化框架。

針對時間尺度較長的故障元件恢復策略，建立檢修人員調(diào)度決策問題，災害發(fā)生后由檢修中心派出檢修組進行故障修復，其目標是使故障元件在最短的時間內(nèi)修復完成以便投入正常運行狀態(tài)。本文將極端天氣條件下故障發(fā)生的時間和地理位置作為可獲取已知信息，配電網(wǎng)檢修人員在接收到元件故障信息、完成故障原因分析及檢修前統(tǒng)籌準備工作后即可從檢修中心出發(fā)開展故障修復工作。與此同時，配電網(wǎng)發(fā)生故障后，采用DG和聯(lián)絡開關(guān)進行網(wǎng)絡重構(gòu)這種時間尺度較短的暫時功能恢復策略，盡可能減小故障發(fā)生后配電網(wǎng)的棄負荷量。因此，本文所提決策模型將基于不同時間尺度的故障元件恢復和暫時功能恢復等彈性提升策略作為整體進行協(xié)同優(yōu)化，以制定最優(yōu)的配電網(wǎng)全過程恢復力提升決策。

2 模型建立

2.1 檢修人員調(diào)度

檢修人員調(diào)度問題本質(zhì)上是一個車輛路徑問題［14］，可定義如下：某一檢修組從檢修中心出發(fā)，根據(jù)預先分配的檢修任務對故障元件逐一進行修復最終返回所屬的檢修中心，其目標是在最短時間內(nèi)完成所有故障元件的修復工作。在檢修調(diào)度過程中，規(guī)定任一故障元件節(jié)點有且僅有一組檢修人員抵達并執(zhí)行該元件的修復任務［11］。

設檢修中心個數(shù)為D，檢修中心d中檢修組的數(shù)量為Cd，檢修組編號為c，檢修中心d中所有檢修組構(gòu)成的集合為Sd。檢修中心d中所有故障元件節(jié)點 構(gòu) 成 的 集 合 為Rd，定 義 二 進 制 變 量xr，s，d，c和yr，d，c。當檢修中心d的檢修組c經(jīng)故障元件節(jié)點r行駛到故 障 元 件 節(jié) 點s時，xr，s，d，c取 值 為1，否 則 為0。當 檢修中心d的 檢修組c途經(jīng) 故障元件 節(jié) 點r時，yr，d，c取值為1，否則為0。xr，s，d，c和yr，d，c的關(guān)系如下：

式 中：xr，s，d，c為 檢 修 中 心d的 檢 修 組c從 故 障 元 件 節(jié)點r行駛到故障元件節(jié)點s的狀態(tài)變量；Rd{r}為集合Rd中除去集合{r}之外的集合。

對于檢修中心d，車輛路徑問題包含的約束條件為［15］：

式 中：xs，r，d，c為 檢 修 中 心d的 檢 修 組c從 故 障 元 件 節(jié)點s行 駛 到 故 障 元 件 節(jié) 點r的 狀 態(tài) 變 量；x0，r，d，c為 檢修中心d的檢修組c從檢修中心行駛到故障元件節(jié)點r的 狀 態(tài) 變 量；xr，0，d，c為 檢 修 中 心d的 檢 修 組c從故障元件節(jié)點r回到檢修中心的狀態(tài)變量。

式（2）表示每個故障元件僅由一組檢修人員進行維修；式（3）表示檢修中心d的檢修組到達某一故障元件節(jié)點并完成檢修任務后就離開該節(jié)點；式（4）表示所有檢修組均從檢修中心出發(fā)前往故障節(jié)點；式（5）表示所有檢修組完成檢修任務后均回到檢修中心。有關(guān)故障元件修復時間及狀態(tài)的約束見附錄A式（A1）至式（A6）。

2.2 配電網(wǎng)運行約束

對于三相不平衡配電網(wǎng)中的支路i-j，由基爾霍夫電壓定律可知：

式 中：Vi，t為 節(jié) 點i在時段t的 三 相 電 壓 矩 陣；Iij，t為支路i-j在時段t的三相電流矩陣；zij為支路i-j的阻抗矩陣。

由式（7）可得支路i-j首末節(jié)點的電壓約束為：

式中：M為足夠大的正數(shù)組成的參數(shù)矩陣；aij，t為支路i-j在時段t的狀態(tài)變量，線路閉合時為1，斷開時為0；Umax和Umin分別為Ui，t的上、下限。

節(jié)點功率平衡約束為：

式中：Sbr為配電網(wǎng)中所有支路的集合；Gj為接入節(jié)點j的 所 有 機 組 集 合；PL，j，t和QL，j，t分 別 為 接 入 節(jié) 點j在 時 段t的 有 功 負 荷 矩 陣 和 無 功 負 荷 矩 陣；Pcur，j，t為節(jié) 點j在 時 段t的 棄負荷矩 陣；Pg，t和Qg，t分 別 為機組g在 時 段t的 有 功 出 力 矩 陣 和 無 功 出 力 矩 陣；Pij，t和Qij，t分 別 為 線 路i-j在 時 段t傳 輸 的 有 功 功 率 矩 陣 和無功功率矩陣。

線路功率傳輸約束為：

式 中：Pline，max和Qline，max分 別 為 線 路 傳 輸 的 有 功 功 率和無功功率上限。

棄負荷約束為：

2.3 DG運行約束

假設配電網(wǎng)中所接入的DG為具備黑啟動能力的燃氣機組，其出力限制如下：式 中：Pg，t和Qg，t分 別 為 機 組g某 相 在 時 段t的 有 功出 力 和 無 功 出 力；Pg，max和Qg，max分 別 為 機 組g的 有功出力和無功出力的上限；Lg，max為機組g的最大階躍載荷系數(shù)；Pg，cap為機組g的額定容量。

在不平衡運行工況下燃氣機組的三相電流不平衡運行約束為［17］：

式 中：Rg，t和Rg，max分 別為機 組g在時段t的 三 相 電流不平衡度和最大電流不平衡系數(shù)。Rg，t的計算過程詳見附錄A式（A7）—式（A27）。

2.4 配電網(wǎng)重構(gòu)約束

在故障發(fā)生后，配電網(wǎng)通過聯(lián)絡開關(guān)和DG重構(gòu)為多個微電網(wǎng)。設配電網(wǎng)絡所有節(jié)點組成的集合為Sb，將接入變電站、DG的節(jié)點和故障線路的首末節(jié)點構(gòu)成潛在根節(jié)點集Sr。在網(wǎng)絡重構(gòu)的過程中建立的微電網(wǎng)需滿足輻射狀拓撲結(jié)構(gòu)，其充要條件為：①閉合線路數(shù)目等于網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)減去子圖數(shù)；②各子圖內(nèi)部是連通的［18］。

重構(gòu)后滿足上述充要條件①的約束為：

式中：Nb為配電網(wǎng)節(jié)點數(shù)；γj，t為二進制變量，若潛在根節(jié)點j在時段t作為微電網(wǎng)的根節(jié)點，則其取值為1，否則為0。

構(gòu)造與原配電網(wǎng)絡具有相同拓撲結(jié)構(gòu)的虛擬網(wǎng)絡，滿足上述充要條件②的約束為［19-21］：

式中：M為一足夠大的常數(shù)；Vij，t為流經(jīng)支路i-j的虛擬潮流。

2.5 面向彈性提升的魯棒優(yōu)化模型

在臺風、暴雨和冰災等極端事件下，檢修人員到達故障元件節(jié)點的時間具有不確定性，因此，檢修人員調(diào)度問題應視為含不確定量的優(yōu)化問題。本文采用事前分析技術(shù)考慮檢修路程時間的不確定性，建立故障修復的兩階段魯棒優(yōu)化模型。設第1階段由二進制變量構(gòu)成的決策向量為X′，第2階段由連續(xù)變量構(gòu)成的決策向量Y和檢修路程時間向量u～，具體表達式如附錄A式（A28）—式（A30）所示。

上述模型的目標即為尋求最惡劣路程時間條件下故障修復總時長最短，表達式如式（18）所示，約束條件為式（1）—式（5）和附錄A式（A1）—式（A3）。

式 中：τr，d為 檢修中 心d修復故 障 元 件 節(jié)點r的 完成時間。

根據(jù)附錄A式（A4）—式（A6）可以得到故障元件的修復完成時段。若故障線路i-j即為故障元件集中的r，則其狀態(tài)滿足如式（19）所示的關(guān)系。

式 中：qr，t為 故 障 元 件 節(jié) 點r在 時 段t的 修 復 狀 態(tài)變量。

由此建立以棄負荷成本最小為目標的配電網(wǎng)重構(gòu)優(yōu)化模型如式（20）所示。約束條件為式（10）—式（14）、式（16）、式（17）和附錄A式（A10）—式（A27）。

式中：ccur為單位棄負荷懲罰成本；cope為聯(lián)絡開關(guān)投運成本系數(shù)；Stie為聯(lián)絡線路集合；T為總時段數(shù)。

目標函數(shù)式（20）中增加了聯(lián)絡開關(guān)投運成本，以便故障線路修復后投入運行從而斷開聯(lián)絡開關(guān)，使得配電網(wǎng)盡快恢復原始正常運行狀態(tài)。此外，DG運行約束式（15）為非線性約束條件，將其轉(zhuǎn)化為線性約束條件后（見附錄A式（A10）—式（A27）），該模型即轉(zhuǎn)化為MILP問題。

式（18）和式（20）分別為檢修人員調(diào)度優(yōu)化模型和配電網(wǎng)重構(gòu)優(yōu)化模型，可知2個優(yōu)化問題通過附錄A式（A4）—式（A6）和式（19）建立故障元件修復 狀 態(tài)qr，t和 運 行 狀 態(tài)aij，t的 耦 合 關(guān) 系，且qr，t僅與式（18）第1階段決策變量有關(guān)，故可將上述2個模型合并為如式（21）所示的基于多時間尺度恢復策略協(xié)調(diào)的兩階段魯棒優(yōu)化模型，約束條件為式（1）—式（5）、式（10）—式（14）、式（16）、式（17）、式（19）、附 錄A式（A1）—式（A6）、式（A10）—式（A27）。

式中：ξ為故障修復的單位時間成本。

上述兩階段魯棒優(yōu)化模型中，第1階段和第2階段的決策變量所包含的其他元素見附錄A式（A31）和式（A29）。

3 模型求解

將魯棒優(yōu)化問題式（21）分解為如式（22）所示的主問題和如式（23）所示的子問題［20］。

式中：X*為求解主問題得到的最優(yōu)解。

將兩階段魯棒優(yōu)化問題分解成主、子問題后，主問題式（22）為MILP問題，max-min形式的子問題式（23）可通過對偶理論轉(zhuǎn)化為單層優(yōu)化問題，其轉(zhuǎn)化過程見附錄A式（A32）—式（A35）。采用列約束生成（column-and-constraint generation，C&CG）算法進行主、子問題迭代求解［22］。

4 算例分析

4.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

本文選取圖1所示的改進IEEE 33節(jié)點配電網(wǎng)進行分析。3個DG分別位于節(jié)點13、23和30，其運行參數(shù)如附錄B表B1所示。配電網(wǎng)負荷曲線見文獻［21］。節(jié)點7與15、8與21、18與33以及25與29之間各有一條聯(lián)絡線相連，正常運行時處于斷開狀態(tài)。節(jié)點1與上級變電站相連，其電壓保持為額定電壓值，配電網(wǎng)中其他節(jié)點允許電壓大小為額定值的0.9～1.1。配電網(wǎng)的支路阻抗參數(shù)見文獻［23］，接入各節(jié)點的三相不平衡負荷如附錄B表B2所示。根據(jù)文獻［11］設置故障元件所需修復時間，具體如附錄B表B3所示，其中，檢修小組1和2屬于檢修中心1，檢修小組3和4屬于檢修中心2。

圖1 改進的IEEE 33節(jié)點配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Architecture diagram of improved IEEE 33-bus distribution network

4.2 結(jié)果分析

假設配電網(wǎng)在11：00發(fā)生故障后，線路2-3、5-6、8-9、14-15、26-27和30-31處于斷開狀態(tài)，以故障發(fā)生時刻作為初始時刻，以30 min為時間步長，在MATLAB平臺下調(diào)用CPLEX求解器進行計算。

為驗證所提響應恢復協(xié)調(diào)優(yōu)化模型的優(yōu)越性，設置如下場景進行分析。

場景1：不考慮檢修路程時間的不確定性，先求解模型式（18）得出故障元件修復策略，再結(jié)合故障元件修復狀態(tài)求解模型式（20）得出網(wǎng)絡重構(gòu)策略。

場景2：不考慮檢修路程時間的不確定性，求解模型式（21）得出提升配電網(wǎng)彈性的協(xié)調(diào)策略。

場景3：考慮檢修路程時間的不確定性，先求解故障修復兩階段魯棒優(yōu)化模型式（18），再求解配電網(wǎng)重構(gòu)優(yōu)化模型式（20）。

場景4：考慮檢修路程時間的不確定性，求解魯棒優(yōu)化模型式（21）得出提升彈性的協(xié)調(diào)策略。

針對場景1和2中的待求解問題，式（18）和式（21）中均不存在不確定矩陣u～，故以上優(yōu)化問題都轉(zhuǎn)化為單層確定性的MILP問題直接求解。針對場景3和4中含不確定量的魯棒優(yōu)化問題，在主、子問題框架下采用C&CG算法進行迭代求解。

上述4種場景的計算結(jié)果如表1所示，其中：總成本為棄負荷成本、聯(lián)絡開關(guān)運行成本及故障修復成本之和。時間步長為30 min時，場景3和4的檢修路徑如表2所示。各相棄負荷量如附錄C圖C1所示。

由表1可知，不考慮檢修路程時間不確定性時，與場景1相比，場景2所得策略的故障修復時間較長，但其棄負荷量減小了19.29%。與場景1相比，場景3考慮了檢修路程時間的不確定性，其恢復決策的棄負荷量和故障修復時間均有所增長。場景4采用協(xié)調(diào)恢復策略時的故障修復總時長比場景3增加了3 h，但棄負荷量減少了651.2 kW·h。

表1 不同場景下的計算結(jié)果Table 1 Calculation results in different scenarios

表2 時間步長為30 min時場景3和4的檢修路徑Table 2 Maintenance paths of scenario 3 and 4 with time step of 30 min

結(jié)合表2和附錄C圖C1可知，考慮檢修路程時間不確定性的場景3和4的故障元件檢修方案有顯著區(qū)別。場景3在故障發(fā)生后的12個時段均存在棄負荷，而場景4僅在前8個時段有棄負荷。2種場景在前5個時段沒有故障線路被修復，配電網(wǎng)重構(gòu)方式一致，故各相的棄負荷量相同。在場景3中，線路8-9在時段6修復完成并在時段7投入運行，故在時段7的棄負荷量比場景4有顯著減小。在場景4中，線路5-6在時段7修復完成并在時段8投運，線路2-3在時段8修復完成并在時段9投運，至此，配電網(wǎng)的棄負荷為零。此外，場景3中為尋求最短的故障修復時間，未考慮所修復線路對于減小棄負荷的重要程度，其修復方案在時段12修復完成線路2-3并在時段13投運，故配電網(wǎng)直到時段13才沒有棄負荷發(fā)生。由此可見，場景4能有效辨識出對降低棄負荷有顯著影響的重要故障元件進行優(yōu)先修復，從而做出最優(yōu)的彈性提升策略。

場景4中配電網(wǎng)運行狀態(tài)變化過程見附錄C圖C2。由圖C2可知，在時段7至11和時段15處，配電網(wǎng)的運行拓撲發(fā)生變化。在時段7形成2個孤島子圖由DG供電，在時段8和9僅有一個孤島子圖，在時段15聯(lián)絡開關(guān)均斷開，故障線路修復完成并投入，配電網(wǎng)恢復到原始正常運行狀態(tài)。此外，場景4中DG的三相有功功率如附錄C圖C3所示。由圖C3可 知，DG2在 時 段8和16僅A相 和C相 提 供有功功率，在時段10和21僅A相和C相提供有功功率，以上時段機組的三相電流不平衡度均為Rg，max。DG3在時段8和9僅B相提供有功功率，在時段13僅A相提供有功功率，其三相電流不平衡度均達到Rg，max。

4.3 模型性能分析

為分析恢復決策與時間步長的關(guān)系，將時間步長取為15 min時，對場景3和4進行求解，2種場景下 的 棄 負 荷 量 分 別 為2 855.7 kW·h和2 348.8 kW·h。與場景3相比，場景4協(xié)調(diào)優(yōu)化決策的棄負荷量減少了506.9 kW·h。結(jié)合表1可知，場景4選取時間步長為15 min時的棄負荷量比時間步長為30 min時減小了202.5 kW·h；場景3在2種時間步長下的棄負荷量僅相差21.2 kW·h。當選取時間步長為15 min時，場景3的故障元件檢修方案與表2一致，場景4的檢修路徑如表3所示。

表3 時間步長為15 min時場景4的檢修路徑Table 3 Maintenance paths of scenario 4 with time step of 15 min

結(jié)合表2和表3可看出，場景4在不同時間步長下，只有檢修小組4的檢修方案不變，其他檢修小組的檢修方案均發(fā)生了變化。選取不同時間步長時，場景3中故障修復優(yōu)化模型的元件檢修方案保持不變，時間步長的細化對配電網(wǎng)優(yōu)化策略的棄負荷量影響很小。時間步長的細化對場景4中恢復策略有直接影響，從而產(chǎn)生不同的故障元件修復方案來降低配電網(wǎng)在極端事件下的棄負荷量。

場景3和4中模型的求解時間如附錄B表B4所示。由表B4可知，針對同一決策模型，時間步長為15 min時的求解時間復雜度比時間步長為30 min時均有大幅提高。場景4可獲得比場景3更加優(yōu)越的彈性提升策略，減小配電網(wǎng)故障階段的棄負荷量，但其模型求解時間較長。

5 結(jié)語

針對極端天氣條件下配電網(wǎng)的彈性提升，本文提出一種故障發(fā)生后全過程彈性提升的多時間尺度恢復策略協(xié)調(diào)優(yōu)化框架，通過算例驗證了所提方法的有效性，可得如下結(jié)論。

1）在面向配電網(wǎng)彈性提升的決策模型中將基于較長時間尺度的故障元件恢復和較短時間尺度的負荷恢復作為整體進行優(yōu)化，考慮了2種恢復策略的協(xié)調(diào)作用，能夠最大限度地提升彈性配電網(wǎng)在極端時間下的恢復力。

2）在故障元件修復問題中考慮了極端天氣條件下檢修人員路程時間的不確定性，建立了故障恢復的兩階段魯棒優(yōu)化模型，以便在不確定性環(huán)境下做出最優(yōu)的故障修復決策。

3）通過改進的IEEE 33節(jié)點配電網(wǎng)構(gòu)建不同場景進行比較分析，驗證了所提多時間尺度恢復策略協(xié)調(diào)優(yōu)化用于配電網(wǎng)彈性提升的有效性。

需指出的是，本文提出的考慮故障檢修階段路程時間不確定性的多種恢復策略協(xié)調(diào)優(yōu)化框架對提高配電網(wǎng)彈性、減小棄負荷量具有重要意義。如何提高該協(xié)調(diào)優(yōu)化決策模型的求解效率是下一步研究方向。

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