陳民權(quán)，張 謙，甘德強(qiáng)，擺世彬，田志浩，劉 剛

（1.浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江省杭州市 310027；2.國(guó)網(wǎng)寧夏電力有限公司，寧夏回族自治區(qū)銀川市 750001）

0 引言

在自動(dòng)化系統(tǒng)中，為獲得更好的控制與穩(wěn)定性能，通常采用負(fù)反饋形式將輸出量信息送回輸入端構(gòu)成閉環(huán)。具有負(fù)反饋調(diào)節(jié)的控制系統(tǒng)，通過(guò)自動(dòng)修正輸出量與參考輸入量之間的偏差，使系統(tǒng)趨向設(shè)定值，并抑制回路中內(nèi)擾和外擾的影響，較好地改善動(dòng)態(tài)性能。

電力系統(tǒng)中存在大量的負(fù)反饋環(huán)節(jié)，如同步發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓自動(dòng)控制、新能源并網(wǎng)換流器的功率跟蹤控制等，它們共同維持電網(wǎng)運(yùn)行在穩(wěn)定電壓與額定頻率。伴隨著清潔能源滲透率的逐步提高，越來(lái)越多的電源通過(guò)變流器接入電網(wǎng)［1］，此類電源的動(dòng)態(tài)特性很大程度上取決于變流器控制模式［2］，使得電網(wǎng)負(fù)反饋調(diào)節(jié)特征更加突出。

在電網(wǎng)中廣泛存在的負(fù)反饋型控制模塊，大多采用局部輸出量作為反饋信號(hào)［3］。比如勵(lì)磁系統(tǒng)中的電壓調(diào)節(jié)器監(jiān)測(cè)自身機(jī)端電壓，通過(guò)勵(lì)磁電壓和內(nèi)電勢(shì)的調(diào)整讓發(fā)電機(jī)出口電壓跟蹤給定值。此外，電壓不穩(wěn)定也主要是由局部的無(wú)功功率不足導(dǎo)致的。這些局部特性影響著電壓動(dòng)態(tài)的魯棒行為，令系統(tǒng)雅可比矩陣呈現(xiàn)符號(hào)特征。把握這些系統(tǒng)特性與結(jié)構(gòu)特征，有助于研究電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律。

長(zhǎng)期以來(lái)，大量專家學(xué)者都在研究動(dòng)態(tài)電壓穩(wěn)定方面的有效分析方法［4］。時(shí)域仿真法［5］通過(guò)對(duì)用于描述電壓動(dòng)態(tài)的微分-代數(shù)方程組開展數(shù)值積分獲得時(shí)域響應(yīng)曲線。固定參數(shù)/初值組合下的時(shí)域軌跡結(jié)果直觀，可與真實(shí)錄波信號(hào)對(duì)比。但若系統(tǒng)包含不確定性時(shí)，計(jì)算量將大幅增加，同時(shí)其結(jié)果由于缺乏解析性，往往還需要借助功率平衡、電氣距離、短路比等近似判據(jù)開展穩(wěn)定分析［6-7］。

李雅普諾夫直接法［8］不根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡判別穩(wěn)定性，而是直接從系統(tǒng)能量角度出發(fā)，構(gòu)建能量函數(shù)給出穩(wěn)定度。文獻(xiàn)［9］總結(jié)了使用啟發(fā)式能量函數(shù)法研究電壓穩(wěn)定的一些結(jié)果，但仍未能計(jì)及勵(lì)磁系統(tǒng)的作用。

綜上所述，分析計(jì)及勵(lì)磁系統(tǒng)的電網(wǎng)電壓調(diào)節(jié)過(guò)程的內(nèi)在性質(zhì)，具有重要意義。本文致力于研究電壓動(dòng)態(tài)模型的結(jié)構(gòu)特征，指出其中蘊(yùn)含的混合單調(diào)性，并應(yīng)用混合單調(diào)系統(tǒng)理論分析電壓穩(wěn)定性以及參數(shù)對(duì)其的影響。分析結(jié)果揭示了交流系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)，同時(shí)表明交流系統(tǒng)電壓動(dòng)態(tài)存在固有的魯棒性，對(duì)于仿真中可能出現(xiàn)的參數(shù)誤差也具有一定的容錯(cuò)性。

1 混合單調(diào)系統(tǒng)的有界穩(wěn)定性

一個(gè)開環(huán)輸入輸出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可描述為：

式中：x為狀態(tài)向量；u為輸入向量；y為輸出向量；f(·)和h(·)分別為狀態(tài)函數(shù)和輸出函數(shù)。

將上述開環(huán)系統(tǒng)的輸入與輸出直接相連（u=y），得到一個(gè)反饋閉環(huán)系統(tǒng)，其中動(dòng)態(tài)系統(tǒng)視作前向通道，輸出函數(shù)作為反饋通路，共同組成一個(gè)閉合的回路，如附錄A圖A1所示。

1.1 混合單調(diào)與增廣系統(tǒng)

在上述閉環(huán)系統(tǒng)中，若動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是單調(diào)［10］的（即其雅可比矩陣的非對(duì)角元均非負(fù)），而反饋通路是單調(diào)遞減的（即負(fù)反饋），則

是混合單調(diào)的［11］。文獻(xiàn)［12］指出，一個(gè)混合單調(diào)系統(tǒng)的部分動(dòng)態(tài)特性可以借助由其衍生出的一個(gè)對(duì)稱的規(guī)模倍增的增廣單調(diào)系統(tǒng)得到。對(duì)應(yīng)增廣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如式（3）所示，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 增廣閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of augmented closed-loop system

式中：x+和x-為增廣系統(tǒng)狀態(tài)向量。

1.2 增廣估計(jì)有界

更進(jìn)一步，如果采用區(qū)間頂點(diǎn)作為狀態(tài)初值的增廣系統(tǒng)的解軌跡是有界的，那么從相同區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)出發(fā)的原系統(tǒng)的解軌跡也一定是有界的。

下面給出增廣系統(tǒng)解有界的充分條件。

如 果 存 在x+≥x-滿 足f(x+，h(x-))≤0≤f(x-，h(x+))，那么[x-，x+]是系統(tǒng)式（2）的正不變集，從[x-，x+]T出發(fā)的增廣系統(tǒng)解軌跡是有界的［14］。

以一個(gè)二階混合單調(diào)系統(tǒng)為例，狀態(tài)量為[x1，x2]T，利用其增廣系統(tǒng)估算原系統(tǒng)響應(yīng)分布，并觀察響應(yīng)特征。

2 簡(jiǎn)單電力系統(tǒng)模型分析

電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以統(tǒng)一描述為一般形式的微分-代數(shù)方程組。

式中：x對(duì)應(yīng)描述電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的狀態(tài)變量；y對(duì)應(yīng)電力系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù)的代數(shù)變量；d(·)和g(·)分別為微分函數(shù)和代數(shù)函數(shù)。

代數(shù)方程為隱式結(jié)構(gòu)，難以直接看出y與x之間的聯(lián)系。下面針對(duì)電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)研究，結(jié)合一些假設(shè)，首先推導(dǎo)出2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中代數(shù)方程的電壓顯式解，繼而應(yīng)用混合單調(diào)理論分析電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律。

2.1 2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

附錄A圖A3所示的2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，同步發(fā)電機(jī)不計(jì)阻尼繞組并忽略凸極效應(yīng)，此時(shí)q軸同步電抗等于d軸暫態(tài)電抗，因此可用暫態(tài)電抗X′后的暫態(tài)電勢(shì)E′表示，負(fù)荷采用恒阻抗類型。系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如下：發(fā)電機(jī)容量SG=100 MVA，暫態(tài)電抗X′=0.25 p.u.，d軸同步電抗Xd=1.0 p.u.，慣性時(shí)間常數(shù)TJ=6 s，d軸開路暫態(tài)時(shí)間常數(shù)T′d0=5 s，外接電抗（包括變壓器和輸電線路的電抗）Xe=0.25 p.u.。

當(dāng)潮流計(jì)算得到節(jié)點(diǎn)2的電壓為V2∠θ2、消耗功率為P2+jQ2后，計(jì)算負(fù)荷等值阻抗為：

式中：V2和θ2分別為節(jié)點(diǎn)2電壓的幅值與相位；RL和XL分別為等值的電阻與電抗；P2和Q2分別為節(jié)點(diǎn)2消耗的有功與無(wú)功功率。

繼而推出暫態(tài)過(guò)程中發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓V?G為：

式中：V?1為節(jié)點(diǎn)1電壓相量；δ為發(fā)電機(jī)功角。

令XΣ=X′+Xe+XL，計(jì)算電壓幅值|VG|，有

式中：K1為由系統(tǒng)參數(shù)所確定的正數(shù)。

由于忽略了凸極效應(yīng)，暫態(tài)電勢(shì)E′位于q軸，d軸電流Id與q軸電流Iq的表達(dá)式為：

若發(fā)電機(jī)配置了比例型勵(lì)磁電壓調(diào)節(jié)器，系統(tǒng)電壓動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)模型歸納如下。

式中：Efd為勵(lì)磁電壓；Vref為電壓調(diào)節(jié)內(nèi)部參考值；KA為調(diào)節(jié)器放大系數(shù)；TA為調(diào)節(jié)器時(shí)間常數(shù)。

Vref由潮流數(shù)據(jù)確定，即

式中：Efd0為穩(wěn)態(tài)勵(lì)磁電壓；VG0為穩(wěn)態(tài)機(jī)端電壓。

式（11）具有結(jié)構(gòu)特征，可視作由一個(gè)開環(huán)單調(diào)單輸入-單輸出系統(tǒng)和一條負(fù)反饋通路構(gòu)成的閉環(huán)混合單調(diào)系統(tǒng)，相應(yīng)數(shù)學(xué)模型改寫為：

依照式（3），將2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)繼續(xù)擴(kuò)展成如下所示的動(dòng)態(tài)特性更加明朗的增廣單調(diào)系統(tǒng)，有助于研究電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。

由式（14）可知，通過(guò)在反饋通路交換信息，令最大狀態(tài)子系統(tǒng)獲得最小的負(fù)反饋量，最小狀態(tài)子系統(tǒng)獲得最大的負(fù)反饋量，從而保證增廣系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)始終能夠包絡(luò)原系統(tǒng)的電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)。值得注意的是，所交換的2個(gè)反饋量差異越大，所得包絡(luò)估計(jì)結(jié)果的保守程度越大，不同分解模式將直接影響反饋量差異，具體分析見文獻(xiàn)［12］。

2.2 穩(wěn)定域估計(jì)

若增廣系統(tǒng)式（14）的一組頂點(diǎn)值滿足解有界的充分條件，那么從該組頂點(diǎn)出發(fā)的解軌跡不會(huì)運(yùn)動(dòng)到集合之外，也意味著被包絡(luò)的原系統(tǒng)解軌跡不會(huì)無(wú)限增大或減小，表明該區(qū)間是原系統(tǒng)實(shí)際穩(wěn)定域的一個(gè)保守估計(jì)結(jié)果。

根據(jù)增廣系統(tǒng)解有界的充分條件，系統(tǒng)式（14）的不等式約束為：

由圖2可以看到，原系統(tǒng)從不同初值狀態(tài)出發(fā)的Efd出現(xiàn)了相互交錯(cuò)，直接采用時(shí)域積分法分析需要列舉足夠多的參數(shù)組合才能確定時(shí)域上各階段的最大、最小值，不僅計(jì)算負(fù)擔(dān)大，還可能在多參數(shù)情況下出現(xiàn)組合爆炸問題。而借助增廣系統(tǒng)，利用原系統(tǒng)具有的混合單調(diào)性，僅需要針對(duì)2個(gè)區(qū)間頂點(diǎn)開展時(shí)域積分獲得解軌跡，即可獲得一個(gè)近似的雙邊估計(jì)，提高了分析效率。

圖2 2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)Fig.2 Time-domain response of 2-bus system

由于單調(diào)增廣系統(tǒng)提供的雙邊估計(jì)是有界的，所以從對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)任意一個(gè)狀態(tài)出發(fā)，2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的軌跡均能逐漸運(yùn)動(dòng)至平衡點(diǎn)。因此，通過(guò)求解關(guān)于不確定區(qū)間頂點(diǎn)值的一組不等式代數(shù)方程，可估計(jì)出2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定域。

2.3 調(diào)節(jié)器放大系數(shù)的影響

觀察閉環(huán)混合單調(diào)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型式（13），發(fā)現(xiàn)KA只作用于反饋通路，對(duì)應(yīng)電壓調(diào)節(jié)器的負(fù)反饋調(diào)節(jié)機(jī)制。因此，在增廣系統(tǒng)式（14）中，KA越大，反饋通路中2個(gè)子系統(tǒng)所交換信息的差異越大，使得增廣系統(tǒng)更容易發(fā)散。研究發(fā)現(xiàn)在實(shí)際電力系統(tǒng)中，KA的提高會(huì)增加系統(tǒng)的負(fù)阻尼，導(dǎo)致低頻振蕩發(fā)生［15］，增大系統(tǒng)振蕩失步的概率［16］。

從數(shù)學(xué)模型上分析，整理式（15）得到：

對(duì)式（15）繼續(xù)變形，得到：

不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)K2/K1的影響如表1所示。由表1可以看出，外接電抗的減小、暫態(tài)電抗和d軸同步電抗的增大均有助于提高KA上限值。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)K2/K1的影響Table 1 Influence of structural parameters on K2/K1

2.4 限幅環(huán)節(jié)的影響

在勵(lì)磁調(diào)節(jié)器的數(shù)學(xué)建模中，對(duì)應(yīng)實(shí)際物理工程上存在的飽和特性、安全穩(wěn)定約束或功能需求，部分環(huán)節(jié)的輸出幅值會(huì)受到限制?？紤]帶有終端限幅［17］的比例型電壓調(diào)節(jié)器，結(jié)構(gòu)如附錄A圖A4所示。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型更新為：

式中：Sat(·)為限幅函數(shù)；下標(biāo)max和min分別表示輸出最大值和最小值。

由于限幅函數(shù)是單調(diào)的，因此仍可將系統(tǒng)式（18）視作由一個(gè)開環(huán)單調(diào)輸入-輸出系統(tǒng)和一條負(fù)反饋通路構(gòu)成的閉環(huán)混合單調(diào)系統(tǒng)。相似地，得到所對(duì)應(yīng)的增廣系統(tǒng)為：

限幅函數(shù)的加入，可減緩E′+與E′-的變化速率，使得反饋通路中2個(gè)子系統(tǒng)所交換信息的差異有所減小。圖3對(duì)比了加入限幅環(huán)節(jié)前后的電壓響應(yīng)系統(tǒng)時(shí)域解曲線，可以看出限幅環(huán)節(jié)有利于減緩增廣系統(tǒng)解的發(fā)散，能夠降低估計(jì)結(jié)果的保守程度，提高估計(jì)精度。

圖3 勵(lì)磁限幅對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響Fig.3 Influence of excitation limitation on system response

此外考慮電壓調(diào)節(jié)器配置限幅環(huán)節(jié)，增廣系統(tǒng)解有界的充分條件表示為：

對(duì)比約束式（15）與式（21），可知前者解集是后者解集的一個(gè)子集。所以限幅環(huán)節(jié)的加入，在相同參數(shù)下能夠擴(kuò)大增廣系統(tǒng)的穩(wěn)定域范圍，一定程度上改善原系統(tǒng)穩(wěn)定性。

3 多機(jī)電力系統(tǒng)模型分析

在上述簡(jiǎn)單系統(tǒng)的電壓響應(yīng)特性分析中，混合單調(diào)分析方法揭示了電壓動(dòng)態(tài)模型的結(jié)構(gòu)特征，研究了不同控制環(huán)節(jié)或控制參數(shù)對(duì)電壓穩(wěn)定的影響。下面討論其在多機(jī)系統(tǒng)模型中的分析應(yīng)用。

3.1 簡(jiǎn)化的電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)模型

針對(duì)電壓?jiǎn)栴}，若系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)的功角和轉(zhuǎn)速波動(dòng)相對(duì)較小，文獻(xiàn)［18］提供了一種簡(jiǎn)化的多機(jī)電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)模型，并指出其中的混合單調(diào)性。通過(guò)將功角和轉(zhuǎn)速視作恒定值，基于Dommel-Sato迭代與矩陣冪級(jí)數(shù)方法，網(wǎng)絡(luò)方程得以獲得顯式解析解，即

進(jìn)而可將多機(jī)電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)學(xué)模型拆解成一個(gè)開環(huán)單調(diào)多輸入-多輸出系統(tǒng)和一條負(fù)反饋通路：

式中：EI為單位矩陣；K3=-EI-(Xd-X′d)KI為Metzler矩陣，其非對(duì)角元均非負(fù)。其余變量均為上文所提變量的多維向量，下同。

通過(guò)在反饋通路交換信息，可構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的增廣系統(tǒng)來(lái)快速獲取原多機(jī)系統(tǒng)的雙邊響應(yīng)估計(jì)，分析參數(shù)變動(dòng)或狀態(tài)量初值變動(dòng)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的影響，相關(guān)結(jié)果參考文獻(xiàn)［18］，此處不再贅述。

結(jié)合增廣系統(tǒng)解有界的充分條件，可深化電力系統(tǒng)電壓動(dòng)態(tài)特性研究。針對(duì)多機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定域估計(jì)，存在如下約束方程：

繼而推出關(guān)于KA的一個(gè)充分條件為：

在多機(jī)系統(tǒng)中，盡管|VG|具有關(guān)于E′q的顯式單調(diào)表達(dá)式，但這也是非線性映射，難以直接從式（26）求解出KA上界。但從式（26）可以看出，KA取值越大，該充分條件越難滿足。文獻(xiàn)［19］提出在短時(shí)間內(nèi)或不嚴(yán)重?cái)_動(dòng)下，對(duì)具有齊次特性的|VG|進(jìn)行一階泰勒展開以獲得線性關(guān)系式，實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算，這在一定程度上是可以借鑒的。

此外，式（25）仍是一個(gè)便利的檢測(cè)條件，只需要把初始時(shí)刻的值代入并使得該式成立，則說(shuō)明從該狀態(tài)點(diǎn)出發(fā)的解軌跡一定是有界穩(wěn)定的。

3.2 考慮轉(zhuǎn)子角變化的系統(tǒng)分析

在多機(jī)系統(tǒng)中，考慮發(fā)電機(jī)間轉(zhuǎn)子角度差變化的影響，需要加入搖擺方程完善數(shù)學(xué)模型：

式中：δ為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角；ω為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速；ωn為標(biāo)稱轉(zhuǎn)速常數(shù)；PT為機(jī)械功率；Pe為電磁功率；D為阻尼系數(shù)。

式（27）表征的系統(tǒng)在特定條件下也具有混合單調(diào)性，可通過(guò)對(duì)應(yīng)的增廣系統(tǒng)估計(jì)其動(dòng)態(tài)響應(yīng)。此時(shí)，增廣系統(tǒng)解存在以下關(guān)系：

式（28）右側(cè)不包含δ+與δ+，使得通過(guò)增廣系統(tǒng)獲得的轉(zhuǎn)子角上限值和下限值的差值在動(dòng)態(tài)過(guò)程中不會(huì)減小。因此，對(duì)應(yīng)的解有界充分條件也僅在平衡點(diǎn)滿足，其應(yīng)用與拓展分析大大受限。

從上述討論可以看到，開環(huán)單調(diào)系統(tǒng)雅可比矩陣的對(duì)角元為負(fù)，是滿足增廣系統(tǒng)解有界的充分條件的前提，有利于保持原系統(tǒng)抗擾動(dòng)能力。由E′q和Efd構(gòu)成的電壓子系統(tǒng)具有簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)特征與較好的穩(wěn)定性能；而由δ和ω構(gòu)成的功角子系統(tǒng)貼近耦合振子模型，可利用相應(yīng)數(shù)學(xué)成果進(jìn)行分析［20］。

4 算例分析

本章將在具體算例中應(yīng)用混合單調(diào)分解技術(shù)與增廣系統(tǒng)解軌跡特征，分析電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。

4.1 調(diào)節(jié)器時(shí)間常數(shù)的影響

圖2中，Efd的真實(shí)時(shí)域響應(yīng)存在反向峰值。這是由于勵(lì)磁系統(tǒng)的TA小，滿足快速調(diào)節(jié)要求。在2節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中令TA分別取1.0、0.5、0.1 s，其他參數(shù)和初值不變，Efd的時(shí)域響應(yīng)如圖4所示?？梢钥吹?，TA越小，峰值出現(xiàn)越快，幅度也越大；解曲線都是收斂的，且估計(jì)結(jié)果的保守程度隨著TA的減小有所改善。這是因?yàn)楦鶕?jù)約束式（15），收斂域的估算與TA取值無(wú)關(guān)，包含TA→0的極限情況。

圖4 不同TA取值下的Efd時(shí)域響應(yīng)Fig.4 Time-domain response of Efd with different values of TA

4.2 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渥兓蟮碾妷喉憫?yīng)

當(dāng)電網(wǎng)拓?fù)浒l(fā)生改變時(shí)，系統(tǒng)能否從變化前的穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡到新的穩(wěn)定狀態(tài)值得關(guān)注。此時(shí)基于平衡點(diǎn)線性化的小干擾分析手段失效，而混合單調(diào)系統(tǒng)理論能夠提供有效信息，揭示交流系統(tǒng)電壓動(dòng)態(tài)固有的魯棒性。

3機(jī)9節(jié) 點(diǎn) 系 統(tǒng)［21］的拓 撲 如 附 錄A圖A5所示，發(fā)電機(jī)配置比例型電壓調(diào)節(jié)器，令負(fù)荷A上的無(wú)功功率瞬時(shí)增加100 Mvar，系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷動(dòng)態(tài)調(diào)整過(guò)程。由于發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角和轉(zhuǎn)速變化很小，使用3.1節(jié)所述的簡(jiǎn)化模型來(lái)分析電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況。對(duì)應(yīng)

新的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，?jì)算得到以下系數(shù)矩陣。

第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓幅值函數(shù)為：

式中：ci，mn=KX，im KX，in+KY，im KY，in；KX，im和KY，im分別對(duì)應(yīng)KG第i行第m列元素的實(shí)部和虛部；ng為發(fā)電機(jī)總數(shù)；E′q，m和E′q，n分別為向量E′q中第m個(gè)和第n個(gè)元素。

根據(jù)式（29），可確定任意ci，mn＞0，因此機(jī)端電壓幅值函數(shù)具有單調(diào)性；同時(shí)式（30）表明K3是Metzler矩陣。綜合以上數(shù)值信息，確定式（24）所描述系統(tǒng)的雅可比矩陣存在如下所示的符號(hào)特性，進(jìn)而說(shuō)明電壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程具有混合單調(diào)特性。

式中：sgn(·)為符號(hào)函數(shù)；符號(hào)+、-、0分別表示對(duì)應(yīng)位置元素的偏導(dǎo)值非負(fù)、非正、為零。

在50機(jī)145節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)［22］中，令母線120上的無(wú)功負(fù)荷增加500 Mvar。取故障后某一時(shí)刻的雅可比矩陣數(shù)值結(jié)果如圖5所示，其中正元素用紅色方塊表示，負(fù)元素用藍(lán)色方塊表示，零元素用白色用方塊表示?？梢?，系統(tǒng)雅可比矩陣呈現(xiàn)出顯著的符號(hào)特征與分塊結(jié)構(gòu)特征，并且這樣的特征在故障后保持不變。

圖5 50機(jī)145節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)雅可比矩陣示意圖Fig.5 Schematic diagram of Jacobian matrix in 50-machine 145-bus system

通過(guò)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的增廣系統(tǒng)，可以估計(jì)Efd、E′q以及|VG|在包含不確定性下的響應(yīng)，以及分析系統(tǒng)電壓動(dòng)態(tài)收斂情況。在3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，令KA=1，TA=0.1 s，對(duì)應(yīng)新的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，找到一組頂點(diǎn)值滿足增廣系統(tǒng)解有界的充分條件，即

已知負(fù)荷增大之前的系統(tǒng)狀態(tài)為：

式（34）表示的狀態(tài)值位于式（33）頂點(diǎn)所刻畫的區(qū)間內(nèi)，根據(jù)增廣系統(tǒng)解有界的充分條件及結(jié)果，可知3機(jī)系統(tǒng)在經(jīng)歷節(jié)點(diǎn)5負(fù)荷增加100 Mvar事件之后，能從原平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至新平衡點(diǎn)。以第2臺(tái)發(fā)電機(jī)為例，其具體響應(yīng)如圖6所示。圖中虛線表示雙邊包絡(luò)解，實(shí)線表示原系統(tǒng)解。

圖6 第2臺(tái)發(fā)電機(jī)響應(yīng)曲線Fig.6 Response curves of the 2nd generator

圖6中增廣系統(tǒng)提供的雙邊包絡(luò)解隨時(shí)間逐漸靠攏，提供原系統(tǒng)的穩(wěn)定域信息。這不僅能用于分析加載、切載、擾動(dòng)后的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡與輸出響應(yīng)分布情況，還可用來(lái)研究不確定性的影響。

5 結(jié)語(yǔ)

當(dāng)系統(tǒng)調(diào)整引起的功角差變化不大時(shí)，電網(wǎng)的電壓動(dòng)態(tài)可用一個(gè)降階模型描述，其具有清晰的結(jié)構(gòu)特征與混合單調(diào)性質(zhì)。借助開環(huán)單調(diào)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與負(fù)反饋通路來(lái)分解-重構(gòu)數(shù)學(xué)模型，可快速構(gòu)造對(duì)應(yīng)的增廣單調(diào)系統(tǒng)，從其提供的雙邊估計(jì)獲取原系統(tǒng)的響應(yīng)特征。結(jié)合增廣系統(tǒng)解有界的充分條件，獲得一個(gè)粗略的穩(wěn)定域用于電壓穩(wěn)定分析。

本文提供了一個(gè)新的思路來(lái)理解電力系統(tǒng)狀態(tài)演變規(guī)律，基于符號(hào)特征來(lái)分析各部分的作用，對(duì)于揭示交流系統(tǒng)電壓穩(wěn)定機(jī)理、掌握電壓動(dòng)態(tài)固有的魯棒行為具有重要意義。此外，電壓動(dòng)態(tài)系統(tǒng)還可視作由兩個(gè)單調(diào)子系統(tǒng)的負(fù)反饋連接，繼續(xù)分析不變集中漸近穩(wěn)定點(diǎn)的存在性，相關(guān)論證正在進(jìn)行，將于后續(xù)文章進(jìn)行介紹。

目前的研究結(jié)果尚處于起步階段，后續(xù)研究將考慮功角變化的因素，從功角-電壓子系統(tǒng)交互的視角觀察電網(wǎng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征，進(jìn)一步揭示交流系統(tǒng)功角-電壓穩(wěn)定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。同時(shí)，關(guān)注非線性不等式方程組可行域的連通問題與對(duì)應(yīng)的微分方程組解的存在性問題，完善數(shù)學(xué)層面上的分析。

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