高紅斌， 貢毅超， 霍小華

(1．山西大學 自動化與軟件學院，太原 030013； 2．中國電子科技集團公司第三十三研究所，太原 030032)

振動是旋轉機械中非常普遍的一種運動現象，也是導致設備發(fā)生故障的主要原因之一[1]。因多級離心泵能頭大、易調節(jié)、高效工作區(qū)寬，常被作為動力設備廣泛應用于電廠給水、熱力循環(huán)水和生活供水等場合。葉輪轉子系統(tǒng)作為離心泵最核心的工作部件，工作時直接與液體相互作用，無論是否在工況運行都會產生多種振動[2-3]。這些振動不僅可能會造成故障，還可能導致嚴重的安全事故[4-5]，若在臨界轉速附近運行將可能產生更大的危害[6]。因此，眾多學者對離心泵的模態(tài)特征特別是臨界轉速(固有頻率)進行了研究。在目前眾多的理論分析中，采用最多的是解析法[7]和三維模擬仿真法[8]，解析法簡便快捷但是計算所得固有頻率的誤差比三維模擬仿真計算所得結果的誤差大，三維模擬仿真所得結果誤差很小但需要內存很大的計算機才能完成[9]。因此，提高解析法的求解精度值得研究。

質量偏心和不平衡造成的轉子系統(tǒng)徑向振動受到國內外學者的重視[10-11]。離心泵在制造中及工作中的磨損和汽蝕等都會使葉輪產生質量偏心[12-13]，而目前有關葉輪質量偏心對模態(tài)影響方面的研究較少。筆者以四級離心泵轉子系統(tǒng)為例，在常用的簡化集中質量解析法的基礎上尋求優(yōu)化計算方法，以提高解析法結果的精度，并以新的計算方法為基礎分析葉輪質量偏心對多級離心泵模態(tài)的影響，從而為多級離心泵的結構設計、故障診斷及運行調節(jié)提供理論依據。

1 數學模型

由牛頓經典力學可知，對于任一系統(tǒng)或者物體，其廣義動力學方程可表示為：

(1)

式中：M為質量矩陣；C為黏性阻尼矩陣；A為柔度矩陣；x為位移向量；τ為時間；F為外部激勵。

圖1為某典型懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)結構圖，其安裝方式見圖2。泵軸通過軸承被支撐在懸臂架上，就像一根懸臂梁，設外伸部分軸的長度為l。4個葉輪被等間距地固定在泵軸懸臂側一端，葉輪4與右側懸臂架之間為軸端填料密封裝置，設其軸向距離為s，則2個葉輪之間的軸向距離b為:

圖1 懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)Fig.1 Rotor system of cantilever four-stage centrifugal pump

圖2 懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)安裝方式Fig.2 Installation mode of cantilever four-stagecentrifugal pump rotor system

(2)

由梁的彎曲變形理論可知，葉輪1在葉輪1、葉輪2、葉輪3和葉輪4處的柔度影響系數分別為：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：E為泵軸彈性模量；I為泵軸慣性矩。

葉輪2在葉輪1、葉輪2、葉輪3和葉輪4處的柔度影響系數分別為：

(7)

(8)

(9)

(10)

葉輪3在葉輪1、葉輪2、葉輪3和葉輪4處的柔度影響系數分別為：

(11)

(12)

(13)

(14)

葉輪4在葉輪1、葉輪2、葉輪3和葉輪4處的柔度影響系數分別為：

(15)

(16)

(17)

(18)

由于懸臂架對泵軸有較好的軸向定位作用，軸向上泵軸右端通過聯軸器與電機實現緊連接，同時忽略扭轉振動和陀螺力矩的影響，因此只考慮轉子系統(tǒng)的彎曲振動。由圖2可以看出，葉輪比軸的徑向尺寸大得多、軸向尺寸小得多，因此適合采用集中質量解析法來分析其動力學特性。設葉輪1～葉輪4的質量分別為m1、m2、m3和m4，黏性阻尼系數為c，則由式(1)～式(18)可以得到研究中常用的簡化集中質量解析法[14]的懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)在彎曲方向上的拉格朗日動力學方程，其中：

(19)

(20)

(21)

(22)

由式(19)和式(21)可得到集中質量解析法的懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)的特征方程為：

(23)

式中：ωn為四級離心泵轉子系統(tǒng)的固有圓角頻率。

式(21)所示的柔度矩陣為非對稱的正定矩陣，且其秩為4，即為滿秩矩陣，因此該矩陣不僅具有4個特征值，而且其特征值均為正的實根。采用式(23)對圖1中懸臂式四級離心泵的模態(tài)進行計算，其中轉子系統(tǒng)的參數見表1。表1中，m為每個葉輪質量；l、s表示的尺寸見圖2；d為懸臂外伸部分泵軸直徑；ρ、μ分別為系統(tǒng)材料的密度和泊松比。

表1 轉子系統(tǒng)參數

由此可以求得該四級離心泵在彎曲方向的固有頻率，結果如表2所示。

表2 解析法求得的固有頻率

該泵的額定轉速為1 470 r/min(24.5 Hz)，而工程中轉速可調的多級離心泵的轉速范圍一般不超過6 000 r/min(100 Hz)?？梢?，在同步轉速為1 500 r/min的三相電機拖動下，該泵干態(tài)運行不會產生共振，而在同步轉速為6 000 r/min時該泵干態(tài)運行可能會發(fā)生2次共振。

將所得第四階固有頻率及該泵的結構和質量等相關參數代入如下特征方程式：

(24)

可以得到該四級離心泵轉子系統(tǒng)的振型矩陣為：

r=[r1r2r3r4]=

(25)

式中：r1、r2、r3、r4分別為各階振型向量解。

各階振型如圖3所示。由圖3可知，在前三階固有頻率下葉輪1的變形量最大，4個葉輪的變形方向一致，但其他3個葉輪的相對變形程度有較大差異。在第四階固有頻率下4個葉輪中心的相對徑向變形最嚴重，葉輪1與葉輪2、葉輪3和葉輪4的變形方向相反，且變形量最大的是葉輪3，可見在第四階固有頻率下工作對整個軸系的破壞性最大。

2 三維模擬仿真

研究[9,15]表明對于附有集中質量塊的懸臂梁結構，由ANSYS workbench求得的梁系統(tǒng)的縱向各階固有頻率與實驗結果基本吻合。將固定于泵軸的葉輪視為集中質量，泵軸又被固定安裝于懸臂架上，因此符合附有集中質量塊的懸臂梁的特征，故采用ANSYS workbench對圖1中懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)進行模態(tài)分析，并作為理想結果與前面建立的數學模型的計算結果進行比較。根據表1中該懸臂式四級離心泵參數設置好材料屬性，對其劃分網格得到有限元分析模型，再按照圖2所示轉子系統(tǒng)的安裝方式對泵軸中與兩軸承接觸處施加徑向固定約束。利用ANSYS workbench求出該泵的前4階固有頻率分別為38.9 Hz、39.4 Hz、126.1 Hz和247.9 Hz，相應的模態(tài)結果如圖4所示。

(b) 第二階振型

(d) 第四階振型圖3 各階振型圖Fig.3 Patterns for each order

由圖4(a)～圖4(c)可以明顯看出，在前三階固有頻率時，整個泵軸中葉輪1處的變形量最大、葉輪2處的變形量次之、葉輪4處的變形量最小。前兩階固有頻率比較接近，第一階固有頻率下與第二階固有頻率下轉子系統(tǒng)的模態(tài)分布特征很相近；每個葉輪在第一階固有頻率下與在第二階固有頻率下的模態(tài)分布特征也相似。第三階固有頻率下4個葉輪中心區(qū)域的應變差異減小，第四階固有頻率下軸系發(fā)生了嚴重彎曲。這些特征與前面的數學模型求解結果一致。

(a) 第一階振型

(c) 第三階振型

(c) 三階模態(tài)

(a) 一階模態(tài)

(c) 三階模態(tài)

(a) 一階模態(tài)

3 優(yōu)化的數學模型

從前述分析可知，如果數學模型與三維模擬仿真得到的固有頻率一致，則2種方法計算得到的振型及模態(tài)分布特征也會相同。因此，提高固有頻率的計算精度是提高懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)模態(tài)分析準確性的基礎。將數學模型與三維模擬仿真所得前四階固有頻率進行比較，結果見表3，其中誤差1表示三維模擬仿真結果與前述解析法所得數值計算結果的誤差。

(b) 二階模態(tài)

(d) 四階模態(tài)圖4 四級離心泵轉子系統(tǒng)ANSYS分析結果Fig.4 Analysis results of four-stage centrifugal pumprotor system by ANSYS

表3 數值計算結果與三維模擬仿真結果Tab.3 Numerical calculation results and 3D simulation results

由表3可以看出，由前面所建立的懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)模態(tài)方程所求得的一階和二階固有頻率誤差較小，但是隨著階數的增大，誤差越來越大，四階固有頻率的誤差達到11.82%(相當于相差1 758 r/min)。同時，由數學解析得到的各階固有頻率均小于三維模擬仿真結果，說明集中質量解析法所得的結果小于連續(xù)體法計算所得結果。以上分析方法使用的材料參數相同、建模使用的尺寸數據也相同，然而其結果卻出現了差異，數學計算結果是根據式(23)計算得出的，主要原因如下：(1) 式(23)將原本連續(xù)的泵軸轉子系統(tǒng)人為分割為4個質量集中部分；(2) 矩陣中質量僅考慮了葉輪質量，沒有考慮軸系的質量；(3) 矩陣中抗彎剛度僅考慮了軸系截面的慣性矩而沒有考慮葉輪慣性矩的影響。研究表明[16]，質量被集中的個數越多，所得固有頻率與實際越接近，因此筆者研究泵軸質量和葉輪抗彎剛度對懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)固有頻率的影響，并以此為基礎分析葉輪質量偏心對該轉子系統(tǒng)固有頻率的影響。

由于懸臂梁被固定部分的變形量遠小于外伸部分，因此為了提高計算精確性，在質量矩陣中僅計入泵軸在懸臂架外(左側)的質量。如圖2所示，將2個葉輪之間的軸質量平均折算至每個葉輪，即4個葉輪處軸段的質量等效為：

(26)

(27)

(28)

(29)

葉輪通過鍵與軸過盈相連，這相當于泵軸中串聯了4個葉輪，葉輪的存在必然影響整個泵軸的變形。因此，轉子系統(tǒng)的抗彎剛度EI應該由泵軸的抗彎剛度EsIs和葉輪的抗彎剛度EiIi組成：

EI=EsIs+EiIi

(30)

由材料力學知識可知，在推導彎曲應力和彎曲變形時，將與梁的長度尺寸有關的參數放置于分子中，而將與截面和材料有關的參數放置于分母中，且在集中力下等截面梁的彎曲應力和彎曲變形與梁的長度成正比。模態(tài)分析涉及彎曲應力和彎曲變形，屬于廣義材料力學的研究范疇，因此在式(30)中必須考慮葉輪軸向尺寸。在葉輪的任一軸面中，葉片的截面積遠小于前后蓋板的截面積，因此僅考慮蓋板造成的抗彎剛度對轉子系統(tǒng)模態(tài)的影響。設蓋板的厚度為t、葉輪外徑為D、集中質量段軸向尺寸為T，則根據串聯軸剛度的計算方法，式(30)可以表示為：

(31)

即，

(32)

將式(27)～式(29)和式(32)代入式(23)可以得到懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)優(yōu)化后的數學模型特征方程為：

(33)

其中:

將前述相關參數代入式(33)得到各集中質量處模態(tài)剛度修正系數κ1=1.052 6、κ2=1.025 6、κ3=1.025 6、κ4=1.008 1和優(yōu)化后的固有頻率解析計算結果，如表3所示，其中誤差2表示三維模擬仿真與式(33)求解所得固有頻率的誤差。由四處的模態(tài)剛度修正系數值可以看出，葉輪1對轉子系統(tǒng)剛度的影響最大、葉輪4對轉子系統(tǒng)剛度的影響最小。由表3可以看出，優(yōu)化后同樣隨著階數的增大，解析計算的誤差也增大，但每階固有頻率的誤差已經由優(yōu)化前的1.28%、2.03%、8.64%和11.82%分別下降至0.77%、1.02%、3.41%和4.52%，特別是高階固有頻率的精確性有了非常顯著的提高。綜上，系統(tǒng)質量減小必然慣性減小，使得反應速度變快即固有頻率增大，系統(tǒng)剛度減小必然彈性勢能減小，使得反應速度變慢即固有頻率減小，由式(23)求得的各階固有頻率均小于三維模擬仿真結果，說明對轉子系統(tǒng)葉輪剛度的簡化是造成計算結果誤差的主要因素，而由本文提出的優(yōu)化方法可以大大提高解析法的準確性。

4 葉輪質量偏心對模態(tài)的影響

采用前述優(yōu)化的數學模型分析葉輪質量偏心對轉子系統(tǒng)模態(tài)的影響，并與三維模擬仿真結果進行比較。在圖4中若某葉輪后蓋板z軸上距離軸心e處出現一半徑為r的圓形質量缺損，造成了葉輪質量的偏心，則偏心的質量Δms=ρπr2t，缺失質量在該方向的慣性矩ΔIm為：

(34)

將式(34)代入式(32)，得到此時模態(tài)剛度修正系數κ的表達式為：

(35)

如同式(33)，將式(35)、式(32)、缺失質量的葉輪質量代入式(23)可以得到葉輪質量偏心時懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)優(yōu)化的特征方程，從而得到各階固有頻率及相應的振型。下面分析該四級離心泵的每個葉輪后蓋板e=60 mm處出現r=30 mm的質量偏心時對四級離心泵模態(tài)產生的影響。

首先采用三維模擬仿真軟件對葉輪1發(fā)生質量偏心時該轉子系統(tǒng)的模態(tài)進行分析，得到其前四階固有頻率分別為39.8 Hz、40.3 Hz、129.9 Hz和252.7 Hz，相應的模態(tài)結果如圖5所示。

采用上述葉輪質量偏心時的優(yōu)化數學模型計算出葉輪1發(fā)生質量偏心時該轉子系統(tǒng)的前四階固有頻率分別為39.4 Hz、39.7 Hz、124.8 Hz和240.4 Hz，將其與三維模擬仿真結果進行比較，如表4所示。

(b) 二階模態(tài)

(d) 四階模態(tài)圖5 葉輪1質量偏心時ANSYS分析結果Fig.5 Analysis results of mass eccentricity of impeller 1 by ANSYS

由表4可知，由優(yōu)化后的數學模型求得的葉輪1質量偏心時轉子系統(tǒng)的固有頻率與三維模擬仿真得到的固有頻率的誤差隨著階數的增大而增大，但四階固有頻率的誤差也小于5%。同時，表4中葉輪1質量偏心時2種結果的4個誤差1.01%、1.45%、3.93%、4.87%均大于表3中無質量偏心時2種結果的4個誤差0.77%、1.02%、3.41%和4.52%，可見利用本文優(yōu)化的數學模型求解葉輪1質量偏心時懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)所得模態(tài)結果比求解無質量偏心時誤差略大、精確性略低。

同上，采用三維模擬仿真分別對葉輪2、葉輪3和葉輪4發(fā)生質量偏心時該四級離心泵轉子系統(tǒng)的模態(tài)進行分析，采用上述葉輪質量偏心時的優(yōu)化數學模型再分別計算出葉輪2、葉輪3和葉輪4發(fā)生質量偏心時該轉子系統(tǒng)的前四階固有頻率，將三維模擬仿真和數值計算結果得到的各階固有頻率進行比較，如表4所示。由于本節(jié)主要分析葉輪質量偏心對固有頻率變化的影響，這三級葉輪質量偏心時的三維仿真云圖未給出。

由表4可知，當葉輪1產生質量偏心時各階固有頻率的值最大，葉輪2產生質量偏心時各階固有頻率的值次之，葉輪4產生質量偏心時各階固有頻率的值最小，即隨著產生質量偏心的葉輪位置遠離懸臂處(即越靠近葉輪1)，整個轉子系統(tǒng)的固有頻率越大；由本文優(yōu)化的數學模型求得的各級葉輪質量偏心時轉子系統(tǒng)的固有頻率與三維模擬仿真結果的誤差隨著階數的增大而增大，但最高階固有頻率的誤差亦小于5%，完全可以滿足工程需要，因此本文優(yōu)化的數學模型具有較高的精度。同時，由表4和表3可知，由本文優(yōu)化的數學模型求解葉輪質量偏心時比求解葉輪無質量偏心時懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)固有頻率的誤差大，葉輪發(fā)生質量偏心時各階固有頻率的值均略有增大。

表4 葉輪質量偏心時優(yōu)化數學模型與三維模擬仿真得到的固有頻率

5 結 論

(1) 分析了懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)的質量負載、阻尼特性和柔度影響系數的計算方法，建立了簡化的集中質量動力學數學模型和融合軸系質量及模態(tài)剛度修正系數的優(yōu)化數學模型，得到2種模型下轉子系統(tǒng)固有頻率的求解方法。

(2) 集中質量解析法得到的離心泵轉子系統(tǒng)的固有頻率略小于三維模擬仿真結果。

(3) 由本文優(yōu)化后的數學模型求得的四階固有頻率的誤差由優(yōu)化前的1.28%、2.03%、8.64%和11.82%分別下降至0.77%、1.02%、3.41%和4.52%，對轉子系統(tǒng)中葉輪剛度的簡化是造成計算結果誤差的主要因素。

(4) 葉輪發(fā)生質量偏心時各階固有頻率的值均略有增大，產生質量偏心的葉輪位置越靠近吸入室側，對轉子系統(tǒng)固有頻率的影響越大。

(5) 由本文優(yōu)化的數學模型求解葉輪質量偏心時比求解葉輪無質量偏心時懸臂式四級離心泵轉子系統(tǒng)固有頻率的誤差大，但最大誤差在5%內，完全可以滿足工程需要。