孫明成，李英治

(1.遼寧省電力有限公司 電力科學(xué)研究院，沈陽(yáng) 110006；2.遼寧東科電力有限公司，沈陽(yáng) 110179；3.挪威船級(jí)社,荷蘭阿納姆 6812)

0 引言

材料力學(xué)性能的獲取通常需要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)試樣進(jìn)行測(cè)試，并對(duì)試樣的尺寸和數(shù)量有一定的要求。然而，在對(duì)成品設(shè)備進(jìn)行材料力學(xué)性能測(cè)試時(shí)，一般不能進(jìn)行破壞取樣[1-2]。儀器化壓入法是在傳統(tǒng)的布氏硬度和維氏硬度試驗(yàn)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的新的材料力學(xué)性能測(cè)試技術(shù)[3-4]。該方法通過(guò)同步測(cè)試和記錄壓頭壓入試樣過(guò)程中的載荷-位移曲線，提供比傳統(tǒng)硬度試驗(yàn)更豐富的信息，除硬度外，還可以獲得材料其他的基本力學(xué)性能，如彈性模量、屈服強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度等。壓入法的優(yōu)點(diǎn)包括：設(shè)備小巧便攜，能直接在現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行力學(xué)性能測(cè)試；不需要進(jìn)行破壞取樣，能對(duì)在役設(shè)備進(jìn)行測(cè)試；測(cè)試部位微小，可以用于材料局部特性的測(cè)定。目前，該方法已應(yīng)用于許多工程場(chǎng)合中，例如對(duì)石油管道、核反應(yīng)堆壓力容器、電站設(shè)備等的安全評(píng)定。

目前已經(jīng)發(fā)展了幾種確定力學(xué)性能的分析方法，其中最受關(guān)注的是表征應(yīng)力應(yīng)變法、量綱分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和有限元法。ISO/TR 29381—2008標(biāo)準(zhǔn)總結(jié)了過(guò)去20年的成就，介紹了由球壓痕試驗(yàn)確定材料力學(xué)性能的3種分析方法：表征應(yīng)力應(yīng)變法、有限元法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法已被廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、人工智能、控制工程、優(yōu)化和信號(hào)處理等領(lǐng)域，還被用于處理壓痕蠕變問(wèn)題[5-10]。該方法同樣可以適用于處理球壓痕曲線來(lái)獲得奧氏體不銹鋼的屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度、彈性模量和布氏硬度等力學(xué)性能，以下在此方面進(jìn)行有關(guān)探索。

1 奧氏體不銹鋼的特性及經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

1.1 Hollomon模型

加工硬化曲線顯示出金屬材料在一定的組織和變形條件下，宏觀應(yīng)力隨應(yīng)變的變化規(guī)律。一般通過(guò)單軸拉伸試驗(yàn)進(jìn)行測(cè)量，并用數(shù)學(xué)模型來(lái)表征。當(dāng)塑性變形足夠大時(shí)，采用Hollomon提出的經(jīng)驗(yàn)公式σ=Kεn(其中σ為真應(yīng)力，K為應(yīng)變硬化常數(shù)，ε為真應(yīng)變，n為應(yīng)變硬化指數(shù))。

Hollomon模型能夠描述常見(jiàn)工程材料的加工硬化行為。在雙對(duì)數(shù)圖上繪制應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)，并在較高應(yīng)變水平下，用擬合線來(lái)評(píng)估這些參數(shù)。由直線的斜率給出n值，ε=1處的截距給出K值。在理想情況下，這兩個(gè)參數(shù)應(yīng)完全描述真應(yīng)力-應(yīng)變曲線的形狀。K值表示材料的強(qiáng)度水平和成形過(guò)程中所需的力大小，而n值與真應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率相關(guān)，表征材料延緩變形局部化能力。

然而，許多材料在低應(yīng)變下并不嚴(yán)格遵循Holloman模型[11]。在低碳鋼、鋯合金、銅和316不銹鋼中曾報(bào)道過(guò)雙n行為。304不銹鋼的單軸拉伸曲線如圖1所示。在低應(yīng)變階段，304不銹鋼在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的加工硬化曲線具有明顯的上翹行為，如圖2所示，許多材料也表現(xiàn)出類似的行為。

圖1 304不銹鋼的單軸拉伸曲線Fig.1 Uniaxial tensile curve of 304 stainless steel

圖2 304不銹鋼在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.2 Stress-strain curve of 304 stainless steel in the double logarithmic coordinate system

1.2 Ludwik模型

Hollomon模型未能很好地模擬奧氏體不銹鋼的特性，因此人們提出了另外幾種描述該類鋼性能的模型[12-13]。

Ludwigson提出了修正的關(guān)系式，解釋了低應(yīng)變下的偏差是低層錯(cuò)能材料的特征，這是由于低應(yīng)變下的平面滑移和高應(yīng)變下的交叉滑移不同造成的。

Ludwigson模型方程：

σ=Kεn+exp(K1+n1ε)

(1)

Ludwik則用另一種方程模型來(lái)描述應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)[14]：

σ=σy+Kεn

(2)

這些經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ湍軌蛎枋鰥W氏體不銹鋼材料雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的上翹行為。本文選擇Ludwik模型，該模型能模擬奧氏體不銹鋼的單軸應(yīng)力-應(yīng)變曲線，而且僅需3個(gè)參數(shù)；而Ludwigson模型需要4個(gè)參數(shù)，這使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)庫(kù)變得更為復(fù)雜。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法求解球形壓痕曲線

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法基于Ludwik模型進(jìn)行有限元仿真，建立數(shù)據(jù)庫(kù)。用隨機(jī)選擇的一對(duì)材料參數(shù)輸入和壓痕曲線輸出向量對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。通過(guò)訓(xùn)練過(guò)程，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習(xí)輸入和輸出數(shù)據(jù)之間的近似關(guān)系，然后通過(guò)優(yōu)化程序找到材料參數(shù)，使試驗(yàn)觀測(cè)值與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬預(yù)測(cè)值之間的誤差最小。這種方法的最大優(yōu)點(diǎn)是不再需要有限元模擬，因?yàn)樗械闹R(shí)信息都包含在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，也包括了材料在壓入過(guò)程中的凸起/凹陷效應(yīng)[15]。與有限元的逆向求解相似，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逆向求解也不可避免地遇到了唯一性的問(wèn)題。由于錐形壓頭的自相似性，應(yīng)變與壓痕深度無(wú)關(guān)，所以錐形壓痕的逆向求解不存在唯一性。進(jìn)一步研究表明，為了確保唯一性，需要采用不同錐角的兩次壓痕確定材料參數(shù)。采用球形壓頭避免了錐形壓頭的自相似性，壓入過(guò)程中接觸半徑非線性變化，從而改善了逆向求解的唯一性和敏感性。本文采用球形壓頭建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；此外，在優(yōu)化求解中，采用Matlab工具箱中全局最優(yōu)化的算法，采用40個(gè)不同的初值點(diǎn)搜索全局最優(yōu)解。

2.1 有限元模型

為了建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)庫(kù)，采用有限元軟件進(jìn)行仿真計(jì)算。在本文的有限元模擬中采用了二維軸對(duì)稱8節(jié)點(diǎn)單元183，有中間節(jié)點(diǎn)。單元數(shù)量為1 540個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為4 592個(gè)。球型壓頭和試驗(yàn)材料之間使用剛性接觸單元。在壓頭和試驗(yàn)材料接觸區(qū)域采用加密網(wǎng)格。最小單元尺寸為0.002 5 mm。為了檢查有限元模型的正確性，使用了4種網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算并比較所得結(jié)果的誤差。這些網(wǎng)格的最小單元尺寸分別為0.005,0.003 3,0.002 5,0.002 mm。計(jì)算的前提條件是材料的屈服強(qiáng)度為300 MPa，冪硬化指數(shù)為0.5，彈性模量為1.9×105MPa,壓痕深度為150 μm。計(jì)算結(jié)果表明，相應(yīng)的最大載荷分別為466.81，465.17，463.02,461.73 N。從最小單元尺寸0.002 5 mm加密到最小單元尺寸0.002 mm，最大載荷相差僅為0.28%。因此確認(rèn)最小單元尺寸為0.002 5 mm的網(wǎng)格劃分比較合適。在確定有限元網(wǎng)格的正確性之后，進(jìn)行神經(jīng)元數(shù)據(jù)庫(kù)的建立和分析計(jì)算，并將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法測(cè)試結(jié)果與單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，兩者吻合較好。

摩擦系數(shù)與壓頭材料有關(guān)。金剛石壓頭摩擦系數(shù)在0.1～0.15之間，碳化鎢壓頭的摩擦系數(shù)在0.4～0.6之間。采用了6種不同的摩擦系數(shù)計(jì)算最大的載荷值。摩擦系數(shù)為0.15～0.45，所得的最大載荷值在450.83～463.92 N之間，相差不到2.8%。在本次的模擬中，摩擦系數(shù)采用了制造商給出的碳化鎢壓頭摩擦系數(shù)的數(shù)值0.35。網(wǎng)格劃分如圖3所示。

圖3 有限元模擬的網(wǎng)格劃分Fig.3 Mesh division in the finite element simulation

2.2 數(shù)據(jù)庫(kù)結(jié)構(gòu)

多循環(huán)壓痕曲線是指加載到一定深度，部分卸載，然后繼續(xù)加載到更大的深度，再部分卸載，如此不斷重復(fù)直至得到所需要的多循環(huán)壓痕曲線。在數(shù)據(jù)庫(kù)中，共有11種不同類型的多循環(huán)曲線，可以用來(lái)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。這些曲線的最大深度從80～180 μm，加載過(guò)程中，深度以10 μm的間隔均勻增加，在卸載過(guò)程中，深度以5 μm的間隔減少(見(jiàn)圖4)。

圖4 數(shù)據(jù)庫(kù)中304不銹鋼多循環(huán)壓痕曲線Fig.4 Multi-cycle indentation curve of 304 stainless steel in the database

使用不同材料參數(shù)建立有限元分析數(shù)據(jù)庫(kù)。對(duì)于一個(gè)給定的材料參數(shù)pi，需要模擬得到載荷-位移曲線F(u,pi)和殘余壓痕直徑，此外還需要包括壓入過(guò)程中的凸起/凹陷的影響。相關(guān)的數(shù)據(jù)被儲(chǔ)存到數(shù)據(jù)庫(kù)中，用來(lái)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。數(shù)據(jù)庫(kù)結(jié)構(gòu)如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)庫(kù)的結(jié)構(gòu)Tab.1 Structure of database

注：u1,…,um為m個(gè)離散深度值，pi,…,pn為n個(gè)材料參數(shù)的集合;表中的每一行表示一個(gè)訓(xùn)練模式，F(xiàn)(u,pi)是相應(yīng)模式的載荷。

采用以下公式對(duì)壓痕深度、載荷和材料參數(shù)歸一化處理。

(3)

(4)

(5)

式中，L為下限值；U為上限值；in為輸入數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化；out為輸出數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化。

對(duì)于深度u,力F,輸入in和輸出out的上限和下限值見(jiàn)表2。

表2 深度u,力F,輸入in和輸出out的上限和下限值Tab.2 Lower bound and upper bound for u,F,in and out

2.3 創(chuàng)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

在Matlab中，圖5示出一個(gè)具有S個(gè)神經(jīng)元和R個(gè)輸入?yún)?shù)的典型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層。其中P是維數(shù)為R×1的輸入(或參數(shù))矩陣，W是維數(shù)為S×R的權(quán)重矩陣，b是維數(shù)為S×1的偏差矩陣。偏差b與向量積W×P之和為n，傳遞給傳遞函數(shù)f得到神經(jīng)元的輸出a，即維數(shù)為S×1的輸出矩陣(或目標(biāo)矩陣)。

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)創(chuàng)建Fig.5 Establishment of neural network

a=f(W×P+b)

(6)

Matlab提供了newff函數(shù)來(lái)創(chuàng)建反向傳播網(wǎng)絡(luò)。例如，用P作為參數(shù)矩陣，T作為目標(biāo)矩陣，創(chuàng)建一個(gè)由20個(gè)神經(jīng)元組成的單層網(wǎng)絡(luò)：

net=newff(P,T,20)

(7)

為了處理多循環(huán)壓痕曲線，需要將整個(gè)曲線分為兩部分，即加載部分和卸載部分。此外，為了確定表征應(yīng)力應(yīng)變和布氏硬度，還需要接觸深度和接觸半徑的信息。因此，創(chuàng)建了3個(gè)網(wǎng)絡(luò)net0,net1和net2。

net0=newff(P0,T0,20)

(8)

net1=newff(P1,T1,20)

(9)

net2=newff(P2,T2,20)

(10)

式中,參數(shù)矩陣P0,P1為輸入矩陣。在表1中，歸一化u表示加載部分的位移P0和卸載部分的位移P1；pi表示材料參數(shù)(σy,n,K)；目標(biāo)矩陣T0和T1是輸出，歸一化F(u,pi)表示加載部分載荷T0和卸載部分的載荷T1。

參數(shù)矩陣P2也為輸入矩陣。由于殘余半徑僅和每次卸載相關(guān)，歸一化的u代表卸載開(kāi)始點(diǎn)的深度。目標(biāo)矩陣T2是歸一化接觸半徑a(u,pi)的輸出：

(11)

其中，aL=0,aU=R(R為壓痕半徑)。

2.4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練

與生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也需要通過(guò)訓(xùn)練獲得智能。實(shí)際上，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程的目的是調(diào)整式(4)中的權(quán)重矩陣W和偏差矩陣b[16]。在Matlab中，利用Levenberg-Marquardt算法(函數(shù)lmtrain)實(shí)現(xiàn)了調(diào)整權(quán)重矩陣W和偏差矩陣b的求解。具體是將訓(xùn)練樣本分成3部分，60%用于確定W矩陣和b矩陣；20%用于測(cè)試其準(zhǔn)確性;20%用于驗(yàn)證有效性。用參數(shù)矩陣P和目標(biāo)矩陣T訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的語(yǔ)法，以及訓(xùn)練樣本的劃分，可以表示如下：

[neti,tr]=train(neti,Pi,Ti)

(12)

net.divideParam.trainRatio=60%

net.divideParam.testRatio=20%

net.divideParam.valRatio=20%

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練相當(dāng)耗時(shí)，因此編寫了Matlab函數(shù)，預(yù)先訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，并將結(jié)果存儲(chǔ)在Matlab.m文件中。當(dāng)調(diào)用Matlab函數(shù)sim進(jìn)行仿真時(shí)，讀取Matlab.m文件，提供訓(xùn)練后的數(shù)據(jù)。

2.5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后具有智能性，可以用于仿真模擬。Matlab仿真模擬函數(shù)為sim，公式為：

outputi=sim(neti,inputi)

(13)

2.6 材料參數(shù)識(shí)別及流程圖

材料參數(shù)的識(shí)別過(guò)程與有限元逆向方法類似。不同之處在于，輸出載荷-位移曲線和殘余接觸半徑是通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬而不是通過(guò)有限元計(jì)算獲得的。材料參數(shù)識(shí)別流程如圖6所示。

圖6 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練方法的流程Fig.6 Flow chart for neural network training method

設(shè)p表示材料參數(shù)。需要優(yōu)化的參數(shù)為σy,n,K，它們可以作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬的輸入，輸出的是載荷-位移曲線和殘余接觸半徑。通過(guò)求解方程使試驗(yàn)值和計(jì)算值的誤差平方和最小，從而確定材料參數(shù)。真實(shí)的材料參數(shù)將產(chǎn)生與試驗(yàn)曲線最接近的匹配。誤差為試驗(yàn)的載荷-位移曲線F(h)和計(jì)算的載荷-位移曲線F′(h,p)之間的差值。該過(guò)程通過(guò)最小化函數(shù)實(shí)現(xiàn)：

err=∑min[F(h)-F′(h,p)]

(14)

計(jì)算中采用了Matlab優(yōu)化工具箱中的非線性最小二乘優(yōu)化函數(shù)lsqnonlin。優(yōu)化過(guò)程通過(guò)梯度求值逐步迭代直到收斂。

以Ludwik模型中的參數(shù)σy,n,K和彈性模量E為優(yōu)化參數(shù)，建立本構(gòu)方程。作者發(fā)現(xiàn)載荷-位移曲線收斂后，從載荷-位移曲線導(dǎo)出的表征應(yīng)力應(yīng)變(εr,σr)仍然不符合本構(gòu)方程。因此提出了一種雙重判據(jù)：既考慮載荷-位移曲線擬合，又考慮應(yīng)力匹配[17]。選擇表征應(yīng)力應(yīng)變(εr,σr)與本構(gòu)方程之間的匹配作為優(yōu)化準(zhǔn)則。參數(shù)的優(yōu)化準(zhǔn)則是采用了卸載開(kāi)始點(diǎn)處的表征應(yīng)力應(yīng)變與本構(gòu)關(guān)系曲線的最佳匹配，并沒(méi)有將卸載段作為相應(yīng)數(shù)據(jù)考慮在內(nèi)。

err=∑min[σr(h)-σr(h,p)]

(15)

其中:

式中，σr(h)為壓痕深度h處的表征應(yīng)力;P(h)和a(h)分別表示壓痕深度h處的載荷P和接觸半徑a;σ(h,p)和ε(h)分別表示用參數(shù)p(σy,n,K)構(gòu)造的本構(gòu)方程中應(yīng)力和應(yīng)變;P(h)和a(h)的值可以通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬得到。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)ISO/TR 29381—2008中的參數(shù)取值，ψ=3，α=0.14。

3 測(cè)試結(jié)果

3.1 壓痕曲線測(cè)試結(jié)果

采用IIT-2000型壓痕儀得到壓入試驗(yàn)的載荷-位移曲線，壓痕儀的最大載荷為2 000 N，位移精度為0.2 μm，壓頭為直徑1 mm的碳化鎢球，試驗(yàn)材料為304不銹鋼和316L不銹鋼。利用試驗(yàn)得到的多循環(huán)壓痕曲線，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

(a)304不銹鋼

3.2 球形壓痕表征應(yīng)力應(yīng)變法測(cè)試值和單軸拉伸試驗(yàn)值的對(duì)比

按照GB/T 228.1—2010《金屬材料 拉伸試驗(yàn) 第1部分:室溫試驗(yàn)方法》，采用CMT5205型電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)。試驗(yàn)材料為304不銹鋼和316L不銹鋼，拉伸試樣的尺寸為?10 mm×50 mm，試驗(yàn)溫度為室溫，拉伸速度為1 mm/min。

由表3可看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法得到的σy,σu,n,E與單軸拉伸試驗(yàn)值偏差較小。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法能夠用于預(yù)測(cè)奧氏體不銹鋼的力學(xué)性能且精度較高。

表3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法測(cè)試結(jié)果與單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison between the results of indentation test and uniaxial tensile test

4 結(jié)論

(1)Hollomon模型能夠描述常見(jiàn)金屬材料的加工硬化行為，但是無(wú)法描述奧氏體不銹鋼等具有明顯上翹行為的加工硬化曲線。采用Ludwik模型能夠描述奧氏體不銹鋼的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

(2)基于Ludwik模型，采用有限元軟件進(jìn)行仿真建立壓痕曲線神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)庫(kù)，利用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析壓痕曲線，計(jì)算奧氏體不銹鋼的力學(xué)性能。

(3)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法計(jì)算得到304和316不銹鋼的屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度、應(yīng)變硬化指數(shù)和彈性模量等力學(xué)性能，與單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果相比，偏差較小，該方法能夠用于預(yù)測(cè)奧氏體不銹鋼的力學(xué)性能。