鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

對(duì)于兩個(gè)固體的接觸面，動(dòng)摩擦因數(shù)是有限值，當(dāng)相互作用的彈力很小時(shí)，摩擦力不可能很大；當(dāng)相互作用的彈力為零時(shí)，不可能存在摩擦力.但在某些力學(xué)競(jìng)賽題中給出“靜摩擦因數(shù)足夠大”的條件，由此默認(rèn)為靜摩擦力足夠大，而且物體始終不滑動(dòng)[1].這種觀(guān)點(diǎn)是不正確的，下面對(duì)一道錯(cuò)題及其解答進(jìn)行探討.

1 原題與錯(cuò)解

【原題】在水平地面上，豎直直立一根長(zhǎng)為2a,質(zhì)量為m的勻質(zhì)直桿，桿與地面間的靜摩擦因數(shù)足夠大.現(xiàn)對(duì)桿施一微擾，使其從豎直位置開(kāi)始自由倒下，如圖1所示，求：當(dāng)桿與豎直方向的夾角為多大時(shí)，桿的下端開(kāi)始脫離地面？

圖1 傾倒的直桿

原解：從初始狀態(tài)到桿恰好離地瞬間，由機(jī)械能守恒定律有

(1)

其中直桿繞端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(2)

以直桿與地面接觸點(diǎn)為軸，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理有

mgasinθ=Iβ

(3)

由式(1)、(2)可得直桿的角速度平方為

(4)

由式(2)、(3)可得桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為

(5)

直桿質(zhì)心繞接觸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度分別為

(6)

(7)

剛好離開(kāi)地面的瞬間，桿在豎直方向只受重力作用，由牛頓第二定律有

mg=matsinθ+mancosθ

(8)

可得直桿與豎直方向的夾角為

2 探討與修正

上述解法看似正確，但所得結(jié)果卻是錯(cuò)誤的.因?yàn)樵谕茖?dǎo)過(guò)程中，默認(rèn)為桿始終不滑動(dòng)，而實(shí)際上，當(dāng)θ=70.53°時(shí)，桿早已發(fā)生滑動(dòng)，因此原題有缺陷.為了修正錯(cuò)題和錯(cuò)解，下面對(duì)原題進(jìn)行拓展與解答.

解析：(1)對(duì)桿在水平方向和豎直方向分別由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

f=matcosθ-mansinθ

mg-N=matsinθ+mancosθ

可得桿受到地面的靜摩擦力與彈力分別為

隨著偏轉(zhuǎn)角θ從零開(kāi)始增大，cosθ從最大值1開(kāi)始逐漸減小，可知地面彈力N單調(diào)遞減，最大值等于mg,最小值為零.假設(shè)桿的下端始終不動(dòng)，當(dāng)剛好離開(kāi)地面時(shí)，受到彈力為零，即

剛開(kāi)始，由于直桿沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)，因此摩擦力為零，隨著偏轉(zhuǎn)角的逐漸增大，摩擦力再次為零，由此可知，在兩個(gè)零之間存在最大值，則靜摩擦力先增大，再減小到零.當(dāng)靜摩擦力減小到零時(shí)，桿對(duì)地面的壓力大于零，因此不是分離狀態(tài)，而是摩擦力改變方向的臨界狀態(tài).在臨界狀態(tài)之前，桿受到地面的摩擦力方向向右，在臨界狀態(tài)之后，桿受到摩擦力的方向向左，然后逐漸增大.

下面求向右的靜摩擦力取最大值時(shí)桿的偏轉(zhuǎn)角.

先把靜摩擦力的關(guān)系式去括號(hào)，再取導(dǎo)數(shù)為

令f′=0，可得關(guān)于cosθ的一元二次方程

6cos2θ-2cosθ-3=0

解方程得

可知桿的偏轉(zhuǎn)角略小于30°，且fmax≈0.2mg.

圖2 彈力和摩擦力隨偏轉(zhuǎn)角變化的圖像

(2)由于靜摩擦因數(shù)足夠大，因此在靜摩擦力減小到零之前，桿沒(méi)有發(fā)生滑動(dòng)，則由

可知當(dāng)摩擦力減小為零時(shí)桿的偏轉(zhuǎn)角為θ=48.19°.

此時(shí)桿受到地面的彈力大小為

(3)當(dāng)桿的偏轉(zhuǎn)角小于48.19°時(shí)，桿沒(méi)有發(fā)生滑動(dòng)，那么當(dāng)桿的偏轉(zhuǎn)角大于48.19°時(shí)，由于壓力逐漸減小，桿將發(fā)生滑動(dòng)，考慮到摩擦力小于零，可知當(dāng)桿剛好發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足-f=μN(yùn)，即

化簡(jiǎn)得

3sinθ(2-3cosθ)=μ(3cosθ-1)2

θ≠70.53°

如圖2所示，當(dāng)桿與豎直方向的夾角大于48.19°時(shí)，隨著正壓力的減小，當(dāng)反向摩擦力達(dá)到某一數(shù)值-f′max時(shí)，桿將發(fā)生滑動(dòng).在假設(shè)桿始終不滑動(dòng)的條件下，當(dāng)桿剛要離開(kāi)地面時(shí)，與豎直方向的夾角為θ=70.53°，此時(shí)正壓力趨于零，靜摩擦力達(dá)到另一個(gè)最大值-f″max，但這是不可能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樵谄D(zhuǎn)角達(dá)到70.53°之前，桿早已發(fā)生滑動(dòng)了，因此當(dāng)桿剛要離開(kāi)地面時(shí)，與豎直方向的夾角不等于70.53°.

秀容月明告退，一直低眉順眼站在旁邊的內(nèi)侍走了過(guò)來(lái)，皇上，秀容月明這只老虎好不容易被關(guān)進(jìn)籠子里，現(xiàn)在你放他出來(lái)，就怕放虎容易捉虎難??！

假設(shè)把原題作為競(jìng)賽題，那么對(duì)于“靜摩擦因數(shù)足夠大”的條件，參賽者將如何理解呢？如果認(rèn)為桿始終不會(huì)滑動(dòng)，雖然不切合實(shí)際，但卻可以順利解題；如果認(rèn)為桿將會(huì)發(fā)生滑動(dòng)，雖然合乎實(shí)際，但卻難以解題，那么只能跳入題中默認(rèn)的“陷阱”，即認(rèn)為：只要靜摩擦因數(shù)足夠大，當(dāng)正壓力不為零時(shí)，靜摩擦力就足夠大；或者說(shuō)，只要靜摩擦因數(shù)足夠大，物體就始終不發(fā)生滑動(dòng).這種觀(guān)點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的，但卻有一定的迷惑性，因此很容易誘發(fā)錯(cuò)題與錯(cuò)解的出現(xiàn).

綜上可見(jiàn)，原題的設(shè)問(wèn)與條件不自洽，需進(jìn)行修正，有多種修改方法，既可改變條件，如把原題中的“桿與地面間的靜摩擦因數(shù)足夠大”替換為“桿下端放入淺槽內(nèi)不能滑動(dòng)”；也可改變?cè)O(shè)問(wèn)，把原題中的1個(gè)設(shè)問(wèn)替換為新拓展的3個(gè)設(shè)問(wèn).此外，桿的長(zhǎng)度2a可改為2b，以免在解題時(shí)用到的字母與加速度符號(hào)雷同.

3 總結(jié)與啟示

通過(guò)對(duì)原題進(jìn)行修正或改編，可形成若干優(yōu)質(zhì)試題，具有一定的教學(xué)價(jià)值，既可作為大學(xué)物理復(fù)習(xí)資料，也可用于高中物理競(jìng)賽訓(xùn)練.

雖然原題及其解答的錯(cuò)誤起因于“靜摩擦因數(shù)足夠大”，但這個(gè)條件本身沒(méi)有錯(cuò)，從修改原題設(shè)問(wèn)的角度而言，在原題中給出這個(gè)條件是必要的，以此表明在靜摩擦力從最大值減小為零之前，桿不會(huì)發(fā)生滑動(dòng)，為試題的改編與解答準(zhǔn)備了條件.但若根據(jù)這個(gè)條件默認(rèn)為桿始終不發(fā)生滑動(dòng)則是錯(cuò)誤的，或者說(shuō)，對(duì)于如何保證桿始終不發(fā)生滑動(dòng)，題中所設(shè)定的條件不合乎實(shí)際，由此導(dǎo)致試題的設(shè)問(wèn)與條件不自洽.

因此在編擬試題時(shí)，不僅要體現(xiàn)試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，更要遵循科學(xué)性與自洽性的原則，這就需要在編題過(guò)程中對(duì)試題的背景、情境、賦值、條件和設(shè)問(wèn)等方面進(jìn)行反復(fù)推敲和嚴(yán)格論證，確保其規(guī)范合理，嚴(yán)謹(jǐn)周密，不存在科學(xué)性錯(cuò)誤.

在教學(xué)或者教研過(guò)程中，無(wú)論選題或答題都需謹(jǐn)慎，以免出現(xiàn)錯(cuò)題或錯(cuò)解.還要提倡學(xué)術(shù)爭(zhēng)鳴，敢于質(zhì)疑，善于發(fā)現(xiàn)并且及時(shí)糾正錯(cuò)誤，對(duì)于那些比較隱蔽的、或者是勉強(qiáng)默認(rèn)的、甚至是廣為流傳的錯(cuò)誤，有必要進(jìn)行深入剖析，以正本清源.若能充分利用錯(cuò)題資源，變廢為寶，將有助于對(duì)相關(guān)知識(shí)的確切理解和正確應(yīng)用，更有利于提升學(xué)科核心素養(yǎng).