程宏遠(yuǎn)

(新鄉(xiāng)市第一中學(xué) 河南 新鄉(xiāng) 453000)

導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割磁感線模型一般解決方法是法拉第電磁感應(yīng)法和等效速度法[1]，這兩種方法在學(xué)生理解和解決問題層面具有一定的局限性.法拉第電磁感應(yīng)法是定律的應(yīng)用，對學(xué)生掌握定律非常有益，但是磁通量的變化量在復(fù)雜情況中很難計(jì)算.等效速度法是利用導(dǎo)體棒上每一點(diǎn)的線速度與半徑成正比的關(guān)系，得到導(dǎo)體棒中間位置線速度可以作為整個(gè)導(dǎo)體棒等效速度，從而利用動(dòng)生電動(dòng)勢公式求解電動(dòng)勢.徐洪圖等人已證明平均速度法對于直導(dǎo)體棒繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)切割均成立[2]，然而得到等效速度過程對于學(xué)生思維理解的臺(tái)階過高.這兩種傳統(tǒng)方法可以解決旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在導(dǎo)體棒上和導(dǎo)體棒延線上的問題，但對于旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)的情況以及導(dǎo)體棒彎曲的情況難以解決.旋轉(zhuǎn)切割的復(fù)雜情況需要微分的方法，但是高中學(xué)生缺乏相關(guān)理論知識，需要用簡化可行的方法幫助學(xué)生理解和解決問題.

本文在微分思想的指導(dǎo)下，利用圖像和微元相結(jié)合的方法，創(chuàng)新解決導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割磁感線的系列問題，得出此類問題的一般結(jié)論.旋轉(zhuǎn)切割問題中使用圖像與微元法，不僅解決旋轉(zhuǎn)切割的各類問題，也擴(kuò)展高中物理階段微元法的應(yīng)用范圍，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維.

1 導(dǎo)體棒直線任一點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)

1.1 導(dǎo)體棒端點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)

如圖1所示，導(dǎo)體棒Oa繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).

圖1 旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為導(dǎo)體棒端點(diǎn)

導(dǎo)體棒上每一點(diǎn)線速度不同，要利用動(dòng)生電動(dòng)勢公式E=BLv求解導(dǎo)體棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢，需要解決速度與長度乘積問題.我們將導(dǎo)體棒切割成n段，總電動(dòng)勢等于每一段導(dǎo)體棒產(chǎn)生電動(dòng)勢之和.每段導(dǎo)體棒長度ΔL非常短，可視為一個(gè)點(diǎn)，所以每段導(dǎo)體棒切割速度近似可用前端線速度代替.如圖2所示，每段導(dǎo)體棒速度與長度乘積在圖像中表現(xiàn)為小矩形的面積，整個(gè)導(dǎo)體棒速度與長度乘積就是各個(gè)小矩形面積之和，即圖像與橫軸所圍三角形面積ΔS.

圖2 導(dǎo)體棒各點(diǎn)速度v與到O點(diǎn)距離l關(guān)系圖像

E=BΔL1v1+BΔL2v2+…+BΔLnvn=

1.2 導(dǎo)體棒之間一點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)

如圖3所示，導(dǎo)體棒ab繞棒上點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).

圖3 旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為導(dǎo)體棒上一點(diǎn)(非端點(diǎn))

導(dǎo)體棒ab看作兩部分Oa和Ob，每部分產(chǎn)生的電動(dòng)勢可由1.1中結(jié)論得到.由右手定則得到兩部分電動(dòng)勢方向不同，E為

1.3 導(dǎo)體棒延線上一點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)

如圖4所示，導(dǎo)體棒ab繞延線一點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).

圖4 旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為導(dǎo)體棒延線一點(diǎn)

我們依然把導(dǎo)體棒ab分割成n段，每段vΔL是小矩形的面積，導(dǎo)體棒整體vL就是圖像與橫軸所圍梯形面積，如圖5所示.

圖5 導(dǎo)體棒各點(diǎn)速度v與到O點(diǎn)距離l關(guān)系圖像

1.2和1.3結(jié)果相同，因?yàn)?.2中導(dǎo)體棒Oa和Ob產(chǎn)生的電動(dòng)勢相抵消后與1.3中所描述情況一致.

2 導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)

如圖6所示，導(dǎo)體棒ab繞平面一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，Oa和Ob分別為L1和L2(L2>L1)

圖6 旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為導(dǎo)體棒平面一點(diǎn)

方法一：微元圖像結(jié)合法

導(dǎo)體棒ab分割成n段，每段導(dǎo)體速度與長度成夾角θ，且各段夾角不同.我們把每段長度ΔL分解到垂直速度的方向上，得到ΔLcosθ，則這段導(dǎo)體產(chǎn)生電動(dòng)勢表示為ΔE=BΔLvcosθ.各點(diǎn)速度v與到旋轉(zhuǎn)點(diǎn)O的距離l仍滿足圖5，各段速度與長度乘積是圖5中小矩形面積，則整段導(dǎo)體棒速度與有效長度的乘積是圖5中圖像與橫軸所圍梯形面積.

方法二：有效長度法

導(dǎo)體棒各段長度分解到垂直速度方向的長度疊加后，長度等效為導(dǎo)體棒ab沿半徑方向分量a′b′長度，即L2-L1為導(dǎo)體棒的有效長度.導(dǎo)體棒ab產(chǎn)生的電動(dòng)勢等效為導(dǎo)體棒a′b′產(chǎn)生的電動(dòng)勢.我們假想有Oa和Ob兩根導(dǎo)體棒與導(dǎo)體棒ab結(jié)合，則導(dǎo)體棒ab產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢等于Oa和Ob兩根導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢之差.

導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)切割題目非常靈活，見以下兩道例題.

【例1】如圖7所示，直角形導(dǎo)體棒abO繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，ab和Ob長度分別為L1和L2,求EOa.

圖7 直角導(dǎo)體棒繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

解析：導(dǎo)體棒abO產(chǎn)生電動(dòng)勢可分解為Ob和ba兩根導(dǎo)體棒產(chǎn)生電動(dòng)勢之和.

EOa=EOb+Eba=

【例2】如圖8所示，導(dǎo)體棒abc中點(diǎn)為b，繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)體棒abc垂直直線Ob,求Eac.

圖8 “一字型”導(dǎo)體棒繞中垂線一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

解析：導(dǎo)體棒abc產(chǎn)生電動(dòng)勢可視為ab和bc兩根導(dǎo)體棒產(chǎn)生電動(dòng)勢之和.兩根導(dǎo)體棒有效長度相同，產(chǎn)生電動(dòng)勢等大反向，即Eac=0.

3 曲線導(dǎo)體棒繞導(dǎo)體棒平面一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

如圖9所示，曲線導(dǎo)體棒ab繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

圖9 曲線導(dǎo)體棒繞平面一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

導(dǎo)體棒ab為曲線，我們利用微元法的思想將其分割為n段，每段導(dǎo)體速度與長度成夾角θ，每段長度ΔL分解到垂直速度的方向上得到曲線的有效長度也為徑向長度，速度與有效長度關(guān)系圖像與圖5相同.故曲線導(dǎo)體棒ab產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢的表達(dá)式為

4 導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割磁感線模型一般結(jié)論

本文論證均為導(dǎo)體棒在垂直于勻強(qiáng)磁場平面旋轉(zhuǎn)切割磁感線的前提下提出，根據(jù)以上討論可得到以下3條結(jié)論.

(1)微元圖像法解決公式中導(dǎo)體棒速度與長度乘積問題.我們作出導(dǎo)體棒速度與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)距離關(guān)系圖像，經(jīng)過微元法處理，得到圖像與坐標(biāo)軸所圍面積的含義即為導(dǎo)體棒速度與長度的乘積.

(2)導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割磁感線模型存在有效長度.無論導(dǎo)體棒是曲線還是直線，“有效長度”都等于將導(dǎo)體棒投影到半徑方向的長度.

(3)導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢可以通過兩種思路求解.一是利用電動(dòng)勢E=BLv求解，其中Lv為圖像與橫軸所圍面積；二是利用電動(dòng)勢等于“有效長度”導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢求解.