鄭菡蕾

(沈陽化工大學 理學院， 遼寧 沈陽 110142)

1924年，印度科學家玻色采用一種不同于經(jīng)典統(tǒng)計方法推導出了普朗克黑體輻射公式[1]，他的處理光子(粒子數(shù)不守恒)統(tǒng)計的方法被愛因斯坦推廣到原子(粒子數(shù)守恒)的情況，得到“玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)”的預(yù)言[2-3]，即對于沒有相互作用的玻色原子氣體，當溫度低于某個臨界值時，將有部分有限份額(宏觀)的粒子開始占據(jù)能量最低的單粒子態(tài)，即在動量空間上發(fā)生了凝聚.

這一理論以理想玻色氣體為研究對象，而實際的玻色原子之間存在著相互作用.為了研究相互作用玻色氣體的基本性質(zhì)，物理學家采用了多種理論與計算方法，如微擾論展開、重正化群等方法，廣泛研究了相互作用勢對凝聚溫度和凝聚比例的影響，同時研究了凝聚比例與凝聚溫度的關(guān)系等問題，并取得了一些重要的結(jié)果，這些計算方法一般比較復(fù)雜.本文嘗試在Bogoliubov近似的基礎(chǔ)上，利用截斷近似的格林函數(shù)方法研究相互作用玻色氣體的凝聚比例和凝聚溫度與相互作用強度的關(guān)系.截斷近似方法形式簡單，能夠計算較強相互作用的情況，不失為研究玻色氣體的一個工具.

1 相互作用玻色氣體

根據(jù)玻色-愛因斯坦統(tǒng)計[1-7]，理想玻色氣體系統(tǒng)的總粒子數(shù)[4-7]為

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其中n=N/V為平均粒子數(shù)密度(體積V中包含N個玻色子).在溫度低于Tc時，處于凝聚態(tài)的粒子數(shù)在總粒子數(shù)中所占的比例(簡稱凝聚比例)為[8]

(3)

實際玻色氣體通常是有相互作用的，可以想象相互作用強度對凝聚溫度和凝聚比例是有影響的.這也是相互作用玻色氣體研究的核心問題之一.

2 相互作用玻色氣體的Bogoliubov近似

采用二次量子化表象，N個自旋為0的玻色子系統(tǒng)的哈密頓量為

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3 計算與討論

3.1 格林函數(shù)的計算與截斷

本文研究的是相互作用玻色系統(tǒng)，粒子通過二體相互作用在凝聚態(tài)(零動量)和非凝聚態(tài)(非零動量態(tài))之間跳轉(zhuǎn)，雖然粒子總數(shù)不守恒，但是粒子數(shù)密度守恒.在這樣的系統(tǒng)中,用一個產(chǎn)生算符與一個湮滅算符組成正常格林函數(shù)，表示粒子數(shù)算符；兩個產(chǎn)生算符或者兩個湮滅算符(配對算符)組成反常格林函數(shù)，表示是配對粒子共同“行動”，在凝聚態(tài)與非凝聚態(tài)之間變化[11-15].

對紫外發(fā)散的問題，在高階格林函數(shù)的截斷近似中，對其中的相互作用勢進行兩種近似：第一種是取U(q)=U，這樣才能繼續(xù)格林函數(shù)的截斷近似，把粒子數(shù)算符用其平均值替代或者把配對算符也作替換取為其平均值；第二種是取U(0)=U.

運動方程組寫做

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(7)

(8)

(9)

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這樣取n=1，則當系統(tǒng)溫度在凝聚溫度與絕對溫度之間變化時，n0的取值在0～1.而T′取值為0時代表系統(tǒng)處于絕對溫度；T′取值為1時代表系統(tǒng)溫度為凝聚溫度.對這個重新標度后的方程取定積分上限：如果取相互作用強度為1，則可以取定能量的積分上限為100.

3.2 數(shù)值結(jié)果與討論

取γ=1，數(shù)值計算得到n0與T′關(guān)系，如圖1所示.

圖1 溫度T′與凝聚比例n0的關(guān)系

從圖1中可以看到：隨著溫度的升高，凝聚比例逐漸減小.這種變化趨勢是符合物理上的預(yù)言的.對計算數(shù)據(jù)進行擬合，并與公式(3)相比較，擬合公式如下：

n0=0.98-T′0.76.

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所得到凝聚比例n0是與溫度T′的0.76次冪成反比，這一結(jié)果的精確性值得懷疑，因為計算中采用了多種近似.期待在對計算優(yōu)化之后，得到更好的更有說服力的結(jié)果.

計算絕對零度時，凝聚比例n0與相互作用強度γ之間的關(guān)系,結(jié)果如圖2所示.

圖2中相互作用強度的取值范圍為0<γ≤17.當相互強度的變化范圍在0<γ≤1時，凝聚比例下降得比較劇烈；在相互作用強度超過4時，變化趨于緩和，最后逐漸接近一個常數(shù).這個結(jié)果也符合國際上對相互作用玻色氣體的凝聚比例隨相互作用強度變化的關(guān)系趨勢，但是依然不夠精確.因為在計算中對格林函數(shù)進行了一個截斷近似，這一近似限制了計算，導致結(jié)果趨于一個常數(shù).總體上凝聚比例的變化很小，數(shù)值上都大于0.99.這也可能是因為基于Bogoliubov近似，這一近似的基礎(chǔ)認為在絕對溫度時，大部分的粒子都處于凝聚態(tài)，只有非常少的粒子動量不等于0.在后續(xù)工作中，可以進一步擴展進更高階的格林函數(shù)，選擇更合適的近似進行截斷.

圖2 相互作用強度γ與凝聚比例n0的關(guān)系曲線

對圖2中弱相互作用(0<γ≤1.1)部分的計算結(jié)果進行擬合，結(jié)果如圖3所示.

圖3 相互作用強度γ與凝聚比例n0的擬合曲線

圖3中的紅線表示擬合曲線，可以看到擬合的效果并不是很好，得到的擬合方程為

n0=1-0.007γ0.346.

(12)

凝聚比例n0與相互作用強度γ的指數(shù)關(guān)系為0.346次冪，采用一階指數(shù)衰減方程進行擬合嘗試，得到圖4，紅線表示擬合曲線，擬合方程為

(13)

圖4 相互作用強度γ與凝聚比例n0擬合曲線

4 結(jié) 論

通過計算可知，該方法對于研究相互作用玻色氣體性質(zhì)有很大的應(yīng)用前景，計算所得的凝聚比例與溫度、相互作用強度關(guān)系的結(jié)果比較合理.

(1)討論了兩種不同的截斷近似方案.計算表明：第一種方案的精確程度類似于Bogoliubov近似；第二種方案能夠較好反映相互作用勢對系統(tǒng)的影響，但是沒有很好地計算玻色-愛因斯坦凝聚的臨界溫度.

(2)在計算過程中遇到了紫外發(fā)散問題.產(chǎn)生這個問題的原因是對于動量轉(zhuǎn)移較大的相互作用情況，s波散射近似不再是一個很好的近似.在計算中通過限定積分上限，得到了凝聚比例與溫度以及相互作用勢的關(guān)系，結(jié)果具有一定的合理性.這說明如果找到消除發(fā)散的方案，這種方法還是可行的.