鄭駿駿

由于新冠肺炎疫情影響，選取上證380醫(yī)藥衛(wèi)生指數(shù)進行時間序列模型實證分析。首先，對指數(shù)序列進行描述性統(tǒng)計分析，建立ARMA模型，然后通過模型檢驗發(fā)現(xiàn)模型的殘差存在條件異方差性，再進行GARCH模型的建模，隨后通過AIC值選擇得到ARMA（2，3）-GARCH（1，1）模型，最后通過檢驗得到充分的模型確定其有效性，得出上證380醫(yī)藥衛(wèi)生指數(shù)的日對數(shù)收益率序列存在波動聚集性和ARMA-GARCH也使用于板塊指數(shù)分析的結(jié)論。

一、引言

伴隨著我國科技水平的不斷發(fā)展，我國醫(yī)療質(zhì)量水平持續(xù)改善，醫(yī)療技術(shù)能力不斷提升，人們對醫(yī)療服務(wù)的需求也越來越高。同時，新型冠狀病毒肺炎疫情之下，廣大股市投資者對于醫(yī)療板塊的股票關(guān)注度有所提升。股票市場的波動性一直以來都是統(tǒng)計學(xué)的熱點研究領(lǐng)域，基于近期的醫(yī)療板塊股票的大幅波動和關(guān)注度的提升，并且以往的學(xué)者在這方面的研究涉及較少。因此，本文選取醫(yī)療板塊指數(shù)的股價數(shù)據(jù)作為研究對象是具有一定價值的。

在金融市場中存在著諸多不確定性，股票收益的波動幅度也就是風(fēng)險是隨著時間的變化而變化的。Engle（1982）提出了首個波動率建模的系統(tǒng)框架，即一種自回歸條件異方差模型（ARCH），該模型中Engle用誤差項表示為前一時刻的函數(shù)，由此得到當(dāng)前時間的誤差項條件方差。Bollerslev（1986）在ARCH模型的基礎(chǔ)上進行了改進，提出了一個推廣形式的ARCH模型，被稱為GARCH模型。本文基于ARMA-GARCH模型研究醫(yī)藥板塊股票的對數(shù)收益率序列的波動率。

二、模型簡介

（一）ARMA（p，q）模型

自回歸滑動平均（ARMA）模型是由統(tǒng)計學(xué)家BOX和Jenkins在20世紀(jì)70年代提出的一種較高精度的時間序列模型。其模型可表示為：

其中是{Yt}是收益率序列，{εt}是白噪聲序列，即是一個具有有限均值和有限方差的獨立同分布隨機變量序列，p和q是非負(fù)整數(shù)，分別表示自回歸項和滑動平均項的項數(shù)。ARMA模型是AR模型和MA模型的結(jié)合，其中包含AR項和MA項。

（二）ARCH效應(yīng)及GARCH（m，s）模型

ARCH模型的基本思想是基于先前的信息集合下，某一時刻的噪聲服從一個分布，它的方差是一個隨時間變化的量（即為條件異方差），擾動項本身是序列不相關(guān)的，但是序列是相互不獨立的。假設(shè)at服從ARCH（m）模型，若at滿足下式

其中{t}是均值為0、方差為1的獨立同分布隨機變量序列，其中a0>0，對i>0有ai≥0。GARCH模型是ARCH模型的推廣形式，對于一個對數(shù)收益率序列rt，令at=rt-μt為t時刻的新息，假設(shè)at服從GARCH（m，s）模型，若at滿足下式：

其中{t}是均值為0、方差為1的獨立同分布隨機變量序列，這里a0>0，ai≥0（αi+βi）<1。αi和βi分別表示ARCH項和GARCH項的參數(shù)。

三、實證分析過程

（一）數(shù)據(jù)選取與預(yù)處理

本文選取上證380醫(yī)藥衛(wèi)生指數(shù)作為研究對象并運用R統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)分析，選取2015年5月27日至2020年5月26日的日收盤價，共計1218個樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)來源于CSMAR數(shù)據(jù)庫。本文對上證380醫(yī)藥衛(wèi)生指數(shù)日收盤價先取對數(shù)再作差分處理，即計算對數(shù)收益率序列。對數(shù)收益率序列計算公式如下：

其中，Pt表示t時刻的指數(shù)收盤價，表Pt-1示時刻的指數(shù)收盤價，rt表示日對數(shù)收益率。

（二）描述性統(tǒng)計分析

根據(jù)預(yù)處理之后的日對數(shù)收益率序列作描述性統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果見表1：

根據(jù)表1可以看出，通過JB檢驗統(tǒng)計量對對數(shù)收益率序列的正態(tài)性檢驗的結(jié)果顯示，p值<2.2e-16遠(yuǎn)小于0.05，即表示對數(shù)收益率序列不服從正態(tài)分布。

從圖1可以看出，上證380醫(yī)藥衛(wèi)生指數(shù)日對數(shù)收益率序列具有明顯的非堆成性并且在0附近波動，且存在簇集特征，即大的波動伴隨著大的波動，小的波動伴隨著小的波動。

（三）單位根檢驗

在建立ARMA模型前需要對序列的平穩(wěn)性進行檢驗，本文采用單位根檢驗法（ADF檢驗）檢驗對數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性。

H0：日對數(shù)收益率序列存在單位根（即序列非平穩(wěn)）

H1：日對數(shù)收益率序列不存在單位根

經(jīng)過計算ADF檢驗統(tǒng)計量的p值為0.01小于顯著水平α=0.05，故拒絕原假設(shè)，序列不存在單位根，即為平穩(wěn)時間序列。

（四）自相關(guān)性和偏相關(guān)性檢驗

本文采用R統(tǒng)計軟件的系統(tǒng)自動定階函數(shù)，根據(jù)AIC值來進行模型選擇。最終，擬合得到ARMA（2，3）模型，結(jié)果如表2所示。

由表2的結(jié)果可知，模型的系數(shù)均是顯著的，然后進行模型的診斷，對殘差序列進行Box.test檢驗，得到的p值為0.3318，大于顯著性水平α=0.05，故不拒絕原假設(shè)，說明模型是充分的。

（五）ARCH效應(yīng)檢驗

從上文中繪制的日對數(shù)收益率序列的時序圖中發(fā)現(xiàn)序列可能存在異方差性。于是，考慮建立波動率模型。首先要進行ARCH效應(yīng)的檢驗，本文采用Ljung-Box統(tǒng)計量Q（m）對序列{}進行檢驗。

H0：序列不存在ARCH效應(yīng)

H1：序列存在ARCH效應(yīng)

通過R統(tǒng)計軟件的檢驗，Q（m）統(tǒng)計量的p值<2.2e-16，小于顯著性水平α=0.05，故拒絕上證380醫(yī)藥衛(wèi)生日對數(shù)收益率序列不存在ARCH效應(yīng)原假設(shè)，可以繼續(xù)建立波動率方程。

（六）條件方差GARCH族模型

由上面的檢驗得知，上證380醫(yī)藥衛(wèi)生日對數(shù)收益率序列具備GARCH效應(yīng)，假設(shè)殘差序列服從t分布，這里只討論模型的低階的情況，分別建立低階GARCH模型，根據(jù)AIC值選擇最優(yōu)模型。建模的過程具體如下：