袁夕堯，胡 源，黃蘊(yùn)涵，許熠宸，秦銘澤，李文軒

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022；2.光電測(cè)控與光信息傳輸技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長(zhǎng)春 130022）

引言

數(shù)字微鏡器件（digital micromirror device，DMD）是一種反射式空間光調(diào)制器，因具有高分辨率、高光學(xué)效率、高對(duì)比度等優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于投影系統(tǒng)中。它是由一系列高反射表面鍍鋁的微小鏡片按照面陣排列組成，每個(gè)單元均能在數(shù)字電信號(hào)的控制下，以其對(duì)角線為軸進(jìn)行±12°的偏轉(zhuǎn)，通過(guò)每個(gè)微小鏡片的翻轉(zhuǎn)，控制每個(gè)單元光信號(hào)的反射方向，從而達(dá)到光學(xué)調(diào)制的目的[1-2]。由于它的微小尺寸會(huì)帶來(lái)一定的衍射效應(yīng)，導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生雜散光，進(jìn)而降低圖像對(duì)比度和系統(tǒng)信噪比等[3]，因此，分析DMD 的衍射效應(yīng)是十分必要的。

目前，已有很多學(xué)者根據(jù)DMD 結(jié)構(gòu)及工作原理，將其等效為類似于閃耀光柵的結(jié)構(gòu)模型，并利用光柵理論對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的分析。Walter Duncan 等人提出了將DMD 等效為閃耀光柵的模型，認(rèn)為閃耀角即為鏡元的傾斜角[4]。許富洋等人提出了一維閃耀光柵模型，認(rèn)為光柵的柵距即為鏡元寬度[5]。Joseph Rice 設(shè)計(jì)了一種DMD 衍射效率的測(cè)量系統(tǒng)，將其等效為二維平面光柵模型[6]。陳笑等人基于夫瑯禾費(fèi)衍射理論，構(gòu)建了DMD 的衍射模型[7]。韓慶、熊崢等人基于傅里葉分析方法，建立了DMD 衍射的數(shù)學(xué)模型并分析其衍射效率[8-9]。

上述衍射模型都能很好地體現(xiàn)DMD 的衍射特性，對(duì)DMD 的應(yīng)用均有一定的參考和指導(dǎo)意義，但均未將衍射效應(yīng)與雜散光分析相結(jié)合。本文著重分析由DMD衍射效應(yīng)產(chǎn)生的雜光，基于嚴(yán)格耦合波理論對(duì)DMD 進(jìn)行建模仿真，分析了不同波段和入射角度對(duì)DMD衍射效應(yīng)的影響。通過(guò)光線追跡分析計(jì)算了在投影系統(tǒng)中不同波長(zhǎng)和F數(shù)的DMD 衍射雜光能量占比，分別從物理光學(xué)和幾何光學(xué)的角度對(duì)DMD 的衍射特性進(jìn)行分析描述，為含有DMD 的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)及雜散光分析奠定基礎(chǔ)。

1 DMD 衍射特性

1.1 衍射特性基本原理

結(jié)合DMD 的微觀結(jié)構(gòu)和工作原理，將其等效為二維矩形光柵。由于DMD 尺寸在波長(zhǎng)量級(jí)，且每個(gè)微鏡片呈周期性排布，在紅外波段，標(biāo)量衍射理論并不適用分析其衍射效應(yīng)，計(jì)算得到的結(jié)果誤差較大。因此本文采用嚴(yán)格耦合波理論（rigorous coupled wave analysis，RCWA）作為DMD衍射特性分析的理論基礎(chǔ)[10-11]，以求得各級(jí)次衍射效率的解。DMD 等效為二維光柵示意圖如圖1所示。圖1 中其厚度為h，周期為d，微鏡片尺寸為a。一束單色光斜入射到微鏡表面，入射波矢量k1與z軸構(gòu)成入射面，入射面與z軸夾角θ為光束入射角，入射面與x-o-y平面的夾角 ?為入射光束空間方位角。

圖1 DMD 等效二維光柵示意圖Fig.1 Schematic diagram of DMD equivalent twodimensional grating

將DMD 微鏡陣列分為3 個(gè)區(qū)域（見(jiàn)圖1），區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅲ都是均勻介質(zhì)區(qū)域，區(qū)域Ⅱ?yàn)槲㈢R片結(jié)構(gòu)區(qū)域。將微結(jié)構(gòu)沿界面法向方向分為多層結(jié)構(gòu)，采用RCWA 方法根據(jù)電磁波邊界連續(xù)條件進(jìn)行求解分析，從而實(shí)現(xiàn)衍射特性的求解。具體求解過(guò)程為：1）應(yīng)用麥克斯韋方程組導(dǎo)出介質(zhì)層和基底層電磁場(chǎng)解的表達(dá)式；2）利用傅里葉展開(kāi)式推導(dǎo)出微分方程組；3）運(yùn)用不同區(qū)域的電磁場(chǎng)邊界條件求解各個(gè)級(jí)次的振幅和衍射效率[12-15]。

當(dāng)光波以TE 模入射時(shí)，對(duì)于區(qū)域Ⅰ，入射介質(zhì)層電場(chǎng)僅有y分量，表達(dá)式為

式中：Rm為反射到區(qū)域Ⅰ中的m級(jí)衍射波電場(chǎng)振幅；kxm及kt,zm定義為

將區(qū)域Ⅱ的電磁場(chǎng)分量展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)形式并推導(dǎo)出微分方程組，再根據(jù)電磁場(chǎng)邊界條件，且邊界處z=0 連續(xù)，則有

式中：ωi,m，uj,m分別為矩陣 ω和u的第m個(gè)元素；hl為第l層厚度。對(duì)于區(qū)域Ⅱ中，每一層邊界處應(yīng)滿足

聯(lián)立上述關(guān)系式，求得DMD 反射光的衍射效率 ηRm，即：

1.2 衍射特性建模

本節(jié)基于RCWA 理論對(duì)DMD 元件進(jìn)行建模仿真，應(yīng)用軟件RSoft 中Diffract mod 進(jìn)行模擬。該模塊適用于分析具有周期性的微結(jié)構(gòu)，因此仿真時(shí)只需對(duì)DMD 的單個(gè)微鏡片建模即可，本文仿真模擬參考型號(hào)為DLP7000 的DMD。值得注意的是，當(dāng)DMD 處于工作狀態(tài)時(shí)，不同于簡(jiǎn)單的二維光柵，會(huì)沿著斜對(duì)角線偏轉(zhuǎn)±12°，所以設(shè)置閃耀角、入射角和反射角都需要除以進(jìn)行校正，仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 DMD 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 DMD simulation parameter setting

根據(jù)表1 中參數(shù)，建立單個(gè)DMD 微鏡片開(kāi)態(tài)結(jié)構(gòu)模型，如圖2所示。

圖2 DMD 微鏡片模型圖Fig.2 DMD micro-mirror model

2 DMD 元件衍射效應(yīng)分析

2.1 不同波段對(duì)DMD衍射效應(yīng)的影響

DMD 微鏡尺寸與紅外光波長(zhǎng)相當(dāng)，衍射效應(yīng)較其他波段明顯，因此本節(jié)探討了紅外波段對(duì)DMD 衍射效率的影響。針對(duì)本文分析的光學(xué)系統(tǒng)主光線投射到DMD 的入射角度為0°，所以利用RSoft 軟件進(jìn)行仿真分析時(shí)，設(shè)置入射角為0°，取步長(zhǎng)為0.05 μm。在微鏡片處于開(kāi)態(tài)時(shí)，分別探討中波紅外（3 μm～6 μm）和長(zhǎng)波紅外（8 μm～12 μm）2 個(gè)波段對(duì)DMD 衍射效率的影響，得出衍射效率隨波長(zhǎng)的變化曲線，如圖3所示。

從圖3（a）可看出，在中波紅外波段，隨著波長(zhǎng)增大，總反射光衍射效率從48%增長(zhǎng)到64%并趨于穩(wěn)定。（-1，-1）衍射級(jí)次為主工作能級(jí)，且波長(zhǎng)為4.2 μm 時(shí)，該級(jí)次衍射效率達(dá)到峰值。其余波長(zhǎng)下非工作級(jí)次的衍射效率略有增大，能量分布相對(duì)集中，衍射效應(yīng)不是很明顯。

圖3 不同波段衍射效率曲線圖Fig.3 Curves of diffraction efficiency at different wavebands

從圖3（b）可看出，在長(zhǎng)波紅外波段，總反射光衍射效率先減小，當(dāng)波長(zhǎng)為10.5 μm 時(shí)，總衍射效率呈上升趨勢(shì)。（0，0）級(jí)為主工作級(jí)次，其余非工作級(jí)次能量占比較大，DMD 分光性能較強(qiáng)，衍射效應(yīng)顯著。

綜合分析可知，不同波段對(duì)應(yīng)不同的工作級(jí)次，短波紅外波段DMD 衍射能量分布相對(duì)集中，在一些光學(xué)系統(tǒng)中甚至可以忽略DMD 所帶來(lái)的衍射雜光影響，但對(duì)于長(zhǎng)波紅外波段，除主工作級(jí)次外，其余級(jí)次也有一定的能量占比，所帶來(lái)的衍射效應(yīng)會(huì)降低能量利用率，是系統(tǒng)雜光的主要來(lái)源。

2.2 不同入射角度對(duì)DMD衍射效應(yīng)的影響

隨著DMD 微鏡應(yīng)用日益廣泛，平行光入射至微鏡不再能滿足光學(xué)系統(tǒng)性能需求，而是以一定入射角度的會(huì)聚光路入射至DMD 上。因此進(jìn)一步探究入射角度在長(zhǎng)波紅外波段對(duì)DMD衍射效應(yīng)的影響就非常有必要，分別取入射光波長(zhǎng) λ為8 μm、10 μm、12 μm，入射角度范圍為0°～70°，DMD衍射光強(qiáng)分布變化曲線如圖4所示。

圖4 不同波長(zhǎng)下不同入射角的衍射光強(qiáng)分布Fig.4 Diffraction intensity distribution of different incident angles at different wavelengths

當(dāng) λ=8 μm 時(shí)，總反射衍射效率較高，但主工作級(jí)次（0，0）級(jí)能量較低，非工作級(jí)次衍射能量占比大，DMD 分光性能較強(qiáng)，導(dǎo)致探測(cè)器接收到的能量很弱。

當(dāng) λ=10 μm 時(shí)，主能級(jí)衍射能量隨入射角增大呈下降趨勢(shì)，其余級(jí)次能量有所增強(qiáng)，且當(dāng)入射角大于35°時(shí)，非工作級(jí)次（-1，0）級(jí)的衍射效率過(guò)高，會(huì)產(chǎn)生較嚴(yán)重的衍射雜光。

當(dāng) λ=12 μm 時(shí)，主級(jí)次衍射能量隨入射角增大而減小，其余級(jí)次能量略有上升，當(dāng)入射角大于40°時(shí)，總工作級(jí)次的衍射效率驟降，同時(shí)（0，0）級(jí)也呈明顯下降趨勢(shì)。

綜上所述，在長(zhǎng)波紅外波段，當(dāng)波長(zhǎng)小于10 μm時(shí)，（0，0）級(jí)衍射效率較小，DMD衍射效應(yīng)較大。在波長(zhǎng)為10 μm～12 μm 范圍內(nèi)，通過(guò)控制入射角度可使主工作級(jí)次獲得較高的衍射能量，且適當(dāng)減小入射角度可以減少DMD衍射效應(yīng)。

3 結(jié)合DMD 的光學(xué)系統(tǒng)雜光分析

為驗(yàn)證上述結(jié)論的準(zhǔn)確性，進(jìn)一步分析投影系統(tǒng)中DMD衍射效應(yīng)對(duì)雜散光的影響，設(shè)置光源波長(zhǎng)為8 μm、10 μm、12 μm，并通過(guò)在Lighttools軟件中設(shè)置不同光源發(fā)散角來(lái)控制系統(tǒng)F數(shù)，進(jìn)而控制入射至DMD 的角度。這是由于投影光學(xué)系統(tǒng)的像面相對(duì)于系統(tǒng)整體尺寸比較小，系統(tǒng)的視場(chǎng)相對(duì)不大，因此入射到DMD 上的角度主要由其像方數(shù)值孔徑即F數(shù)決定。為了重點(diǎn)分析DMD衍射效應(yīng)引起的雜光，將透鏡及結(jié)構(gòu)件散射表面設(shè)為近似理想情況。設(shè)置透鏡表面透過(guò)率為99.95%，反射率為0.05%，結(jié)構(gòu)件內(nèi)表面吸收率設(shè)為98%，散射率為2%，同時(shí)采用朗伯散射模型。光源能量設(shè)置為5 W，光線閾值為10-7，并設(shè)置光線數(shù)目為25×104條，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行光線追跡，如圖5所示。

圖5 DMD 光學(xué)系統(tǒng)光線追跡圖Fig.5 Ray tracing diagram of DMD optical system

經(jīng)光線追跡后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)F數(shù)過(guò)小時(shí)，經(jīng)DMD調(diào)制后的部分光路會(huì)反射至透鏡邊緣無(wú)法到達(dá)探測(cè)器表面；當(dāng)F數(shù)較大時(shí)，像面處探測(cè)器能量較低，降低了系統(tǒng)成像質(zhì)量。因此限定系統(tǒng)F數(shù)范圍為3～10，對(duì)應(yīng)邊緣入射角度為8°～3°，在此限定范圍基礎(chǔ)上，計(jì)算DMD 衍射雜光能量占比，并以照度分析圖作為衍射雜光評(píng)價(jià)方式。當(dāng)波長(zhǎng)為10 μm，系統(tǒng)F#=6 時(shí)，對(duì)DMD 設(shè)置不同的光學(xué)屬性的探測(cè)器表面照度圖如圖6所示。圖6（a）為將DMD 主工作級(jí)次能量設(shè)置為0，其余級(jí)次由前文計(jì)算得到的能量分布的表面照度圖；圖6（b）為DMD 光學(xué)屬性直接由RSoft 軟件生成的表面散射模型的表面照度圖；圖6（c）為將DMD 等效為平面反射鏡的表面照度圖。

圖6 探測(cè)器表面照度圖Fig.6 Illumination diagram of detector surface

由圖6（a）可看出，DMD 衍射雜光光斑圖中右側(cè)能量較大的光斑主要為（-1，0）級(jí)次的衍射雜光，經(jīng)DMD 調(diào)制后非工作級(jí)次的光會(huì)造成一定的能量損失，同時(shí)降低了系統(tǒng)成像質(zhì)量，探測(cè)器接收總能量照度為0.026 12 W/mm2。由圖6（b）可看出，DMD 所有衍射級(jí)次的照度圖中光斑較為均勻，但在光斑邊緣處，仍可看到非工作級(jí)次雜光的存在。由圖6（c）可看出，將DMD 等效為平面反射鏡后相較圖（b）能量更集中均勻，探測(cè)器接收總能量照度為4.981 26 W/mm2。

本文定義DMD 非工作級(jí)次衍射能級(jí)照度與DMD 等效為平面反射鏡的照度之比為衍射雜光能量占比。因此，計(jì)算出不同波長(zhǎng)下不同F(xiàn)數(shù)時(shí)系統(tǒng)衍射雜光能量占比變化曲線，如圖7所示。

圖7 不同波長(zhǎng)下不同F(xiàn) 數(shù)系統(tǒng)衍射雜光能量占比曲線Fig.7 Energy proportion curves of diffracted stray light of different F number at different wavelengths

由圖7 可知，當(dāng)波長(zhǎng)為8 μm 時(shí)，光束經(jīng)DMD調(diào)制后只有少部分進(jìn)入會(huì)聚系統(tǒng)到達(dá)探測(cè)器表面，甚至在F數(shù)為8～10 時(shí)，探測(cè)器上無(wú)衍射級(jí)次能量。在波長(zhǎng)為10 μm～12 μm 波段，F(xiàn)數(shù)越大，即入射角度越小，DMD 衍射雜光能量占比越小。

4 結(jié)論

基于RCWA 理論構(gòu)建了DMD 的衍射模型，探討了不同波段不同入射角度對(duì)DMD 衍射特性的影響，并分析了DMD 應(yīng)用在投影系統(tǒng)時(shí)，產(chǎn)生的衍射效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)雜散光的影響。研究結(jié)果表明，長(zhǎng)波紅外波段DMD衍射效應(yīng)更明顯，且隨著入射角度增大，DMD 分光性能隨之增大，衍射效應(yīng)顯著。最后給出長(zhǎng)波紅外波段，不同F(xiàn)數(shù)系統(tǒng)雜光隨DMD 衍射變化曲線，F(xiàn)數(shù)越大，DMD衍射效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)雜光影響越小。該結(jié)論相較于已有的研究工作，更詳細(xì)分析了DMD 的衍射雜光對(duì)系統(tǒng)的影響，為具有DMD 的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)，并對(duì)包含衍射元件的光學(xué)系統(tǒng)雜散光分析提供了新的思路。