高彩云

中圖分類號：A ?文獻標識碼：A ?文章編號：（2021）-29-328

“烙餅”問題是人教版教材四年級上冊“數學廣角”的教學內容，教材中的主題圖只有三段對白，也就提供了三個條件：1.每次最多烙兩張餅，正面和反面都要烙，烙熟每面費時3分鐘;2.父母和女兒三人，每人一張餅;3.如何在最短的時間內烙熟所有餅。

教材設計這種形式的素材無非就是要傳導基本活動經驗，讓學生從生活實際出發(fā)優(yōu)化行動方案;但除了傳導基本活動經驗，優(yōu)化行動方案外，是否能讓學生獲得更長足的發(fā)展呢？現參照本校教師執(zhí)教“烙餅問題”的交流課談一些淺見。

一、教學中帶來的疑惑

執(zhí)教老師對教材做了適當改編，并在課前指示學生自制學具，用硬幣充當烙餅，給硬幣編號：餅1、餅2、餅3。其中硬幣字面視為正面，花紋面視為背面;用圓形的硬紙充當平底鍋。將全班學生分為6個探究小組，導入問題情境之后呈現第一個問題：一次只能烙兩張餅，每張餅都要分別烙兩面，烙熟餅的一面耗時3分鐘，那么徹底烙熟一張餅需要花費多長時間？要求學生仔細審題并回答：解決這個問題時，你已經知道什么？需要弄清什么？生1：“我已知三個條件：1.一個鍋里一次最多放置兩張餅;2.每張餅兩面都要分開烙才能熟透;3.烙熟餅的一面費時3分鐘。需要弄清的問題是：徹底烙熟一張餅需要花費長時間？”師：“你們覺得這位同學說得有理嗎？有無異議？”全體學生：“有理。完全同意，無異議?！睅煟骸袄蠋熞操澩?，我們?yōu)樗恼??！苯又?，教師讓學生動手操作來驗證這個問題，然后拋出第二個問題：每回只能烙兩張餅，每張餅的正反面要分別烙，烙熟一面用時3分鐘，問烙熟兩張餅需要多久？師：“請你們仔細對比前后兩個問題，有什么異樣？”生2：“已知條件完全相同，問題有區(qū)別，第二次是烙兩張餅。”教師表揚生2，再次讓學生動手操作實踐，小組合作探究，然后匯報展示。結果6個小組得到的答案都是“6分鐘”。師：“我有兩種烙餅的方法，方法A：先烙熟第一張餅的正面，再烙熟它的反面;然后烙熟第二張餅的正面;最后烙熟第二張餅的背面。方法B：先烙熟第一張餅的正面，然后烙熟第二張餅的正面，再同時一次性烙熟兩張餅的背面。你們覺得以上兩種方案合理嗎？分別需要花費多長時間？跟你們策劃的方法相比，誰更好？為什么？”生3：“這兩種方法都可行，分別耗時12分鐘和9分鐘?！鄙?：“我們小組策劃的操作方案更好，更省時?！睅煟骸澳銈兌己苡兄饕?，那么怎么做才省時？省時有什么好處？”生5：“我們每次烙餅時平底鍋的鍋底都充分利用了，擠滿了兩張餅;而之前采用的方法烙餅鍋底仍有空閑空間，這樣效率降低。”生6：“省時當然好，可以提前吃到餅;節(jié)省下來的時間，可以做別的事，還可以節(jié)省燃煤燃氣?！?/p>

二、用表格數據總結淺顯的規(guī)律

教師呈現第三個問題：每次只能烙兩張餅，每張餅的正反面分別烙熟，烙熟一面耗時3分鐘，如果要烙熟三張餅，共需花費幾分鐘？教師讓學生先獨立思考，大膽猜想，然后動手驗證，交流學習，并把烙餅方法形成文字材料，最后指派學生代表演示烙餅方法。第1、3、4、6組：花費12分鐘。開始同時烙餅1、2的正面，待正面烙熟后，再烙餅1、2的反面，然后分兩次烙熟餅3的正反面。第2、5組：花費9分鐘。先烙熟餅1、2的正面，然后同時烙熟餅1的反面和餅3的正面，最后烙熟餅2、3的反面。師：“通過對比可以發(fā)現，第2、5組的烙餅方法更精妙，請這兩組的同學陳述一下設計思路?！鄙骸拔覀兘M開始也采用常規(guī)方法，但是發(fā)現烙餅3時，鍋底有閑置空間;后來反復琢磨發(fā)現：如果第二次撤下一張餅的反面，代之以餅3的正面，那么最后就可以同時烙兩張餅的反面?！睅煟骸把灾欣恚磥砝语灂r我們應該統(tǒng)籌考慮、合理規(guī)劃，盡量每次都是烙兩張餅，有效利用鍋底空間?！敝链吮菊n的教學難點已經突破，教材中的問題得以解決。教師還設計了表格數據以揭示規(guī)律。

教師指導學生分析餅的數量與烙制時間的對應關系：當餅的數量多于1張時，最少時間=餅的數量×烙餅一面所需的時間。

聽到這里，筆者心里打鼓，這個規(guī)律有必要歸納出來嗎？這個規(guī)律不具有普遍性，如果每次烙餅的條件都是“一次只能烙兩張餅”，那肯定適用，但是限制條件一旦有變，又該怎么辦？

三、延伸拓展，尋求通用性公式

可以說執(zhí)教老師已經成功地完成教學，她合理地加工改編了課本素材，讓學生深入理解烙餅問題的意思，然后通過提取主干，使學生能自覺思索、主動操作、歸納總結。倘若把限制條件“一次只能烙兩張餅”改成“一次能烙3張（或者更多張）餅”，最短用時又是多少呢？此時，前面總結出的規(guī)律早已失效，如果再次進行拓展研究，二次實踐驗證，時間不夠，也超出了學生的接受能力。那么能否在“一次只能烙兩張餅”的限制下，總結出更普遍的規(guī)律呢？

四、思維升華，建立一般模型

經過深思熟慮，筆者發(fā)現可以定性地得出更一般的規(guī)律。在限制條件是“一次只能烙兩張餅”時已經得出：當每次烙餅時煎鍋里隨時保持兩張餅的任務量，所費時間最短。此時可以引發(fā)三問：（1）所有烙餅需要烙制的總面數是多少？學生會很快得出結果：餅的張數×2。（2）為了提高效率，每次保證鍋底有兩張餅，需要烙幾次？這也很容易求解：總面數÷每回能烙的面數。（3）烙完所有餅面需要多久？也很容易算出結果：烙的總次數×烙熟一面所需時間。這個時間即是最優(yōu)化的時間。回答完這三個問題，就大致可以建立起烙餅所需時間模型：（1）需烙的面數=餅數×2;（2）需烙餅的次數=需烙餅的面數÷每次能烙的面數（有余數則采用“進一法”取近似值）;（3）最少時間=需烙的總次數×烙一面餅需花費的時間（模型適用的條件是：煎鍋一次性放不下所有烙餅，煎鍋一次性能放下所有烙餅，一律烙兩次）。這個模型不但適用于一次只能烙兩張餅的限制條件，對于“一次能烙3張（或者更多張）餅”的限制條件一樣適用。模型中的第二步計算會出現余數，一旦有余數就要采用“進一法”核算，這樣這個模型就具有普適性。只要這個模型建立起來，且只是求算最短時間，還是很好掌握的。

最后，筆者還發(fā)現，這個模型還能反推烙制流程，結論是：在模型中的第二步計算，算出總次數=總面數÷每次同時烙的面數，（1）當這個結果沒有余數，且是偶數時，就一正一反一直烙到最后所有反面;如果是奇數，則必須在倒數第二次烙制上一批所有反面時撤換面餅;（2）當這個次數有余數，商是偶數時，必須在倒數第二次時調換正反面下鍋次序;若商是奇數，則按照先正后反的順序逐步烙完。對于這些在此就不一一展開講解了。