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        含參數(shù)的一元二次不等式的分類求解策略

        2021-09-22 15:47:08梁東

        【摘 要】解含參數(shù)的一元二次不等式的主要難點(diǎn)在于分類討論,除了常用的三種分類方法:對二次項(xiàng)系數(shù)a的討論、對判別式?的討論、按方程ax2+bx+c=0的根x1,x2的大小來分類,本文還介紹了一種“通法”。

        【關(guān)鍵詞】一元二次不等式;含參數(shù);解法;分類討論

        【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437(2021)16-0088-02

        一元二次不等式作為基礎(chǔ)不等式,在高中數(shù)學(xué)中有非常廣泛的應(yīng)用。它的解法不但將二次函數(shù)、二次方程和二次不等式密切聯(lián)系起來,體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合,而且是導(dǎo)數(shù)中求單調(diào)區(qū)間、極值、最值的常用工具[1]。對含參數(shù)的一元二次不等式的求解,始終是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn),學(xué)生往往不清楚該如何對參數(shù)進(jìn)行分類討論。對含參數(shù)的一元二次不等式常用的分類求解方法有三種[2],下面通過四個(gè)例子指出其中的奧妙。

        1? ?對二次項(xiàng)系數(shù)a的討論

        若二次項(xiàng)系數(shù)a含有參數(shù),則需要對a的符號分類,即分a>0,a=0,a<0。

        例1:解關(guān)于x的不等式:ax2?(2a+1)x+2<0(a∈R)。

        解析:二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù),因此須對a的符號進(jìn)行討論。

        解:原不等式可化為(ax?1)(x?2)<0。

        ①當(dāng)a>0時(shí),原不等式等價(jià)于(x?2)(x?)<0。

        ∵ (x?2)(x?)=0的兩個(gè)根分別是2,,

        ∴ 當(dāng)a∈(0,)時(shí),2<,則ax2?(2a+1)x+2<0的解集是{x|2

        當(dāng)a=時(shí),ax2?(2a+1)x+2<0的解集是 ?;

        當(dāng)a∈(,+∞)時(shí),<2,則ax2?(2a+1)x+2<0的解集是{x|

        ②當(dāng)a=0時(shí),原不等式為?x+2<0,解得x>2,即ax2?(2a+1)x+2<0的解集是{x|x>2}。

        ③當(dāng)a<0時(shí),ax2?(2a+1)x+2<0等價(jià)于(x?2)(x?

        )>0,由于<2,故ax2?(2a+1)x+2<0的解集是{x|x<或x>2}。

        綜上所述,當(dāng)a<0時(shí),ax2?(2a+1)x+2<0的解集為{x|x<或x>2};

        當(dāng)a=0時(shí),ax2?(2a+1)x+2<0的解集為{x|x>2};

        當(dāng)0

        };

        當(dāng)a=時(shí),ax2?(2a+1)x+2<0的解集為?;

        當(dāng)a>時(shí),ax2?(2a+1)x+2<0的解集為{x|

        2? ?對所對應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類

        若判別式?=b2?4ac中含有參數(shù),無法確定所對應(yīng)方程根的個(gè)數(shù),則需要對判別式?的符號分類,即分?>0,

        ?=0,?<0。

        例2:解關(guān)于x的不等式x2+ax+5≤0。

        解析:由于判別式?=a2?20中含有參數(shù),因此須對?的符號進(jìn)行討論。

        解:∵ ?=a2?20,

        ∴ 當(dāng)a∈(?,)即?<0時(shí),不等式的解集為 ?;

        當(dāng)a=±即?=0時(shí),不等式的解集為{x|x=?};

        當(dāng)a>或a0,對應(yīng)方程的兩根分別為x1= ,x2= ,顯然x1> x2,

        ∴ 不等式的解集為

        3? ?按方程ax2+bx+c=0的根x1,x2的大小來分類

        若不等式對應(yīng)的方程的根為x1,x2,且其中含有參數(shù),則須對x1,x2的大小分類,即分x1> x2,x1=x2,x1< x2。

        例3:解關(guān)于x的不等式12x2?ax>a2(a∈R)。

        解析:不等式可分解為(4x+a)(3x?a)>0,故只需比較兩根與的大小。

        解:原不等式可化為12x2?ax?a2>0,即(4x+a)(3x?a)>0。

        令(4x+a)(3x?a)=0,解得x1=,x2=。

        ①當(dāng)a>0時(shí),<,不等式的解集為{x|x<或x>};

        ②當(dāng)a=0時(shí),x2>0,不等式的解集為{x|x∈R,且x≠0};

        ③當(dāng)a<0時(shí),>,不等式的解集為{x|x<或x>}。

        綜上所述,當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集為{x|x<或x>};當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為{x|x∈R,且x≠0};當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為{x|x<或x>}。

        上面三個(gè)例子,分別代表了含參數(shù)的一元二次不等式求解的三種常見的類型,但如果參數(shù)涉及多種類型的討論,那么分起類來就會難以把握。如何掌握好分類討論的層次呢?一般按下面的次序進(jìn)行討論:首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號進(jìn)行分類;其次根據(jù)根的個(gè)數(shù),即?的符號進(jìn)行分類;最后在根存在的前提下,再根據(jù)根的大小進(jìn)行分類。通過對上述三個(gè)例子的解題過程進(jìn)行分析,可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)簡易的分類方法:根據(jù)一元二次不等式中二次項(xiàng)系數(shù)等于0和判別式等于0時(shí)所得到的值作為數(shù)軸的分點(diǎn),然后對參數(shù)進(jìn)行分區(qū)間討論。

        例4:解關(guān)于x的不等式:(a2?1)x2?3ax+3<0

        解:(a2?1)x2?3ax+3<0? ? ? ? ? ? ? (*)

        a2?1=0a=1或a=?1;

        ?=(?3a)2?4×(a2?1)×3=0a=2或a=?2;

        ∴當(dāng)a0且?<0,(*)解集為?;

        當(dāng)a=?2時(shí),a2?1>0且?=0,(*)解集為?;

        當(dāng)?20且?>0,(*)解集為(,);

        當(dāng)a=?1時(shí),(*)3x+3<0x

        當(dāng)?10,(*)解集為(?∞,)∪(,+∞);

        當(dāng)a=1時(shí),(*)?3x+3<0x>1,(*)解集為(1,+∞);

        當(dāng)10且?>0,(*)解集為(,);

        當(dāng)a=2時(shí),a2?1>0且?=0,(*)解集為?;

        當(dāng)a>2時(shí),a2?1>0且?<0,(*)解集為?。

        綜上,可知當(dāng)a≤?2或a≥2時(shí),(*)解集為?;

        當(dāng)?2

        當(dāng)a=?1時(shí),(*)解集為(?∞,?1);

        當(dāng)?1

        (,+∞);

        當(dāng)a=1時(shí),(*)解集為(1,+∞);

        通過上面的例子,可以體會到這類問題的“通法”有一定的便捷性。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]張娟,杜以海.含字母參數(shù)的一元二次不等式的解法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版),2010(20).

        [2]李軍文.“含參數(shù)一元二次不等式的解法”教學(xué)設(shè)計(jì)及體會[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2012(8).

        【作者簡介】

        梁東(1979~),男,漢族,廣東信宜人,本科,高中數(shù)學(xué)一級教師。研究方向:中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

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