林運來

（廈門大學附屬實驗中學，福建 漳州 363123）

2021 年福建省中考數(shù)學試卷（以下簡稱“福建卷”）命制秉承了近年來中考數(shù)學命題的優(yōu)點，考查知識點覆蓋面廣，題型穩(wěn)定凸顯數(shù)學思想、思維能力、核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了福建中考命題的連續(xù)性，體現(xiàn)了課程標準的理念.

一、突出學科特色，發(fā)揮育人功能

在考試核心功能上，福建卷突出學科特色，回歸“育人”本位，落實立德樹人根本任務，體現(xiàn)了鮮明的民族性和時代性.

（一）結(jié)合時代特征，關(guān)注優(yōu)秀傳統(tǒng)文化

例1（第23 題）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利.面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣(C2A1,A2B1,B2C1)獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的經(jīng)典案例.

假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率；

（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率.

簡析：數(shù)學教育不可能完全割裂歷史，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是重要的數(shù)學課程資源.“田忌賽馬”的故事出自《史記》卷六十五：《孫子吳起列傳第五》，故事的主角是田忌、孫臏和齊威王，是中國歷史上有名的揭示如何善用自己的長處去對付對手的短處，從而在競技中獲勝的事例.本題從“概率”角度賦予“田忌賽馬”的故事以新的活力，其一傳承了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，其二考查了考生的推理能力和應用意識.試題強化了數(shù)學文化的傳承和數(shù)學應用意識的培養(yǎng)，有助于激發(fā)學生民族自豪感，引導學生思考、領(lǐng)悟和汲取蘊含在中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的民族精神和民族智慧，形成現(xiàn)實生活與優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的互動，并潛移默化地引導學生學習和掌握其中的思想精華.

（二）理論聯(lián)系實際，關(guān)注現(xiàn)實生產(chǎn)生活

例2（第6 題）某市2018 年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開展植樹造林活動，2020 年底森林覆蓋率達到68%.如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x.那么，符合題意的方程是（ ）.

A.0.63(1+x)=0.68 B.0.63(1+x)2=0.68

C.0.63(1+2x)=0.68 D.0.63(1+2x)2=0.68

簡析：本題以某市森林覆蓋率這一現(xiàn)實生活中的真實素材設計問題情境，貼近學生生活，背景公平，富有時代氣息，體現(xiàn)了“數(shù)學與人類生活和社會發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)”.試題自然地融入“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，體現(xiàn)了中考命題關(guān)注國計民生，有助于引導考生在問題解決中更好地認識和把握人與自然的關(guān)系，體會數(shù)學的價值.

（三）合理創(chuàng)設情境，引導體育教育

例3（第13 題）某校共有1000 名學生.為了解學生的中長跑成績分布情況，隨機抽取100 名學生的中長跑成績，畫出條形統(tǒng)計圖，如圖1.根據(jù)所學的統(tǒng)計學知識可估計該校中長跑成績優(yōu)秀的學生人數(shù)是______.

圖1

簡析：本題以學生常見的“某校學生中長跑成績”創(chuàng)設問題情境，有利于激發(fā)考生解題的激情，真切感受到數(shù)學就在我們身邊.試題考查了運算求解能力，考查了樣本估計總體的統(tǒng)計基本思想，突出了數(shù)學知識與生活實踐的聯(lián)系，考查基本活動經(jīng)驗.命題者將體育運動與學生的體育鍛煉與數(shù)學基礎知識有機結(jié)合，有助于發(fā)揮數(shù)學學科在滲透體育教育元素中的引導作用.

二、注重數(shù)學本質(zhì)，考查關(guān)鍵能力

關(guān)鍵能力是指在面對與學科相關(guān)的生活實踐或?qū)W習探索問題情境是，高質(zhì)量地認識問題、分析問題、解決問題所必需具備的能力［1］.在考查內(nèi)容上，福建卷最大的特點是注重學科本質(zhì)，突出關(guān)鍵能力考查.

（一）考查數(shù)學閱讀理解能力

數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，有自己的語言.由于數(shù)學語言的特殊性，使得數(shù)學閱讀既有一般閱讀的共性，更有自身的個性：（1）數(shù)學語言的抽象性要求閱讀者具有較強的邏輯思維能力；（2）數(shù)學語言的精確性要求閱讀者反復地咬文嚼字；（3）數(shù)學語言的嚴謹性要求閱讀者將眼、口、手、腦同步使用；（4）數(shù)學語言的多樣性要求閱讀者有效地進行（文字、圖形、符號）語言轉(zhuǎn)換［2］.所以，對數(shù)學語言進行有效的轉(zhuǎn)換在很大程度上影響考生的閱讀活動和解題思路.

例4（第5 題）某校為推薦一項作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對甲、乙、丙、丁四項候選作品進行量化評分，具體成績（百分制）如下表：

如果按照創(chuàng)新性占60%，實用性占40%計算總成績，并根據(jù)總成績擇優(yōu)推薦，那么應推薦的作品是（ ）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

簡析：本題考查了加權(quán)平均數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力、統(tǒng)計等數(shù)學思想，突出考查數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).考生需要具備良好的數(shù)學閱讀素養(yǎng)，才能從情境中提取關(guān)鍵信息，抽象出本題的實質(zhì)：計算加權(quán)平均數(shù).試題有助于引導學生知道生活中有許多問題可以通過收集數(shù)據(jù)、系統(tǒng)分析，得到某些能為我們決策作依據(jù)的結(jié)論，從中感悟統(tǒng)計思維與思想方法，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念.解答時，對于數(shù)據(jù)的讀取不能單單讀取數(shù)據(jù)本身，應當是數(shù)據(jù)之間的讀取，找到表中數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，不需計算而直接得出正確選項.試題立意源于課本，對于立足課本、重點掌握和理解課本內(nèi)容的教學要求具有很好的導向作用.

（二）考查批判性思維能力

批判性思維是當今教育的重要目標之一，具有重要的教育價值［3］.批判性思維能力是指面對各種問題情境，運用已有知識經(jīng)驗進行審慎思考、分析推理、評價重構(gòu)等的多種能力，這是學生解決問題的重要能力［4］.

例5（第25 題）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個公共點.

（1）若拋物線過點P(0,1)，求a+b的最小值；

（2）已知點P1(-2,1)，P2(2,-1)，P3)x,1)中恰有兩點在拋物線上；

①求拋物線的解析式；

②設直線l∶y=kx+1 與拋物線交于M，N兩點，點A在直線y=-1 上，且∠MAN=90°，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和l于點B，C.

求證：△MAB與△MBC的面積相等.

簡析：本題第（1）問面向全體學生，要求考生通過已知條件先找出a與b的等量關(guān)系，再通過換元，利用配方法求出a+b的最小值.第（2）問中第①問在設問方式上有所創(chuàng)新，學生需要冷靜分析情境，甄別有用條件，判斷得出P1，P2，P3中哪兩個點在拋物線上；第②問所證結(jié)論簡潔、清晰，使得考生目標明確.試題綜合性強，要求考生靈活運用一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積等基礎知識解決問題，突出考查考生的運算能力、推理能力、空間觀念與幾何直觀和創(chuàng)新意識，對考生思維的條理性和嚴密性提出了較高的要求，有助于引導考生進行批判性思維實踐，并獲得一定的批判性思維成果，這一過程也是創(chuàng)新思維培養(yǎng)的有效途徑.

例6（第15 題）已知非零實數(shù)x，y滿足則的值等于______.

簡析：本題的考查目標不僅僅是看學生能否解得正確結(jié)果，更是考查學生在解題過程中如何選擇解題途徑，不同的學生會有不同的理解，不同的感悟，選擇的方法就會各有特色.試題的設計給不同水平的考生提供了展示能力的平臺.

解法1 從“條件”入手，直接代入化簡求值，解法2對“條件”進行等價轉(zhuǎn)化再代入求值，解法3 抓住填空題的特點，利用特殊值法求解.這就啟示我們，解題時不僅要考慮“找到關(guān)系”，更要考慮找到的“關(guān)系”能否與題目的“條件”或“結(jié)論”產(chǎn)生聯(lián)系，找尋更簡潔的解法，從中發(fā)展學生思維的廣闊性和靈活性.

（三）考查實踐操作能力

例7（第22 題）如圖2，已知線段MN=a，AR⊥AK，垂足為A.

（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK，AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD‖AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）設P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB，CD的中點，求證：直線AD，BC，PQ相交于同一點.（見圖2）

圖2

簡析：本題考查尺規(guī)作圖、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等基礎知識，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化等思想.

本題第（1）問雖是一道考查實踐操作的作圖題，但是考查的核心在于“推理”，要求考生根據(jù)題設條件開展數(shù)學思維和數(shù)學探究活動，合理地組織、調(diào)動各種相關(guān)知識與能力，分析結(jié)果，弄清楚作圖過程中的“因、果、由因得果的依據(jù)”，尋求有效的問題解決方法，并最終通過“作圖痕跡”呈現(xiàn)出“作圖過程中的邏輯”，進而“形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神”［5］.

三、引領(lǐng)教學改革，促進素養(yǎng)落地

發(fā)展學生的理性思維，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界，成為善于認識和解決問題的人才，是數(shù)學課程的主要任務.從福建卷試題特點分析可知，考查學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)已成為命題的明確導向，為數(shù)學教學中培育學生學科核心素養(yǎng)，促進學生學以致用，提升學生的創(chuàng)新思維與能力提供了有益啟示.

（一）關(guān)注現(xiàn)實應用，以真實情境促進學生學以致用

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是學生在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中發(fā)展的，而這一過程主要在真實的問題情境中實現(xiàn).這就要求教師要有問題解決的整體觀，善于創(chuàng)設真實、復雜的問題情境，提高學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.

例8（第20 題）某公司經(jīng)營某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是70 元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是40 元.

（1）已知該公司某月賣出100 箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤4600 元，問：該公司當月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少？

（2）經(jīng)營性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營1000 箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問：應如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤最大？最大總利潤是多少？

簡析：本題考查列方程（組）解應用題、二元一次方程組的解法、一次函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查運算能力、應用意識，考查函數(shù)與方程思想.試題基于真實問題情境，設計典型任務，考查考生快速閱讀、及時提取有效信息及應用能力，試題有助于揭示數(shù)學與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，凸顯數(shù)學知識的廣泛應用和巨大價值.希望我們的課堂中出現(xiàn)更多真實且實用的問題情境，促進學生更好地學以致用［6］.

（二）注重適度創(chuàng)新，以開放情境助力打破思維定式

習近平總書記指出：“創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達的不竭動力，也是中華民族最深沉的民族稟賦.”福建卷從課程改革的理念出發(fā)，充分體現(xiàn)數(shù)學在解決實際問題中的應用，以及數(shù)學與日常生活的密切聯(lián)系，檢測考生學以致用的能力，促進學生逐步形成和發(fā)展數(shù)學的創(chuàng)新意識與應用意識.

例9（第10 題）二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a＞0)的圖象過A(-3,y)，B(-1,y2)，C(2,y2)，D(4,y4)四個點，下列說法一定正確的是（ ）.

A.若y1y2＞0，則y3y4＞0

B.若y1y4＞0，則y2y3＞0

C.若y2y4＜0，則y1y3＜0

D.若y3y4＜0，則y1y2＜0

簡析：本題注重數(shù)與形之間的本質(zhì)聯(lián)系，要求考生利用函數(shù)的本質(zhì)特征，結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題.試題考查了考生以“數(shù)”（拋物線的解析式、點的坐標）精確地刻畫“形”（拋物線的對稱性、點的位置）、以“形”直觀地表達“數(shù)”的能力，體現(xiàn)了數(shù)學符號和語言的簡練優(yōu)美以及對考生準確理解、應用數(shù)學符號和語言表達數(shù)學問題的能力要求，為其創(chuàng)新思維的培養(yǎng)提供了發(fā)展空間.試題結(jié)構(gòu)簡潔，考查重點突出，在知識、方法上有所創(chuàng)新，為中學數(shù)學教學指引了方向：函數(shù)圖象具有直觀反映和描述函數(shù)的變化規(guī)律的工具作用，在研究函數(shù)的性質(zhì)時，借助圖象直觀可以將問題變得簡單、形象、具體，為解決問題探索思路.

綜上，2021 年福建省中考數(shù)學試卷命制依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》，又滲透了《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》“學科核心素養(yǎng)”的相關(guān)要求，還對接了“一核四層四翼”的高考命題要求，對推進中學課程改革、引導初中數(shù)學教學都將發(fā)揮積極作用.