◎李江華 (江蘇省蘇州市吳縣中學(xué),江蘇 蘇州 215151)

在蘇州市高二年級備課組長會(huì)議上，筆者開設(shè)了“矩陣的概念”公開課，受到一致好評，現(xiàn)將教學(xué)過程呈現(xiàn)給大家，請大家給予批評指正.

1 教學(xué)過程：

1.1 問題情境：

1.1.1 引子

視頻1：《黑客帝國》片段(時(shí)長47秒)

師：劇中的兩人在探討matrix是什么，它神秘且無處不在，由此提出：

問題1.matrix是什么？(板書“matrix”)

視頻2：《侏羅紀(jì)公園》片段(時(shí)長52秒)

問題2：影視傳媒中的逼真動(dòng)畫是怎么制作的？

【設(shè)計(jì)意圖】視頻1中截取電影的片頭以及電影中兩個(gè)人在討論matrix的片段，電影片頭出現(xiàn)時(shí)的背景是大量數(shù)字和字母，這為矩陣中的元素只能是數(shù)字和字母打下伏筆；視頻中討論的matrix神秘且無處不在，激發(fā)學(xué)生探索學(xué)習(xí)的興趣.視頻2中的片段體現(xiàn)了動(dòng)畫的逼真性，影視傳媒中的逼真動(dòng)畫是怎么樣制作的，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容的欲望.

師：接下來這節(jié)課將為這兩個(gè)問題逐步揭開神秘的面紗.

1.1.2 數(shù)學(xué)文化

師：有同學(xué)見過這兩幅圖嗎？

生：沒有.

師：相傳，大禹治水的時(shí)候，有一次在洛河引水疏通河道，從干涸的河底浮出一只可以馱起上百人的巨龜，大禹認(rèn)為這是一只神龜就將它放生了.不久后大龜騰云駕霧再次來到洛河，將一塊光芒四射的古老玉版獻(xiàn)給大禹，上面有一幅神秘的圖案，這張圖稱為“洛書”(又稱龜書).

在《易·系辭》以及朱熹的《易學(xué)啟蒙》中都提到過這幅圖.因?yàn)檫@兩幅圖有圖無字又神秘難解，人們又把它們叫作“無字天書”，古今中外很多學(xué)者都在研究這“無字天書”，不論他們的意見有多大的分歧，但是他們基本認(rèn)同：“河圖洛書”是中國先民思維的結(jié)晶，是中國古代文明的一個(gè)里程碑，稱其為“宇宙魔方”.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚就曾說過“洛書可能作為我們和另外一個(gè)星球交流的媒介”，可以說洛書在數(shù)學(xué)史上有十分重要的地位.“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五居中央”說的就是洛書，這也說明這些數(shù)字排列時(shí)是有規(guī)律、有次序的.

師：用數(shù)字表示出來就是這樣一個(gè)數(shù)字方陣，你能看出它有什么規(guī)律嗎？

生：橫、豎、斜數(shù)字相加都是15.

師：當(dāng)然它的數(shù)字規(guī)律遠(yuǎn)不止同學(xué)們看到的這么簡單，有興趣的同學(xué)課后可以去網(wǎng)絡(luò)或者其他資料上去查一查“洛書”的數(shù)字特征，你會(huì)發(fā)現(xiàn)還有很多神奇的數(shù)字規(guī)律.

【設(shè)計(jì)意圖】河洛文化，出現(xiàn)了歷史上最早的數(shù)陣，有意識地告訴學(xué)生，這里數(shù)字要講順序，為后面矩陣元素講順序做好鋪墊.通過讓學(xué)生了解中國古代數(shù)學(xué)文化，展示中國古代文明的魅力，感受中國文化的優(yōu)越性，增強(qiáng)民族自信、文化自信，可以立德樹人.

師：公元1514年，在德國出現(xiàn)了一幅世界名畫《憂郁》，它的作者是一位精通數(shù)學(xué)的畫家阿爾布雷特·丟勒.在這幅木刻畫右上角有一個(gè)4行4列的矩形數(shù)表，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“丟勒幻方”.說到幻方，史學(xué)家認(rèn)為幻方出自中國，源于洛書，到了15世紀(jì)才傳到歐洲.

這樣的數(shù)字方陣又被稱為“縱橫圖”或者“魔方”.同學(xué)們在生活中還見過哪些類似的數(shù)字方陣或者矩形數(shù)表呢？

生：隨機(jī)數(shù)表、火車時(shí)刻表、數(shù)獨(dú)(備注：教師在這里簡單的介紹“數(shù)獨(dú)”的歷史，它是源于18世紀(jì)初歐拉的“拉丁方陣”)

【設(shè)計(jì)意圖】通過著名的“丟勒幻方”進(jìn)行中外數(shù)學(xué)文化的滲透，同時(shí)按照時(shí)間軸線，將數(shù)字方陣演變成矩形數(shù)表，這為后面學(xué)生利用矩陣解決實(shí)際問題做了很好的鋪墊，有效突破教學(xué)難點(diǎn).在學(xué)生舉例 “數(shù)獨(dú)”游戲時(shí)，教師進(jìn)一步介紹其歷史，進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透.通過學(xué)生舉例，培養(yǎng)他們會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

1.1.3 學(xué)生活動(dòng)1

活動(dòng)1.1：將點(diǎn)P(1,3)的坐標(biāo)表示為矩形數(shù)表；

活動(dòng)1.2：電視臺(tái)舉辦歌唱比賽，甲乙兩名選手初、復(fù)賽成績?nèi)缦卤恚?/p>

初賽復(fù)賽甲8090乙6085

請將表中的數(shù)據(jù)按照原來的位置排成一張矩形數(shù)表.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自己動(dòng)手表示出矩形數(shù)表，體會(huì)到數(shù)字的順序性很重要，否則與實(shí)際意義不符；也為后面矩陣的具體應(yīng)用做了一個(gè)好的示范，要想表示生活中的矩陣，得到矩形數(shù)表是關(guān)鍵，有效突破了教學(xué)難點(diǎn).同時(shí)通過活動(dòng)1.3為后面數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生矩陣的背景做好鋪墊，因?yàn)榫仃嚨漠a(chǎn)生背景正是為了解決線性方程組的問題.

1.1.4 數(shù)學(xué)史

師：矩陣的英文單詞正是前面視頻中兩位劇中人物探討的，神秘且無處不在的東西——matrix.

【設(shè)計(jì)意圖】通過數(shù)學(xué)史的介紹，一方面讓學(xué)生知道矩陣在歷史上產(chǎn)生的過程，了解相關(guān)的人和事，起到立德樹人的效果；另一方面讓學(xué)生了解引子中matrix的第一層面紗——中文意思.

1.1.5 學(xué)生活動(dòng)2

師：那么究竟這個(gè)神秘又無處不在的矩陣是什么呢？我們今天就來研究矩陣的概念.類比我們在函數(shù)中所學(xué)冪函數(shù)的形式定義，你能給出矩陣的形式定義嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過類比數(shù)學(xué)家書寫的矩陣，讓學(xué)生完成矩陣的書寫，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力；同時(shí)通過類比冪函數(shù)的形式定義，讓學(xué)生構(gòu)建矩陣的概念，降低了難度，還讓學(xué)生體會(huì)了概念的生成過程，在這里體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)思想.

1.2 建構(gòu)數(shù)學(xué)

師：矩陣的概念、表示、書寫，矩陣的行、矩陣的列、矩陣的元素等概念(定義略).

思考1：矩陣(a23)與矩陣(a32)一樣嗎？

思考2：對于m×n矩陣，有多少個(gè)元素組成？

試一試：將前面的洛書的數(shù)字方陣和丟勒幻方表示成矩陣.

【設(shè)計(jì)意圖】把教材中概念的順序重新梳理，將第二種表示方法放在行、列、元素概念之后講解，更符合邏輯順序，更有利于學(xué)生的理解；通過兩個(gè)思考題加深同學(xué)們對概念的理解，通過試一試讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)矩陣的內(nèi)涵.

1.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1用矩陣表示下圖中的△ABC，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0).

例2某種水果的產(chǎn)地為A1,A2,銷地為B1,B2,請用矩陣表示產(chǎn)地Ai運(yùn)到銷地Bi的水果數(shù)量(aij)，其中i=1,2,j=1,2.

B1B2A1a11a12A2a21 a22

拓展請根據(jù)游戲“剪刀、石頭、布”游戲的規(guī)則，做出一個(gè)三階矩陣(勝用1表示，負(fù)用-1表示，平用0表示).

思考生活中有哪些問題可以用矩陣來表示？請列舉幾個(gè)，并和同學(xué)交流.

【設(shè)計(jì)意圖】例1，例2中用矩陣表示實(shí)際問題是本節(jié)課的難點(diǎn)，通過前面的鋪墊，學(xué)生很容易將問題轉(zhuǎn)化為矩形數(shù)表，進(jìn)而得到矩陣，有效地突破教學(xué)難點(diǎn).其中例1體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，例2與拓展培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

1.4 數(shù)學(xué)再建構(gòu)

師：剛才例2拓展中有沒有同學(xué)得到的答案不一樣？他們是相等矩陣嗎？ 是不是兩個(gè)矩陣中的元素相同時(shí)，矩陣就相等呢？

師：由此我們可以給相等矩陣下個(gè)定義了(定義略)，其中行數(shù)和列數(shù)都相同的矩陣我們把它叫作同型矩陣.

1.5 數(shù)學(xué)再運(yùn)用

練習(xí)

1.設(shè)矩陣A為二階矩陣，其元素滿足aij=-aji,i=1,2,j=1,2,a12-a21=1，試求A.

2.下面是由4個(gè)點(diǎn)A,B,C,D和連接它們的一些線組成的一個(gè)圖.試用矩陣M表示這4點(diǎn)間的直接連線條數(shù)(說明：同一個(gè)點(diǎn)之間的直線條數(shù)為0，如A到A之間直線條數(shù)記為0).

【設(shè)計(jì)意圖】通過例3加強(qiáng)學(xué)生對相等矩陣概念的理解，通過兩個(gè)練習(xí)體會(huì)矩陣的應(yīng)用，練習(xí)2是著名的七橋問題，利用數(shù)學(xué)名題目進(jìn)行文化滲透.

1.6 數(shù)學(xué)再建構(gòu)

師：我們知道數(shù)字中最特殊的一個(gè)數(shù)是什么？

生：0.

師：類比數(shù)字中特殊的數(shù)0，矩陣中會(huì)不會(huì)也有一個(gè)類似特殊的矩陣呢？你會(huì)定義嗎？

生：零矩陣，所有元素都是0的矩陣.

師：非常好，請注意它的寫法.

思考0矩陣都相等嗎？

生：不是的，要看行和列.

【設(shè)計(jì)意圖】因?yàn)檫@個(gè)概念比較簡單，故在課堂最后的時(shí)候呈現(xiàn)這個(gè)概念，通過類比學(xué)生很容易給出定義，體現(xiàn)了類比思想.

1.7 課堂小結(jié)(略)

1.8 課堂結(jié)束語

師：我們身邊的矩陣：

李開復(fù)在卡內(nèi)基·梅隆大學(xué)攻讀博士時(shí)，用隱馬爾可夫模型開發(fā)了語音識別系統(tǒng)，將英文識別率提升到96%左右，并且由此榮獲了1988年《商業(yè)周刊》授予的“最重要科學(xué)創(chuàng)新獎(jiǎng)”.目前計(jì)算機(jī)處理的都是數(shù)字信號，而信號在計(jì)算機(jī)中就是以矩陣的方式存儲(chǔ)的，常見的語音信號就是一個(gè)一維矩陣，圖像信號就是一個(gè)二維矩陣，視頻則可以看成是由一幀幀的圖像所組成的三維矩陣.動(dòng)畫為什么這么逼真，是因?yàn)橛玫搅司仃嚨某朔ǎ瑒?dòng)畫背后就涉及數(shù)量驚人的矩陣運(yùn)算，引子中的兩個(gè)問題的神秘面紗終于揭開了.

最近，在上海舉辦的第94期院士沙龍“人工智能助力城市安全”專題活動(dòng)中，徐匡迪院士呼吁更多的數(shù)學(xué)家投身到算法研究中去.因?yàn)槿斯ぶ悄艿幕菙?shù)學(xué)，其核心是算法，而算法中最基本的運(yùn)算是矩陣運(yùn)算.希望同學(xué)們學(xué)好矩陣，學(xué)好數(shù)學(xué)，將來為我國的人工智能助力，為我國的科技發(fā)展助力.最后送大家一句培根的名言——數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙.

【設(shè)計(jì)意圖】首先在結(jié)構(gòu)上與本課的引子相呼應(yīng)，保持結(jié)構(gòu)的完整，其次通過了解矩陣在我們身邊的具體應(yīng)用，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)好矩陣，學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣，最終達(dá)到立德樹人的效果.

2 教學(xué)感悟

(1)以課堂為載體滲透數(shù)學(xué)文化

課堂教學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)知識的主要途徑，對數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，應(yīng)更多地體現(xiàn)在課堂教學(xué)之中.正如張奠宙先生所說“數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂”，數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵往往以潛移默化的形式存在，只有教師有意識地將文化觀念滲透于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中，才能讓學(xué)生感悟這種“看不見的文化”.[1]數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)狀不容樂觀，大部分教師都是按照課本的要求進(jìn)行教學(xué)，很少有教師尋求這一部分知識在歷史上是怎么出現(xiàn)的.著名數(shù)學(xué)家柯朗在《數(shù)學(xué)是什么》的序言中這樣寫道：“今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機(jī).數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)勢竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練.數(shù)學(xué)研究已出現(xiàn)一種過分專門化和過于強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢，而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系.”數(shù)學(xué)的文化教育價(jià)值在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中沒能充分體現(xiàn)出來，我們只是教給學(xué)生知識的結(jié)果而忽略了知識的生成過程，這樣的知識體系就是無根之木，無源之水.[2]因此在數(shù)學(xué)課堂中，進(jìn)行數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合研究是非常必要的.本節(jié)課筆者的設(shè)計(jì)意圖是從上古時(shí)期“河洛文化”的數(shù)字方陣開始，演變到16世紀(jì)的“丟勒幻方”，再到19世紀(jì)矩陣的產(chǎn)生，進(jìn)而讓學(xué)生構(gòu)建矩陣的概念.

(2)以數(shù)學(xué)文化為抓手進(jìn)行德育教育

當(dāng)前，我國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)開始強(qiáng)調(diào)過程性課程目標(biāo)(問題解決、強(qiáng)調(diào)體驗(yàn)、數(shù)學(xué)思考)，強(qiáng)化學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，同時(shí)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，而不是局限于對靜態(tài)知識的記憶和模仿.面對新課標(biāo)，我們教師也要改變教育理念，教學(xué)方法.當(dāng)今國際數(shù)學(xué)課程普遍重視數(shù)學(xué)課程應(yīng)具有的數(shù)學(xué)文化價(jià)值，重視學(xué)生人文教育，關(guān)注學(xué)生的“人文雙基”教育，關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀教育，這要求教師在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，為學(xué)生的健全人格的培養(yǎng)提供有力的支撐，為培養(yǎng)新時(shí)代的創(chuàng)新型人才提供可能.[3]本文通過文化背景介紹，讓學(xué)生明確矩陣的發(fā)展階段，并從歷史的角度明確矩陣的來源和應(yīng)用，為學(xué)生的深刻認(rèn)識做好鋪墊.從矩陣產(chǎn)生的歷史，聯(lián)系到課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.最后與學(xué)生分享成功者的事例，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值、美學(xué)價(jià)值，提高學(xué)生的文化素養(yǎng)，這樣就把數(shù)學(xué)文化的理念扎扎實(shí)實(shí)落實(shí)到課堂教學(xué)中.