◎張小娟 (江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)楊廟鎮(zhèn)中心中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225125)

引 言

初中數(shù)學(xué)包括很多的圖形內(nèi)容.“數(shù)與代數(shù)”中有函數(shù)圖、數(shù)軸圖、統(tǒng)計(jì)圖、概率圖等，“空間和圖形”就更離不開圖形了.學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，不但要把問題中的圖讀懂，同時(shí)還要會(huì)畫圖和尺規(guī)作圖.在數(shù)學(xué)中，畫圖解題是一種有效的方法，是把數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、技能、邏輯思維和方法結(jié)合起來的一種解題方式.教學(xué)中，教師應(yīng)該應(yīng)用有效的教學(xué)方法，注重學(xué)生畫圖解題能力的培養(yǎng)，進(jìn)而不斷地提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課堂的喜愛程度.

一、培養(yǎng)學(xué)生審題習(xí)慣

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的好習(xí)慣.審題是解數(shù)學(xué)題的基礎(chǔ)也是關(guān)鍵，通過審題學(xué)生可以找到解題的思路和方法.因此，在解題的過程中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生找出問題中的已知條件以及需要解決的問題，這樣學(xué)生在做題時(shí)才可以充分地把握題意，有效提高解題效率.

二、數(shù)學(xué)問題中的畫圖分類

(一)輔助圖和結(jié)果圖

輔助圖形在解題中起到輔助的作用，它可以讓問題清晰直觀地顯現(xiàn)出來，可以幫助答題者更快地理解問題、分析問題以及解決問題.在做選擇題、填空題的時(shí)候畫的圖形都是輔助圖形.

結(jié)果圖是在答題時(shí)作為答案的一部分保留下來的圖形.結(jié)果圖通常用在幾何題及函數(shù)題中，使用圖形來解答問題，需要保留一些必要的文字說明.

(二)準(zhǔn)確圖和示意圖

所畫圖形根據(jù)準(zhǔn)確程度不同，可以分為示意圖和準(zhǔn)確圖.用刻度尺、三角板和量角器等畫出的和題中所給的信息相符的圖形，是準(zhǔn)確圖.示意圖是簡(jiǎn)單明了、突出重點(diǎn)、忽略次要細(xì)節(jié)的圖，一般情況下畫示意圖不用畫圖工具.

畫準(zhǔn)確圖費(fèi)時(shí)但準(zhǔn)確，畫示意圖省時(shí)但不夠準(zhǔn)確.

(三)一般圖和特例圖

一般圖指一般情況下所畫的代表圖形.在解題時(shí)通常要畫一般圖，它可以用來解決計(jì)算與推理證明問題.特例圖指在特殊的情形下畫的圖形.特例圖可用于問題的探究猜測(cè)，并且可以得出結(jié)論.

三、畫圖解題能力的培養(yǎng)

(一)形成意識(shí)——知道畫

解決數(shù)學(xué)題時(shí)有兩種情況需要畫圖：一種是分析文字，畫圖作為解題基礎(chǔ)；另一種就是根據(jù)文字要求去畫圖.

例1關(guān)于x的不等式2x-a<6有三個(gè)自然數(shù)解，求a的取值范圍.

本題借助數(shù)軸可以直觀解答，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的作用.教師在教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題思維.

(二)理解概念——正確畫

有些題目涉及較多概念，只有正確理解概念，才能正確畫圖.

例2直升機(jī)在海拔500米的高空飛翔，測(cè)量出甲、乙兩船的俯角分別為45°和30°，甲、乙兩船分別在正西、正東方向，直升機(jī)與甲、乙兩船在同一垂面內(nèi)，甲船與乙船之間的距離是多少？

根據(jù)題意，正確理解題目中的俯角、同一垂面等概念，才能畫出符合題意的圖形.理解概念畫圖，是將文字轉(zhuǎn)換成圖像.因此，運(yùn)用幾何方法解題就是對(duì)文字和圖形進(jìn)行雙向轉(zhuǎn)換,可以輔助學(xué)生更好地解題.

(三)鞏固技能——熟練畫

根據(jù)教材要求，明確指出學(xué)生需要掌握的一些基本畫圖技巧.教學(xué)過程中，讓學(xué)生熟練掌握常用的畫圖技巧，可以使學(xué)生在做畫圖題時(shí)更輕松一些.

例3已知線段b.

1.使用不帶刻度的直尺與圓規(guī)，做出一個(gè)直角三角形ABC，AB與BC是△ABC的兩條直角邊，讓AB=b，BC=12b(保留做題痕跡，不寫作法)；

2.在1中的直角三角形ABC中，如果AB=4 cm，請(qǐng)計(jì)算出AC邊上的高.

根據(jù)題目要求，按照作圖的三個(gè)基本要素畫出一個(gè)精確圖，學(xué)生在完整作圖的基礎(chǔ)上要熟練掌握作圖的技巧和方法.

在畫圖任務(wù)中，也存在一些特殊情況，不能直接使用畫圖技巧，這對(duì)于學(xué)生而言會(huì)有些困難.

例4如右圖，MN是一條直線，點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)B在直線MN外，如果在MN上存在一個(gè)點(diǎn)P，要使△ABP為等腰三角形.請(qǐng)問，這樣的點(diǎn)P有多少個(gè)？

以某條線段為一邊做等腰三角形，該類題型有固定的畫圖步驟：(1)把AB當(dāng)作底邊時(shí)，畫出AB的中垂線，中垂線與直線MN的交點(diǎn)為所求點(diǎn).(2)把AB當(dāng)作腰時(shí)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑，畫出一個(gè)圓，圓與直線MN的交點(diǎn)為所求點(diǎn).

(四)圖感準(zhǔn)確——快速畫

圖感是對(duì)圖形的感知和認(rèn)知達(dá)到的熟練程度，良好的圖感能夠幫助學(xué)生更快更準(zhǔn)確地畫出示意圖.

例5在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，并且點(diǎn)P到A,B,C的距離都相等，試判斷△PBC的形狀.

從課堂學(xué)生畫圖的表現(xiàn)來看，大多數(shù)學(xué)生是可以畫出示意圖的，但是示意圖的準(zhǔn)確性不高.學(xué)生畫出的示意圖準(zhǔn)確性越高，解出題目的時(shí)間就越短.導(dǎo)致示意圖不標(biāo)準(zhǔn)的原因在于∠A的度數(shù)不標(biāo)準(zhǔn)，PA,PB及PC之間的長(zhǎng)度關(guān)系不準(zhǔn)確.對(duì)線段的長(zhǎng)度和角度把握不準(zhǔn)確，畫出的示意圖就會(huì)不標(biāo)準(zhǔn)，這就影響到學(xué)生的解題思路，降低解題效率，甚至導(dǎo)致解答錯(cuò)誤.

從簡(jiǎn)單的圖形位置和大小形狀開始，讓學(xué)生多多練習(xí)，提升學(xué)生觀察圖形的能力，以此來培養(yǎng)學(xué)生的圖感，提高解題效率.

(五)圍繞目標(biāo)——合理畫

畫圖的主要目的就是提供更好的解題思路，不同類型的圖能夠提供不同的解題思路.

例6已知△ABC，∠B與∠C的外角平分線相交于D點(diǎn)，∠A的度數(shù)為40°,求∠D.

解該題目時(shí)可以畫一般圖，然后按照三角形外角與內(nèi)角之間的關(guān)系，通過推理運(yùn)算，求出∠D的度數(shù).也可以畫特例圖，比如∠B為90°，那么每個(gè)角的度數(shù)都能夠很容易知道.還可以畫準(zhǔn)確圖，畫好之后再進(jìn)行測(cè)量，能夠知道∠D的度數(shù).但是，這樣比較浪費(fèi)時(shí)間，還不一定能夠準(zhǔn)確知道角的度數(shù).因?yàn)樵擃}目為填空題，通過特例圖能夠快速求出∠D的度數(shù).若它是一道解答題，則需要畫出一般圖.所以，老師要讓學(xué)生學(xué)生按照不同的題目類型畫不同的圖，還要讓學(xué)生懂得忽略無關(guān)緊要的因素，抓住重要條件來進(jìn)行畫圖.

例7拋物線y=x2+2x-1上有點(diǎn)(-3.5，y1)，(1.23，y2)，(π，y3)，比較y1,y2,y3的大小.

解決此類問題,畫示意圖比較好，只要確定拋物線的開口方向和對(duì)稱軸所處的大體位置，就可以很快地解出該題目.拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)和位置以及拋物線的形狀的準(zhǔn)確性可以不考慮.教師既要讓學(xué)生養(yǎng)成圍繞解題目標(biāo)合理畫圖的好習(xí)慣，又要讓學(xué)生通過不斷訓(xùn)練形成會(huì)忽略無關(guān)緊要因素的技能.

(六)考慮周全——完整畫

需要進(jìn)行畫圖的題目，主要有兩種：(1)對(duì)學(xué)生畫圖的能力進(jìn)行鍛煉并考查的題目；(2)圖形復(fù)雜多樣，解題思路不唯一的題目.所以，教師需要讓學(xué)生在畫圖過程中考慮一種題目多個(gè)圖形的可能.

例8兩個(gè)圓相交，其公共弦長(zhǎng)為24米，兩個(gè)圓的半徑分別是13米與15米，求兩個(gè)圓心之間的距離(即圓心距).

解該題時(shí)要具體考慮兩個(gè)圓心和公共弦所處位置關(guān)系，學(xué)生在做該類題目時(shí)往往會(huì)遺漏兩個(gè)圓心在公共弦同一側(cè)的情況.該題目的特點(diǎn)是同一條件對(duì)應(yīng)不同的圖形，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可把該類問題歸納成專題，通過專題訓(xùn)練促進(jìn)學(xué)生形成良好的畫圖解題習(xí)慣.

(七)畫圖能夠促進(jìn)分類思想的形成，保證思維訓(xùn)練的完整性

分類思想指的是我們研究的問題包含很多種情況，需要對(duì)所有可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行分別探討，并得出不同的結(jié)論.通過畫圖可避免出現(xiàn)重復(fù)、遺漏等問題，保證思維訓(xùn)練的完整性.下圖是由許多邊長(zhǎng)為1厘米的菱形構(gòu)成的網(wǎng)格，菱形的一個(gè)角的度數(shù)為60°，P點(diǎn)為一個(gè)格點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)畫出直角三角形，請(qǐng)計(jì)算出直角三角形的斜邊長(zhǎng).

該題目以學(xué)生熟知的圖形為基礎(chǔ)，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作，找出以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的所有情況.畫出圖形可以更簡(jiǎn)便有效地解答該題目.

四、總結(jié)

畫圖可以開發(fā)學(xué)生的智力，提高學(xué)生的分析思考能力.因此，在初中數(shù)學(xué)課堂中教師要培養(yǎng)學(xué)生通過畫圖來思考問題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提升.