◎馬紀(jì)英 (石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北 石家莊 050000)

作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程之一，線性代數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、計(jì)算與邏輯推理等能力中起到了關(guān)鍵的作用.想要通過(guò)線性代數(shù)來(lái)強(qiáng)化學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用能力，教學(xué)中應(yīng)先打好知識(shí)基礎(chǔ)，再增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力.在“知識(shí)爆炸”的素質(zhì)教育時(shí)代背景下，從應(yīng)用實(shí)例來(lái)展開線性代數(shù)課程教學(xué)并增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用能力尤為重要.

一、線性代數(shù)基于應(yīng)用實(shí)例展開教學(xué)的必要性

作為非數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修課，線性代數(shù)的基本理論及方法在物理、數(shù)學(xué)等學(xué)習(xí)中存在很重要的應(yīng)用，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、專業(yè)課必備的一門儲(chǔ)備知識(shí)課程.這門課的特點(diǎn)就是涉及廣泛概念抽象，經(jīng)常被視為符號(hào)數(shù)學(xué)，理解、學(xué)習(xí)起來(lái)異常困難.但是，線性代數(shù)具有豐富的推理內(nèi)容，在幫助學(xué)生增強(qiáng)邏輯思維、歸納判斷、問(wèn)題分析與解決等方面的能力具有深遠(yuǎn)的意義，同時(shí)能促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)等.在傳統(tǒng)的線性代數(shù)課程教學(xué)模式下，數(shù)學(xué)老師主導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，學(xué)生甚少思考，老師也極少關(guān)注到學(xué)生應(yīng)用能力的提升.但實(shí)例應(yīng)用基礎(chǔ)下的教學(xué)模式則有別于以往的教學(xué)模式，常以學(xué)生為課堂核心，引導(dǎo)學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)，從學(xué)生的興趣點(diǎn)切入線性代數(shù)，以激起他們更強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)力與求知欲望.如此一來(lái)，通過(guò)應(yīng)用實(shí)例，師生更多地交流、互動(dòng)，更有效地幫助學(xué)生進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)線性代數(shù)的效率.所以，老師扮演的是課堂的引導(dǎo)者，并不是單純的教書者.通過(guò)設(shè)置適宜的實(shí)例、創(chuàng)新教學(xué)模式等來(lái)幫助學(xué)生提高能力與素質(zhì)已然發(fā)展成為革新線性代數(shù)的一大趨勢(shì).

二、從應(yīng)用實(shí)例來(lái)展開線性代數(shù)課程教學(xué)的有效模式

1.注重應(yīng)用背景分析，介紹知識(shí)源頭

線性代數(shù)中，概念相對(duì)抽象，要深入理解基礎(chǔ)概念，不僅需要掌握概念的內(nèi)涵及外延，而且還應(yīng)介紹有關(guān)知識(shí)的背景資料及發(fā)展情況，融入一些兼具創(chuàng)造力與想象力的有趣數(shù)學(xué)故事.這么一來(lái)，便能幫助學(xué)生大致了解知識(shí)的源頭，并拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)面，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

譬如，在線性代數(shù)中，矩陣是基礎(chǔ)理論.為更深入地理解、學(xué)習(xí)矩陣概念，教學(xué)中可基于三家工廠均加工4種產(chǎn)品的應(yīng)用實(shí)例，來(lái)假設(shè)首家工廠加工的4種產(chǎn)品是首行，而第二家工廠加工的4種產(chǎn)品是第二行，第三家加工的4種產(chǎn)品是第三行，然后形成具有三行四列的一個(gè)表格，以體現(xiàn)出以上三家工廠加工出來(lái)的4種產(chǎn)品加工水平，再?gòu)谋砀駜?nèi)部統(tǒng)一抽象出基本的矩陣概念.在以上運(yùn)算的過(guò)程中，除了有提出矩陣基礎(chǔ)概念外，還讓學(xué)生體會(huì)到應(yīng)用矩陣的現(xiàn)實(shí)意義.此外，為了剖析矩陣運(yùn)算，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)矩陣A、B依次來(lái)代表2018、2019年以上三家工廠加工的4種產(chǎn)品產(chǎn)量，再加上A、B相對(duì)元素形成的矩陣，就是這兩年來(lái)以上三家工廠加工各種產(chǎn)品的總水平，然后順勢(shì)引出矩陣加法.

又如，基于旋轉(zhuǎn)變換基礎(chǔ)下的合成問(wèn)題來(lái)導(dǎo)入矩陣乘法；基于信息編解碼應(yīng)用問(wèn)題來(lái)導(dǎo)入逆矩陣基礎(chǔ)概念及逆矩陣的求解方法；基于幾何向量共面問(wèn)題來(lái)分析向量組之間的線性相關(guān)性；基于工程技術(shù)領(lǐng)域振動(dòng)應(yīng)用問(wèn)題來(lái)引進(jìn)特征向量、特征值的基礎(chǔ)概念并分析有關(guān)理論等.同時(shí)，教師還應(yīng)盡量使用學(xué)生熟悉的生活中的應(yīng)用案例來(lái)導(dǎo)入“線性代數(shù)”領(lǐng)域的基礎(chǔ)概念，以引導(dǎo)學(xué)生了解線性代數(shù)和生活實(shí)踐的關(guān)聯(lián)性.針對(duì)這樣的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，學(xué)生就可以及時(shí)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)正確解答.在上課時(shí)通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，導(dǎo)入數(shù)學(xué)概念及方法，學(xué)生便能更深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)的優(yōu)勢(shì)，了解實(shí)際問(wèn)題和理論知識(shí)的關(guān)聯(lián).

2.引進(jìn)建模思想，理論與實(shí)際相聯(lián)

數(shù)學(xué)建模是指基于數(shù)學(xué)語(yǔ)言，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化抽象可以模擬并處理實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型，再經(jīng)由數(shù)學(xué)模型來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題.作為有效的數(shù)學(xué)方法之一，建模法通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言描繪具體現(xiàn)象，有助于學(xué)生理解、延伸知識(shí)，并學(xué)會(huì)聯(lián)系數(shù)學(xué)理論和實(shí)踐問(wèn)題，來(lái)充分彰顯數(shù)學(xué)價(jià)值，形成培養(yǎng)創(chuàng)新應(yīng)用型人才的一種教學(xué)模式.

譬如，在學(xué)習(xí)“線性方程組”中，教師便可這樣提問(wèn)：某市區(qū)施行單行道的通行規(guī)定，并已測(cè)得幾個(gè)交通路段的通行流量(車輛數(shù)/時(shí))，請(qǐng)問(wèn)可否計(jì)算出各個(gè)路段上的通行流量？倘若不可以，需要哪些交通路段再增設(shè)相應(yīng)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)，就能夠算出各結(jié)點(diǎn)的通行流量？

解析假定各結(jié)點(diǎn)的流入流量與流出流量相等(見圖1).按照題中等量關(guān)系成立方程組(單位：百輛)：

以上從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)抽象得到線性方程組，引導(dǎo)學(xué)生深入體會(huì)創(chuàng)建模型的整個(gè)過(guò)程.在告知學(xué)生線性方程組的具體解法后，再分析解答該方程組，求得以下一般解：

所以，僅僅需要測(cè)得路段x5的通行流量，就能夠算得其余路段的通行流量.例如，如果檢測(cè)得到x5=2，則x1～x4依次為3、5、9、6(單位：百輛).依此結(jié)論，x3段上通行著最多的車輛，需要重點(diǎn)做好疏通工作.

此外，“線性代數(shù)”教材中涉及的很多基礎(chǔ)概念、方法，均滲透著基礎(chǔ)建模思想.基于數(shù)學(xué)建模的手段逐步引進(jìn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，除了可以引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)建模全程外，還可以教會(huì)學(xué)生理論與實(shí)際相聯(lián)的方法.同時(shí)，學(xué)生還能在一個(gè)愉悅的環(huán)境中，掌握難懂的代數(shù)知識(shí)，達(dá)到事半功倍的效果.然而，考慮到線性代數(shù)只有有限的課時(shí)，倘若設(shè)置的實(shí)例太過(guò)復(fù)雜，則在教學(xué)中就會(huì)問(wèn)題復(fù)雜化.因此，教師在具體建模中，要選擇簡(jiǎn)單的可直觀體現(xiàn)知識(shí)的教學(xué)實(shí)例.此外，針對(duì)有興趣深入探討建模知識(shí)的學(xué)生，教師還可教導(dǎo)他們廣泛收集建模資料，認(rèn)真查閱刊物上與數(shù)學(xué)建模有關(guān)聯(lián)的論文，并多多鼓勵(lì)他們加入建模競(jìng)賽活動(dòng).這么一來(lái)，便能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的自主創(chuàng)新能力，充分調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)、探索數(shù)學(xué)知識(shí)的積極性.

3.基于數(shù)學(xué)軟件增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力

為了有效培養(yǎng)優(yōu)秀的應(yīng)用型人才，促進(jìn)學(xué)生逐步增強(qiáng)實(shí)踐應(yīng)用知識(shí)的技能，應(yīng)在平日的教學(xué)中，融合有關(guān)的計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件工具.例如，MATLAB軟件就是一款專門針對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的計(jì)算軟件，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)可視化、交互式的計(jì)算環(huán)境，并程序化“線性代數(shù)”中的行列式、矩陣、線性方程解答等的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并統(tǒng)一提出可廣泛通用的一種方案.因此，從某種程度上講，軟件工具M(jìn)ATLAB剛好能夠達(dá)到“線性代數(shù)”教學(xué)的目標(biāo).

所以，學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”可從線性方程組、行列式、逆矩陣等出發(fā)，適當(dāng)穿插講解軟件工具M(jìn)ATLAB，再利用兩課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生展開上機(jī)操作，學(xué)會(huì)通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件來(lái)正確解答線性代數(shù)中常見的計(jì)算行列式、求解線性方程組、計(jì)算逆矩陣等方面的實(shí)際問(wèn)題.在這樣的上機(jī)實(shí)踐教學(xué)模式下，從應(yīng)用實(shí)例出發(fā)，可以收到以下效果：一方面，傳統(tǒng)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法都是直接解答，而應(yīng)用軟件來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法則十分新穎，能夠引導(dǎo)學(xué)生深入體會(huì)計(jì)算機(jī)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的新內(nèi)容.另一方面，為了培養(yǎng)應(yīng)用型優(yōu)秀人才，應(yīng)注意在實(shí)踐中有效聯(lián)系理論知識(shí)，重結(jié)果而輕過(guò)程.因?yàn)榛跀?shù)學(xué)軟件的教學(xué)模式，僅需要從實(shí)例出發(fā)來(lái)操作軟件，整個(gè)計(jì)算過(guò)程是經(jīng)由軟件工具來(lái)完成的，無(wú)須從數(shù)學(xué)上予以推理論證.以上是學(xué)生在畢業(yè)以后，面臨實(shí)際問(wèn)題會(huì)經(jīng)常用到的一種辦法，在培養(yǎng)教育應(yīng)用型人才方面必不可少.

4.按專業(yè)特點(diǎn)設(shè)置應(yīng)用案例

在大學(xué)一般會(huì)在一年級(jí)開設(shè)“線性代數(shù)”課，學(xué)生一般認(rèn)為該門課就是純粹的數(shù)學(xué)課，內(nèi)容與專業(yè)學(xué)習(xí)無(wú)甚聯(lián)系，很多學(xué)生對(duì)這門課程逐步失去學(xué)習(xí)的興趣及動(dòng)力.鑒于此，教師應(yīng)避免純粹地講授“線性代數(shù)”知識(shí)，而要從學(xué)生的專業(yè)出發(fā)，在具體的教學(xué)中盡量選用與專業(yè)知識(shí)有關(guān)的應(yīng)用實(shí)例，展開實(shí)際問(wèn)題并深入提煉理論知識(shí).再反過(guò)來(lái)活學(xué)活用，正確解答實(shí)際問(wèn)題，盡可能地彰顯出“線性代數(shù)”的典型專業(yè)特點(diǎn).

譬如，在學(xué)習(xí)“線性方程組”時(shí)，針對(duì)經(jīng)管類學(xué)生，可選用有關(guān)生產(chǎn)、運(yùn)輸交通等領(lǐng)域的勞動(dòng)力分配劃分、資金分配等的應(yīng)用實(shí)例；針對(duì)電信類學(xué)生，可選用有關(guān)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用實(shí)例；針對(duì)信息或計(jì)算機(jī)類學(xué)生，可選用圖形處理的應(yīng)用實(shí)例；針對(duì)地理類學(xué)生，可選用行星軌道應(yīng)用實(shí)例等.

三、結(jié)語(yǔ)

總之，講授線性代數(shù)應(yīng)聯(lián)系基本理論與實(shí)踐應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)知識(shí)的欲望.同時(shí)，任課教師還應(yīng)幫助學(xué)生拓寬知識(shí)面，熟練掌握本專業(yè)知識(shí)的同時(shí)，結(jié)合其他專業(yè)的相關(guān)知識(shí)，增進(jìn)交流溝通，基于與其他專業(yè)相融合的應(yīng)用實(shí)例，帶領(lǐng)學(xué)生更深入地學(xué)習(xí).這么一來(lái)，便能及時(shí)革新線性代數(shù)的固化教學(xué)模式，推行理論聯(lián)系實(shí)際的教學(xué)模式，為社會(huì)培養(yǎng)出大量的應(yīng)用型優(yōu)秀人才.