劉輝，浦金云，李志輝，吳向君

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

0 引言

艦艇在平日航行或執(zhí)行作戰(zhàn)任務(wù)時(shí)，由于操作失誤可能發(fā)生艦艇碰撞或遭受武器攻擊，這些情況均會(huì)導(dǎo)致艦艇大面積破損進(jìn)水，進(jìn)水后的艦艇將會(huì)出現(xiàn)橫搖運(yùn)動(dòng)，并且橫搖運(yùn)動(dòng)是不規(guī)則的、非線性的，直接影響艦艇是否傾覆。若破損進(jìn)水艙為Ⅱ類艙，艙內(nèi)進(jìn)水產(chǎn)生的自由液面與艙內(nèi)的自由液面影響基本一致，在線性范圍內(nèi)可能引起艦艇的穩(wěn)定中心高減少，穩(wěn)性降低，導(dǎo)致艦艇傾覆沉沒(méi)[1]。若破損進(jìn)水艙為Ⅲ類艙[1]，艙內(nèi)進(jìn)水量會(huì)隨橫搖運(yùn)動(dòng)不斷增減，并且艙內(nèi)進(jìn)水會(huì)隨艦艇不停晃動(dòng)，因此Ⅲ類艙的破損進(jìn)水將使艦艇的橫搖運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜，目前Ⅲ類艙破損進(jìn)水的研究較少[2]。由于具有Ⅱ類進(jìn)水艙和Ⅲ類進(jìn)水艙的艦艇會(huì)加劇橫搖運(yùn)動(dòng)的混沌狀態(tài)，也是艙室破損進(jìn)水研究的重點(diǎn)。

艦艇破損進(jìn)水產(chǎn)生的橫搖運(yùn)動(dòng)具有復(fù)雜的非線性和混沌現(xiàn)象，包括由水動(dòng)力載荷的復(fù)雜性和大幅橫搖運(yùn)動(dòng)引起的不可忽略的非線性，以及不同運(yùn)動(dòng)形式之間耦合形成的具有參數(shù)激勵(lì)的非線性動(dòng)力[3]。學(xué)者們開展了大量艦艇進(jìn)水艙內(nèi)液體運(yùn)動(dòng)的理論分析和實(shí)驗(yàn)研究，如處理破損船在波浪中橫搖運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題時(shí)，Yildiy.A[4]利用Hamilton 變分原理，建立了具有Ⅱ類進(jìn)水艙破損船在波浪中的橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程，并利用李亞普諾夫的穩(wěn)定性理論來(lái)討論破損船的橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的穩(wěn)定性條件。日本東京大學(xué)的Murashige 等[5]對(duì)部分液艙進(jìn)水的艦艇運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了詳細(xì)研究。本文在構(gòu)建破損進(jìn)水艦艇非線性橫搖運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，對(duì)破損進(jìn)水艙為Ⅲ類艙時(shí)艦艇的橫搖運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行數(shù)值仿真求解，討論不同系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)參數(shù)對(duì)破損艦艇橫搖運(yùn)動(dòng)的影響，預(yù)報(bào)具有Ⅲ類進(jìn)水艙破損進(jìn)水艦艇的運(yùn)動(dòng)形式。

1 艦艇破損進(jìn)水的非線性橫搖運(yùn)動(dòng)模型

1.1 坐標(biāo)系

為更好研究和描述艦艇的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，建立如圖1所示的大地慣性坐標(biāo)系Oxyz和艦艇運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Oξηζ 2 個(gè)坐標(biāo)系。

圖1 坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system

圖中：Gs為艦艇的重心；Bs為艦艇的浮心；Gw為進(jìn)水容積的中心；φ為艦艇的橫搖角；χ為進(jìn)水艙內(nèi)液面與 η軸的夾角；θ為進(jìn)水艙內(nèi)液面與y軸的夾角。原點(diǎn)O設(shè)在艦艇的重心Gs處，當(dāng)艦艇的橫搖角 φ為0 時(shí)，兩坐標(biāo)系重合，ξ軸與x軸重合，η軸與y軸重合，ζ 軸與z軸重合。

1.2 艦艇破損進(jìn)水橫搖運(yùn)動(dòng)的能量分析

艦艇由于破損出現(xiàn)橫搖運(yùn)動(dòng)后，艙內(nèi)進(jìn)水和艦艇同時(shí)運(yùn)動(dòng)，假設(shè)艦艇和艙內(nèi)進(jìn)水的橫搖耦合運(yùn)動(dòng)是主要的，忽略垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)對(duì)艦艇的影響[6]。艦艇橫搖運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生能量主要包括艦艇本身的動(dòng)能和勢(shì)能、破損進(jìn)水產(chǎn)生的動(dòng)能和勢(shì)能、阻尼耗能和外界激勵(lì)力矩。

1）艦艇的動(dòng)能和勢(shì)能

假設(shè)不考慮艦艇的垂蕩運(yùn)動(dòng)和橫蕩運(yùn)動(dòng)，則艦艇的動(dòng)能僅為繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，即

式中，I0為艦艇的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0=

若以正直漂浮位置為勢(shì)能零點(diǎn)，則在任一傾角時(shí)，艦艇的勢(shì)能即為從正直位置開始艦艇的回復(fù)力矩所作的功：

式中，Mf為艦艇回復(fù)力矩，可表示為橫傾角 φ的多項(xiàng)式函數(shù)[7]，令其多項(xiàng)式系數(shù)為C，則Mf=C0(φ)=c0φ+c2φ3+c4φ5+c6φ7。

2）破損進(jìn)水產(chǎn)生的的動(dòng)能和勢(shì)能

若不考慮艙內(nèi)水的轉(zhuǎn)動(dòng)及激蕩，假設(shè)艙內(nèi)進(jìn)水水的運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，則

式（3）和式（4）中yw，zw分別為大地慣性坐標(biāo)系進(jìn)水容積中心的橫坐標(biāo)和垂坐標(biāo)，ηw,ζw分別為進(jìn)水容積中心在Oξηζ坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)和垂坐標(biāo)。

艙內(nèi)水的勢(shì)能即為其重力勢(shì)能，則

3）激勵(lì)力矩做功

式中，M為艦艇模排水量，h為艦艇初穩(wěn)心高，H為波高，ω為波頻。

4）阻尼產(chǎn)生的耗能

1.3 艦艇非線性橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程的推導(dǎo)與構(gòu)建

對(duì)艦艇運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的能量進(jìn)行綜合分析，建立拉格朗日方程如下：

將式（1）～式（8）代入式（9）和式（10）中，推導(dǎo)簡(jiǎn)化可得：

對(duì)兩自由度運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行解耦，使兩自由度問(wèn)題化為單自由度問(wèn)題，將式（11）展開并經(jīng)過(guò)復(fù)雜的推導(dǎo)過(guò)程[7–8]，考慮船體運(yùn)動(dòng)的阻尼項(xiàng)、非線性項(xiàng)及內(nèi)部水對(duì)船體影響的非線性耦合項(xiàng)，得到艦艇破損進(jìn)水作用下的艦艇橫搖運(yùn)動(dòng)非線性微分方程。

式中：阻尼系數(shù)d0；參激系數(shù)i1，q1和外激系數(shù)l1的數(shù)值比其他系數(shù)量階大，引入小量ε，獲得簡(jiǎn)化的艦艇橫搖運(yùn)動(dòng)非線性運(yùn)動(dòng)微分方程。

2 艦艇非線性橫搖運(yùn)動(dòng)數(shù)值仿真

2.1 研究對(duì)象

為更好驗(yàn)證數(shù)值仿真結(jié)果，以通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證的船模為研究對(duì)象[9]，對(duì)具有Ⅲ類進(jìn)水艙的破損艦艇在不同規(guī)則正橫浪激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值仿真。

1）船模參數(shù)

M=37.75 kg，Zg=15.75 cm，T=8.56 cm，r=11.61 cm，ZC=5.17 cm，h=1.22 cm，無(wú)因次等效阻尼系數(shù)vs=0.114。

2）艙室破損進(jìn)水參數(shù)

2 個(gè)Ⅱ類艙對(duì)稱進(jìn)水，總進(jìn)水量2 kg，3 個(gè)Ⅲ類艙，正浮時(shí)的進(jìn)水量為18.6 kg，艙內(nèi)水重量及容積中心隨進(jìn)水液面傾角的變化規(guī)律如下式：

2.2 數(shù)值仿真流程

利用數(shù)值仿真計(jì)算方法對(duì)建立的艦艇非線性橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解，討論不同激勵(lì)參數(shù)條件對(duì)破損艦艇非線性運(yùn)動(dòng)的影響規(guī)律，預(yù)報(bào)艦艇橫搖運(yùn)動(dòng)是處于周期運(yùn)動(dòng)還是處于混沌運(yùn)動(dòng)范圍。采用定步長(zhǎng)4 階Runge-Kutta 方法對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，具體求解計(jì)算過(guò)程如圖2 所示。

圖2 數(shù)值仿真計(jì)算流程Fig.2 The calculation process of numerical simulation

仿真計(jì)算中，假設(shè)艦艇破口足夠大，出現(xiàn)橫搖運(yùn)動(dòng)時(shí)，艙內(nèi)進(jìn)水與舷外海水的交換是完全自由的，不受破口大小的限制，即交換率為100%。在給定的船模參數(shù)條件下，改變激勵(lì)力（即波浪力）的幅值（波高）和頻率（波長(zhǎng)），進(jìn)行數(shù)值仿真確定使艦艇處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的區(qū)域[10]。在此基礎(chǔ)上，改變艙內(nèi)進(jìn)水與舷外水的交換率進(jìn)行仿真，討論交換率的變化對(duì)混沌參數(shù)區(qū)域的影響。同時(shí)采用功率譜分析方法對(duì)數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行分析，判斷艦艇橫搖運(yùn)動(dòng)是否為混沌運(yùn)動(dòng)。

2.3 數(shù)值仿真結(jié)果

圖3 中Aω/I0表示為船模橫搖角幅值與無(wú)量綱激勵(lì)力矩幅值之比，顯示了具有Ⅲ類進(jìn)水艙的破損艦艇在不同規(guī)則正橫浪波激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的幾種典型形式的歷程、相圖和功率譜。從仿真結(jié)果看，在規(guī)則正橫浪激勵(lì)下的頻率響應(yīng)特性與具有Ⅱ類進(jìn)水艙的破損艦艇的頻率響應(yīng)特性相似，Ⅲ類進(jìn)水艙的破損艦艇橫搖具有非常豐富的運(yùn)動(dòng)形式，隨船模參數(shù)、進(jìn)水參數(shù)和波浪激勵(lì)力矩等激勵(lì)參數(shù)的不同，其運(yùn)動(dòng)可能是單頻的，也可能包含超諧波、次諧波以及組合頻率成分，還可能為混沌的。

圖3 Ⅲ類艙進(jìn)水交換率100%船模的運(yùn)動(dòng)形式Fig.3 The motion form of exchange rate 100% by flooded type Ⅲ

圖3 所示結(jié)果中，均假設(shè)Ⅲ類進(jìn)水艙的破口為無(wú)限大，即橫搖過(guò)程中艙內(nèi)進(jìn)水與舷外水的交換是完全自由的，不受破口大小的限制。在實(shí)際的破損艦艇中，由于破口面積是有限的，因而橫搖過(guò)程中進(jìn)水艙內(nèi)的進(jìn)水與舷外水不可能完全自由的交換，尤其當(dāng)進(jìn)水艙存在氣墊時(shí)，艙內(nèi)水和舷外水的交換率更小。本文對(duì)不同交換率的艙內(nèi)進(jìn)水進(jìn)行了數(shù)值仿真，圖4 仿真結(jié)果顯示具有Ⅲ類進(jìn)水艙的破損艦艇的混沌運(yùn)動(dòng)參數(shù)區(qū)域超出了實(shí)際能達(dá)到的激勵(lì)力矩參數(shù)范圍，因而在實(shí)際條件下不可能出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，并且艙內(nèi)水與舷外水的交換率對(duì)具有Ⅲ類艙進(jìn)水艙的破損艦艇受激橫搖混沌運(yùn)動(dòng)參數(shù)區(qū)域基本沒(méi)有影響。主要原因是在Ⅲ類艙進(jìn)水情況下，艙內(nèi)水與舷外水相通，相對(duì)Ⅱ類進(jìn)水艙而言，艙內(nèi)水與艦艇之間的動(dòng)力耦合更弱，因而艙內(nèi)水的運(yùn)動(dòng)對(duì)艦艇橫搖運(yùn)動(dòng)的影響更小。上述數(shù)值仿真的結(jié)果與相同船模的試驗(yàn)結(jié)果相一致[9]。

圖4 Ⅲ類艙進(jìn)水不同交換率時(shí)的混沌運(yùn)動(dòng)參數(shù)區(qū)域Fig.4 The chaotic motion parameter region of different exchange rate by flooded type Ⅲ

3 結(jié)語(yǔ)

本文在分析艦艇破損進(jìn)水后在波浪中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的能量，微分推導(dǎo)構(gòu)建了艦艇破損進(jìn)水情況下的非線性橫搖運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，對(duì)具有Ⅲ類進(jìn)水艙的破損船模進(jìn)行了數(shù)值仿真。結(jié)果表明，具有Ⅲ類進(jìn)水艙的破損艦艇運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)混沌現(xiàn)象時(shí)需要的波浪激勵(lì)力矩幅值很大，超出艦艇實(shí)際運(yùn)動(dòng)中能達(dá)到的波浪激勵(lì)力范圍，并且艙內(nèi)進(jìn)水與舷外水的交換率對(duì)艦艇受激橫搖運(yùn)動(dòng)參數(shù)區(qū)域沒(méi)有影響，因此具有Ⅲ類進(jìn)水艙的破損艦艇在橫搖運(yùn)動(dòng)中不會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，與船模橫搖試驗(yàn)結(jié)果相吻合。

對(duì)比Ⅱ類進(jìn)水艙，由于Ⅱ類進(jìn)水艙的艙內(nèi)水與舷外水隔離，進(jìn)水產(chǎn)生的自由液面和大進(jìn)水量對(duì)艦艇的橫搖運(yùn)動(dòng)有很大的影響，具有大自由液面、大進(jìn)水量的破損艦艇出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域越大，出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)的波浪激勵(lì)力矩幅值越小。因此，具有Ⅱ類進(jìn)水艙的艦艇橫搖運(yùn)動(dòng)的形式非常豐富，可能為單頻的，也可能包含超諧波、次諧波以及組合頻率成分，在一定參數(shù)條件下，其運(yùn)動(dòng)還可能為混沌的。