王磊，張勇*，舒永錄

一類非線性混沌動(dòng)力系統(tǒng)分析

王磊1，張勇1*，舒永錄2

（1.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,河南 南陽(yáng) 473000； 2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331）

根據(jù)混沌動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，通過(guò)引入廣義李雅普諾夫函數(shù)，研究了一類廣義大氣混沌動(dòng)力系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集與最終界，并給出了相應(yīng)的Matlab仿真。研究結(jié)果可為研究大氣混沌動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)提供理論依據(jù)，也可用于研究該混沌動(dòng)力系統(tǒng)的混沌控制和同步。

大氣混沌動(dòng)力系統(tǒng)；混沌吸引子；全局吸引集；混沌控制

0　引言

1963年，LORENZ［1］發(fā)現(xiàn)了具有蝴蝶效應(yīng)的混沌吸引子，稱Lorenz混沌吸引子，其為研究混沌動(dòng)力系統(tǒng)的第一個(gè)混沌模型。隨后眾多學(xué)者關(guān)注并研究Lorenz混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性［2-10］，并引發(fā)了對(duì)其他新混沌系統(tǒng)的探索和研究熱潮［11-31］。高維混沌系統(tǒng)在混沌保密通信、自動(dòng)控制理論等領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景［20］，因此，研究新型高維混沌系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性很有必要。

一類高維大氣混沌動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為［21］

其中，為正參數(shù)。為描述大氣氣流旋轉(zhuǎn)的變量，為普朗特常數(shù)，為瑞利常數(shù)，為幾何參數(shù)，為控制小參數(shù)。當(dāng)時(shí)，式（1）在三維空間上的混沌吸引子如圖1所示；在平面上的混沌吸引子如圖2所示。

圖2　式（1）在平面上的混沌吸引子

1　主要理論及結(jié)果

考慮自治動(dòng)力系統(tǒng)

則稱式（2）存在全局指數(shù)吸引集

文獻(xiàn)［21］對(duì)式（1）的奇點(diǎn)穩(wěn)定性、奇點(diǎn)局部分岔、混沌控制和混沌同步等進(jìn)行研究，下面將根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性理論研究式（1）的最終界和全局指數(shù)吸引集。

引理1 定義

則有

證明 由對(duì)稱性，顯然有

求偏導(dǎo)數(shù)，令

或

此時(shí)有

引理2［28］定義集合

則有

其為式（1）的最終有界集和不變集，且

證明 定義

有

定義

引入新變量

則有

由引理1，有

證畢。

其為式（1）軌線的最終有界集，其中，

因此，混沌吸引子在xoyz空間中的界估計(jì)如圖3所示。

為式（1）軌線的最終有界集，其中，

則有

定義

由引理2，可得

證畢。

此為式（1）的最終界，其在yoz平面上的混沌吸引子界估計(jì)如圖4所示。

雖然由定理1和定理2得到的混沌系統(tǒng)式（1）的最終解是有界的，但尚未知式（1）是否存在全局指數(shù)吸引集，為此，估計(jì)式（1）從吸引集外的軌線進(jìn)入吸引集軌線的速率，有

則式（1）有指數(shù)估計(jì)式：

從而有

其為式（1）的全局指數(shù)吸引集。

證明 定義

求導(dǎo)數(shù)

利用比較定理對(duì)上式兩邊積分，有

式（12）兩邊取上極限，有

因而

為式（1）的全局指數(shù)吸引集。

證畢。

為式（1）的全局指數(shù)吸引集，其中，

2　結(jié)論

根據(jù)混沌動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，研究了一類廣義大氣混沌動(dòng)力系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集和最終界，并給出了相應(yīng)結(jié)果的Matlab仿真。

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Analysis on a nonlinear chaos dynamical system

WANG Lei1, ZHANG Yong1, SHU Yonglu2

(1473000;2401331)

Based on the stability theory of chaotic dynamical system, the global attractive sets and the ultimate bound set of a class of a generalized atmospheric chaotic system are studied by introducing the generalized Lyapunov function. The corresponding Matlab simulation is demonstrated. Our results provide a theoretical basis for studying the motion of the atmospheric chaotic system and can also be used to study chaos control and chaos synchronization of this chaotic system.

atmospheric chaotic dynamical system; chaotic attractors; globally attractive set; chaos control

10.3785/j.issn.1008-9497.2021.05.005

O 241.84

A

1008?9497（2021）05?550?07

2020?05?17.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171360）.

王磊（1982—），ORCID：https：//orcid. org /0000-0002-2197-7844，男，碩士，副教授，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究，E-mail：wangleibaas@163.com.

，ORCID：https：//orcid. org /0000-0001-6973-4529，E-mail：zhangyongzhang2013@163.com.