張輝 李應(yīng)岐 方曉峰

摘? 要：基于機(jī)器人終端TCP經(jīng)歷的空間三個(gè)不共線的點(diǎn)，利用兩種算法得到了通過(guò)此三點(diǎn)的空間圓弧圓心坐標(biāo)的解析表達(dá)式，完善了已有文獻(xiàn)的方法和結(jié)論;同時(shí)對(duì)于給定空間三點(diǎn)的坐標(biāo)值，利用新提出的算法得到了圓心坐標(biāo)的值;最后給定三組三點(diǎn)坐標(biāo)值進(jìn)行MATLAB運(yùn)行平均時(shí)間比較，新提出的算法運(yùn)行效率最高，優(yōu)于已有文獻(xiàn)提出的算法可作為首選算法，為機(jī)器人利用示教過(guò)程進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用提供了有效支撐。

關(guān)鍵詞：機(jī)器人? 圓弧? 圓心? MATLAB? 向量積

中圖分類號(hào)：TP242? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2021）05（c）-0021-04

Center Algorithm of Three-Points arc in Robot Space and Its Realization with MATLAB

ZHANG Hui? LI Yingqi? FANG Xiaofeng

（Department of Basic Courses， Rocket Force University of Engineering， Xi'an， Shaanxi Province， 710025 China ）

Abstract： Based on the three non-collinear points in the space experienced by the robot terminal TCP， using two algorithms， the analytic expression of the space arc center coordinates through the three points is obtained， which improves the methods and conclusions of the existing literature; at the same time， for a given coordinate value of the three points in the space， the value of the center coordinates is obtained by using the new algorithm; finally， for the given three groups of three-point coordinate values， the average running time of MATLAB is compared. The new algorithm has the highest running efficiency， which is better than the algorithm proposed in the existing literature. It can be used as the preferred algorithm， and provides effective support for the robot to use the teaching process for field application.

Key Words： Robot; Arc; Center of circle; MATLAB; Vector product

在機(jī)器人編程的示教過(guò)程中，當(dāng)曲線軌跡為空間圓弧時(shí)，除了示教圓弧起點(diǎn)（機(jī)器人當(dāng)前位置）和終點(diǎn)外，至少還需要圓心或者圓弧上的一中間點(diǎn)。事實(shí)上，圓心往往是比較難給定的，因此機(jī)器人終端TCP的軌跡圓弧通常由示教的圓弧起點(diǎn)、中間點(diǎn)和圓弧終點(diǎn)決定，因而需要研究空間任意三點(diǎn)所確定的空間圓弧的圓心，進(jìn)而可以得到空間圓弧的半徑和一般方程（或參數(shù)方程）。基于上述需求，該文研究機(jī)器人終端TCP通過(guò)空間任意不共線三點(diǎn)所確定空間圓弧的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，關(guān)鍵是確定圓心的坐標(biāo)，為機(jī)器人利用示教過(guò)程進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用提供了有效支撐。

1? 圓心的算法

根據(jù)機(jī)器人終端TCP[1-2]工作特點(diǎn)，現(xiàn)需要得到圓心M的坐標(biāo)x0、y0和z0的解析表達(dá)式，下面首先介紹兩種算法進(jìn)行求解并給出具體的過(guò)程和結(jié)果，進(jìn)而可得半徑R的解析表達(dá)式。

1.1 利用圓心到空間三點(diǎn)的距離相等

利用圓心M到空間三點(diǎn)的距離相等和四點(diǎn)A、B、C和M都在空間平面π上這兩個(gè)特性，得到了空間圓弧 的圓心M的坐標(biāo)[3]，但對(duì)于圓弧Γ所處的平面π平行于某個(gè)坐標(biāo)面上需要特殊處理給機(jī)器人帶來(lái)了不便。為了有效解決此問(wèn)題，可以利用空間四點(diǎn)A、B、C和M共面的充分必要條件為三向量、和共面這個(gè)重要的結(jié)論，即有混合積[4]?；谏鲜龇治?，下面給出此種方法詳細(xì)的求解過(guò)程。

1.2 利用圓心可由兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)確定

對(duì)于某具體問(wèn)題，三個(gè)空間點(diǎn)、和坐標(biāo)的值是已知給定的，可將三點(diǎn)坐標(biāo)值代入到方程組（7）中得到關(guān)于參數(shù)t和r的三個(gè)線性方程的數(shù)值方程組，然后最后利用solve函數(shù)求解參數(shù)t和r的數(shù)值解，最后代入式（8）即得圓心的坐標(biāo)。

1.3 利用克萊姆法則

需注意的是，已知空間不共線的三個(gè)點(diǎn)就可以得到一個(gè)空間三角形。而空間三角形在工程技術(shù)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[7-10]?？臻g三角形的五心（包括重心、內(nèi)心、垂心、外心和旁心）是空間解析幾何[11-12]中重要的知識(shí)點(diǎn)。如何判定某點(diǎn)是空間三角形的五心是一個(gè)較為復(fù)雜的研究問(wèn)題，同時(shí)能否通過(guò)空間三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定五心坐標(biāo)的解析表達(dá)式也是值得關(guān)注的問(wèn)題。以上分析研究給出了空間三角形外心坐標(biāo)求解方法和具體表達(dá)式，旨在對(duì)空間三角形的外心有更深入的理解和掌握。

2? 算法實(shí)例比較

以上對(duì)于給定空間三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，我們利用三種方法求得了空間三點(diǎn)A、B和C所確定的空間圓弧圓心M的坐標(biāo)的值。此時(shí)一個(gè)重要的問(wèn)題是：三種算法中哪種方法的運(yùn)行時(shí)間最短，算法效率較高？考慮空間三組三點(diǎn)坐標(biāo)，第1組為（0，0，0）（1，1，1）和（2，2，9），第2組為（2，5，9）（5，6，8）和（-6，8，10），第3組為（-2，-4，8）（8，5，-2）和（4，80，70），三種算法運(yùn)行的平均時(shí)間結(jié)果見(jiàn)表1。

由表1可得，對(duì)于每一組三點(diǎn)坐標(biāo)，算法2的運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)，算法1的運(yùn)行時(shí)間次之，而算法3運(yùn)行時(shí)間最短，這是因?yàn)樗惴?需要求解逆矩陣，而算法2需用solve函數(shù)求線性方程組，這些都會(huì)增加MATLAB運(yùn)行時(shí)間。通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，可以發(fā)現(xiàn)該文提出的算法3（克萊姆法則）的運(yùn)算效率最高，優(yōu)于文獻(xiàn)[3]和[5]提出的算法可作為首選算法。因此，在機(jī)器人的示教過(guò)程中推薦算法3來(lái)求解過(guò)空間三點(diǎn)的空間圓弧的圓心坐標(biāo)，為機(jī)器人開(kāi)展示教過(guò)程提供了應(yīng)用支撐。

3? 結(jié)語(yǔ)

該文基于機(jī)器人終端TCP經(jīng)歷的空間三個(gè)不共線的點(diǎn)，利用兩種算法得到了通過(guò)此三點(diǎn)的空間圓弧圓心坐標(biāo)的表達(dá)式，完善了已有文獻(xiàn)的方法和結(jié)論;同時(shí)對(duì)于給定空間三點(diǎn)的坐標(biāo)值，利用新提出的算法得到了圓心坐標(biāo)的值，最后利用MATLAB運(yùn)行進(jìn)行平均時(shí)間比較說(shuō)明。該文新提出的算法運(yùn)行效率最高，優(yōu)于前兩種算法，為機(jī)器人利用示教過(guò)程進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用提供了有效支撐。

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